徐潔 張波

摘 要：數(shù)學(xué)史講述了數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，揭示了數(shù)學(xué)思想方法的起源。而在實(shí)際中小學(xué)的教學(xué)中，很多數(shù)學(xué)教師因?yàn)榭荚噳毫Γ恢匾暯虒W(xué)生硬邦邦的公式、概念，忽視了數(shù)學(xué)作為人類創(chuàng)造，服務(wù)生活的人性美。在數(shù)學(xué)教學(xué)中合情合理的運(yùn)用數(shù)學(xué)史可以幫助學(xué)生打開數(shù)學(xué)思路，提高學(xué)生對(duì)于教學(xué)內(nèi)容的認(rèn)知，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的育人價(jià)值，也更容易完成學(xué)習(xí)目標(biāo)。本文通過(guò)附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式、重構(gòu)式四種方式的具體案例探究數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)史的運(yùn)用方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)學(xué)史；運(yùn)用方式

隨著1972年HPM（數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)系國(guó)際研究小組的簡(jiǎn)稱）的成立，廣大數(shù)學(xué)教育者開始開發(fā)數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值。美國(guó)數(shù)學(xué)史家卡約黎曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，數(shù)學(xué)史知識(shí)是“使面包和黃油更加可口的蜂蜜”。而如何應(yīng)用數(shù)學(xué)史為學(xué)科教學(xué)服務(wù)，使其不僅發(fā)揮文化功能，增加趣味性，還能直接或間接的幫助學(xué)生對(duì)有關(guān)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容更好的認(rèn)知，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，不同的數(shù)學(xué)學(xué)者提出了不同的想法。而本文介紹的主要是在Fauvel、Tzanakis、Jankvist等人的基礎(chǔ)上總結(jié)整理的運(yùn)用數(shù)學(xué)史的四種方式：附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式。具體如表1所示。

借鑒或者重新構(gòu)造教學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的歷史。適應(yīng)于“發(fā)生教學(xué)法”中，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，完成教學(xué)目標(biāo)。

四種方式各有千秋，可以根據(jù)教學(xué)內(nèi)容選擇合適的某一個(gè)方式或者組合方式，最終目的都是使數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)當(dāng)中，提高學(xué)生對(duì)于所學(xué)知識(shí)的認(rèn)知，完成有效教學(xué)。例如，在小學(xué)數(shù)學(xué)圓周率的學(xué)習(xí)中，可以采用附加式方法，通過(guò)介紹古代數(shù)學(xué)家祖沖之的生平事跡，激發(fā)學(xué)生對(duì)于中國(guó)圓周率領(lǐng)先世界一千年的民族自豪感。在初中數(shù)學(xué)“二元一次方程組”的學(xué)習(xí)中，可以采用復(fù)制式和順應(yīng)式相結(jié)合的方法，引用《孫子算經(jīng)》中的“雞兔同籠”問(wèn)題，既活潑生動(dòng)又能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的熱情，之后的對(duì)于題目的改編，有助于學(xué)生對(duì)于新知識(shí)的鞏固。而在高中數(shù)學(xué)的對(duì)數(shù)學(xué)習(xí)中，可以采取重構(gòu)式的方式，通過(guò)借鑒當(dāng)時(shí)對(duì)數(shù)發(fā)展時(shí)遇到的問(wèn)題，讓學(xué)生親自經(jīng)歷尋求簡(jiǎn)捷算法的過(guò)程，更加理解對(duì)數(shù)產(chǎn)生的思想方法，有助于之后的對(duì)數(shù)教學(xué)。但是值得注意的是，數(shù)學(xué)史并不能融入所有的學(xué)習(xí)單元，強(qiáng)行硬加可能會(huì)適得其反，不僅影響教師的教學(xué)計(jì)劃，還會(huì)影響學(xué)生學(xué)習(xí)積極性。因此，在適合數(shù)學(xué)史融入的教學(xué)中選取合適的方式尤為重要。以下將詳細(xì)舉例四種方式的運(yùn)用。

一、 附加式

例：笛卡爾與解析幾何學(xué)

在講解高中必修二“空間直角坐標(biāo)系”前，可以在PPT上展示笛卡爾的頭像，向?qū)W生講述我們將要學(xué)習(xí)的空間直角坐標(biāo)系的始祖，第一個(gè)傾斜坐標(biāo)的誕生，利用坐標(biāo)系誕生的有趣故事，啟發(fā)學(xué)生對(duì)于坐標(biāo)系的認(rèn)知，再通過(guò)講解解析幾何學(xué)的意義及現(xiàn)在解析幾何學(xué)的前沿課題，增加學(xué)生的數(shù)學(xué)視野。

