馬乃驥

[摘 要]利用切分重組法來推導(dǎo)圓的面積計(jì)算公式，一直是圓的面積教學(xué)多年來沿襲下來的“古方”，在其中初步滲透極限思想已成為教學(xué)的最大亮點(diǎn)。為了打破圓形與多邊形面積求法理論割裂的尷尬局面，利用圓形與正方形的關(guān)聯(lián)性展開教學(xué)，將圓形置于整個(gè)面積求法的大背景下，使學(xué)生對圓的面積計(jì)算公式的認(rèn)識更加全面深刻。

[關(guān)鍵詞]圓的面積；計(jì)算公式；極限思想

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）20-0026-02

“圓的面積”是小學(xué)幾何學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，它是平面線條由直線向曲線過渡的知識轉(zhuǎn)折，線條由直到曲，需要學(xué)生的思維有一些突破。理論上，曲邊形應(yīng)該采用微積分知識求面積，教材采用的實(shí)驗(yàn)法推導(dǎo)面積公式，間接滲透了極限思想。推導(dǎo)出圓的面積計(jì)算公式后，教材編排了兩道公式應(yīng)用類習(xí)題。課后，筆者進(jìn)行了后測。后測試題如下：（1） 如圖1，若正方形的面積為36 cm2，則圓的面積是多少？（2）若正方形的面積為20 cm2，則圓的面積是多少？答題情況如下表。

一、分析診斷

1.對面積的意義理解不夠深刻

在學(xué)習(xí)“圓的面積”之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過了簡單的平面幾何圖形的面積，并能夠說明白什么是面積。于是在教學(xué)“圓的面積”時(shí)筆者就沒有復(fù)習(xí)面積的概念。后測結(jié)果顯示，當(dāng)正方形面積為20cm2時(shí)，學(xué)生求出正方形的邊長為5 cm，其實(shí)是將面積與周長概念混淆了。

2.對公式的推理過程不清楚

后測數(shù)據(jù)顯示，學(xué)生能順利將平方數(shù)“36”分解成6cm×6cm，求出正方形的邊長為6cm，觀察圖形可知，正方形邊長等于圓形半徑，然后根據(jù)圓的面積公式S=πr2，代入數(shù)據(jù)即可求出圓的面積。但是數(shù)據(jù)“36”變成“20”后，學(xué)生就做錯(cuò)了。他們總是先求出半徑的具體數(shù)值，再代入圓的面積公式，完全沒想到能將r2作為一個(gè)整體代入公式就可求解。

3.缺乏探究經(jīng)歷

教材是通過剪、切、拼、貼等將圓形分割成若干個(gè)近似的等腰三角形，然后交叉嵌入，形成一個(gè)近似的平行四邊形（或者長方形），最終利用求四邊形面積法推導(dǎo)出圓的面積計(jì)算公式。許多教師認(rèn)為圓的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程含有極限思想，超出小學(xué)生的認(rèn)知范圍，于是只要求學(xué)生記住面積公式。用單一的方法推導(dǎo)公式，學(xué)生無法經(jīng)歷“異中求同”的思維訓(xùn)練，缺乏對面積計(jì)算公式權(quán)威性和嚴(yán)謹(jǐn)性的認(rèn)同。

二、解決對策

1.重視情境操作，感悟“面積意義”

研究表明，通過實(shí)踐操作得到的面積概念信息是深刻、穩(wěn)固而理性的。教學(xué)中，教師應(yīng)設(shè)計(jì)一些操作環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生揣摩并體會圓的面積意義。

例如，在“圓的面積”一課開始，筆者設(shè)計(jì)這樣的活動：

（1）描畫，區(qū)分周長和面積

出示四個(gè)大小不一的圓形（如圖2），讓學(xué)生嘗試描繪周長和面積。學(xué)生能用繞線法來感知周長，用剪紙法來感知面積，在比較中發(fā)現(xiàn)，周長是線條的長度，而面積是平面展開的大小。

（2）比較、感悟面積與什么有關(guān)

面對四個(gè)不同大小的圓形，學(xué)生會在觀察和比較中思考：圓的面積大小跟圓的什么有關(guān)？在初步交流中發(fā)現(xiàn)，影響圓的面積大小的因素主要是直徑和半徑。在教學(xué)中，充分運(yùn)用比較的方法，有助于突出引起面積大小變化的主因。

2.借助幾何直觀，聚焦“公式本質(zhì)”

在探究“圓的面積”時(shí)，可利用幾何直觀充分揭示其與正方形面積的關(guān)系，并通過計(jì)算理解公式本質(zhì)。

（1）感知圓與正方形面