美國(guó)數(shù)學(xué)史家M.克萊因曾經(jīng)這樣評(píng)價(jià)：“代數(shù)同幾何分道揚(yáng)鑣，它們的進(jìn)展就會(huì)緩慢，隨之而來(lái)，應(yīng)用也會(huì)變得狹窄。只有當(dāng)二者結(jié)合，才會(huì)互相完善?！倍鴮⒍呓Y(jié)合在一起的正是笛卡爾。早在很久以前，古希臘學(xué)者就開始研究曲線，卻一直苦于找不到曲線表示的方法。17世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾出色地解決了這一難題。他將構(gòu)成曲線軌跡的點(diǎn)用有序數(shù)對(duì)表示，從而建立曲線的方程。巧妙地將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題。而笛卡爾當(dāng)時(shí)用的坐標(biāo)系并不是現(xiàn)在常見到的直角坐標(biāo)系，而是傾斜坐標(biāo)，這也是數(shù)學(xué)史上第一個(gè)坐標(biāo)系。

講到這里，同學(xué)們肯定覺(jué)得笛卡爾是因?yàn)榉浅Ｂ斆鞑湃〉萌绱舜蟮某删停瑢?shí)際上笛卡爾從小身體弱，上學(xué)也比別人晚，只是特別刻苦努力，愛思考問(wèn)題。有一個(gè)有趣的故事說(shuō)笛卡爾創(chuàng)立解析幾何的靈感來(lái)源于天花板上的蒼蠅，笛卡爾躺在床上望著天花板上的蒼蠅，不停地思考如何描述曲線軌跡，突然想到可以將蒼蠅看為運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，根據(jù)蒼蠅與各個(gè)墻壁的距離確定蒼蠅的位置，用數(shù)字表示出蒼蠅位置，從而得到蒼蠅這個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。從中可以看出每一個(gè)成功都離不開背后的努力。

笛卡爾和費(fèi)馬創(chuàng)立的解析幾何學(xué)，打開了數(shù)學(xué)新世界的大門，開啟了數(shù)學(xué)新時(shí)代。后來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)者站在巨人的肩膀上，利用數(shù)形結(jié)合、類比的思想，不僅表示出三維空間的點(diǎn)，還推廣到四維空間甚至高維空間，極大促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。讓人欣喜的是，解析幾何學(xué)并沒(méi)有停滯不前，反而愈加充滿活力，現(xiàn)在高等教育中的泛函分析及代數(shù)幾何便是其分支。

通過(guò)上述附加式的引入，不僅讓學(xué)生了解到早期的坐標(biāo)系誕生的背景，也感受到了坐標(biāo)系的誕生為數(shù)學(xué)學(xué)者研究幾何學(xué)提供便利，更重要的是笛卡爾勤于動(dòng)腦的好學(xué)精神，更加值得同學(xué)們學(xué)習(xí)。

二、 復(fù)制式

例：斐波那契數(shù)列

（一） 引入題目

教師：同學(xué)們，現(xiàn)在我們來(lái)看一個(gè)老朋友。（展示PPT）大家眼熟嗎？

學(xué)生看到后紛紛表示這個(gè)是小學(xué)時(shí)候的兔子數(shù)列。

教師：同學(xué)們的記憶力真好，這個(gè)兔子數(shù)列是意大利數(shù)學(xué)家斐波那契提出的，因此也叫作斐波那契數(shù)列。同學(xué)們可以看出來(lái)斐波那契數(shù)列的規(guī)律嗎？

由于比較簡(jiǎn)單，學(xué)生回答比較快。即從第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)的和。

教師：非常好，那我們可以得到規(guī)律即：Fn+2=Fn+1+Fn（n∈N+）。但是這個(gè)并不是斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式，同學(xué)們能不能根據(jù)我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的等差數(shù)列及等比數(shù)列的知識(shí)，求出斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式呢。在PPT上展示題目：

已知F1=F2=1，F(xiàn)n+2=Fn+1+Fn（n∈N+），求數(shù)列Fn的通項(xiàng)公式。

（二） 引導(dǎo)解題

學(xué)生列出表格觀察每一項(xiàng)的規(guī)律，列出表格：

通過(guò)復(fù)制式方式，將斐波那契數(shù)列融入高中數(shù)學(xué)解題中，學(xué)生們?cè)诶盟鶎W(xué)知識(shí)的解題過(guò)程中，也能感受到數(shù)學(xué)的神奇與美麗。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題被學(xué)生們解決，學(xué)生也會(huì)感受到收獲知識(shí)的喜悅感、成就感。

三、 順應(yīng)式

例：解二元一次方程組

在解“二元一次方程組”中，經(jīng)常會(huì)采用《孫子算經(jīng)》中的“雞兔同籠問(wèn)題”引入，其實(shí)，中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)非常重視算術(shù)及應(yīng)用，唐代時(shí)，就有了《算經(jīng)十書》作為人們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的教材。其內(nèi)容也為中學(xué)課堂教學(xué)提供了豐富的課程資源。比如在《張邱建算經(jīng)》中，就有“百雞問(wèn)題”，“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一。凡百錢買雞百只，問(wèn)雞翁、母、雛各幾何？”這個(gè)問(wèn)題可以列三元一次方程組解決。而我們?cè)趯W(xué)習(xí)解二元一次方程組，可以將其改編為二元一次方程組的問(wèn)題。

買一只母雞需要十元錢，一只小雛雞需要兩元錢，現(xiàn)在共買了母雞和小雛雞共18只，花費(fèi)100元錢，問(wèn)：買了多少只母雞，多少只小雛雞？

這個(gè)問(wèn)題列二元一次方程組即可解決。借助數(shù)學(xué)史改編的問(wèn)題引入，也可告訴學(xué)生，早在公元5世紀(jì)左右，我們的數(shù)學(xué)家就開始用方程解決實(shí)際問(wèn)題，不僅有二元一次方程組，還有三元一次方程組。可見中國(guó)古人善于在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題。

四、 重構(gòu)式

例：復(fù)數(shù)的引入

我們熟悉的復(fù)數(shù)教學(xué)表面容易教，記住公式多做題就可以取得成績(jī)，實(shí)際上卻難于讓學(xué)生掌握對(duì)于復(fù)數(shù)的本質(zhì)理解，真正認(rèn)同復(fù)數(shù)。不妨嘗試重構(gòu)式教學(xué)，用發(fā)生的方法引導(dǎo)學(xué)生參與到復(fù)數(shù)的歷史中來(lái)。

（一） 卡丹的發(fā)現(xiàn)

解方程組

x+y=10.xy=40

學(xué)生解得結(jié)果為x1=5+-15，x2=5--15，感覺(jué)自己解錯(cuò)了，出現(xiàn)了負(fù)數(shù)的開方，但是驗(yàn)證卻是正確的。實(shí)際上，這與16世紀(jì)的意大利數(shù)學(xué)家卡丹的經(jīng)歷是一致的。他在解出這個(gè)題目后，認(rèn)為這很矯揉造作卻又自圓其說(shuō)。其實(shí)，早在卡丹以前，也有數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了虛數(shù)，但都以負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根直接否決了。卡丹卻承認(rèn)了這種形式的數(shù)，并且將它用于計(jì)算?？ǖさ倪@種敢于突破傳統(tǒng)實(shí)事求是的精神很令人佩服。

（二） 邦貝利的觀察

套用卡爾達(dá)諾公式x3=px+q（p，q均為正數(shù)）解x3=15x+4。

由于這個(gè)公式學(xué)生也不是很熟悉，教師可以嘗試給予方法幫助學(xué)生解決，師生共同參與解得x=32+-121+32--121。

再次出現(xiàn)負(fù)數(shù)的開平方，同學(xué)們出現(xiàn)疑惑，難道方程的根不存在？而通過(guò)師生的觀察和嘗試，發(fā)現(xiàn)這個(gè)方程竟有三個(gè)實(shí)數(shù)根，分別為：4，-2+3，-2-3，這與剛才利用卡爾達(dá)諾公式所解的答案似乎有矛盾。邦貝利也遇到了與同學(xué)們相同的問(wèn)題，但是他沒(méi)有像他的前輩卡丹一樣，回避這個(gè)矛盾，而是直面問(wèn)題得到了一個(gè)意想不到的結(jié)果。

邦貝利假設(shè)32+-121=a+-b，32--121=a--b

解得：a=2b=1

則：x=32+-121+32--121=2+-1+2--1=4

邦貝利創(chuàng)造性的使用了-121，-1這種形式的數(shù)，矛盾解決了，也使這種形式的數(shù)有了存在的意義。笛卡爾將其命名為“虛數(shù)”，意思為想象中的數(shù)。而隨著數(shù)學(xué)學(xué)者發(fā)現(xiàn)了復(fù)數(shù)在幾何上的意義，復(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)上逐漸得到大家的認(rèn)可，有了用武之地。

通過(guò)上述采用重構(gòu)式的引入，讓學(xué)生參與到復(fù)數(shù)的歷史中來(lái)，遇到了與數(shù)學(xué)家相同的問(wèn)題，逐步克服認(rèn)知障礙，提高學(xué)生對(duì)于復(fù)數(shù)的認(rèn)知能力，增加學(xué)生學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的動(dòng)機(jī)。同時(shí)也感受到數(shù)學(xué)上的每一個(gè)發(fā)現(xiàn)都不是憑空出現(xiàn)的，而是人類在探索數(shù)學(xué)世界時(shí)不同時(shí)期不同數(shù)學(xué)家共同努力，遇到問(wèn)題解決問(wèn)題的結(jié)果。

總而言之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中使用數(shù)學(xué)史的方式有很多，不僅有文中的附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式、重構(gòu)式，還可以采用其他方法。其根本目的都是幫助學(xué)生更好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和文化素養(yǎng)，也使不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。

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作者簡(jiǎn)介：

徐潔，張波，江蘇省揚(yáng)州市，揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院。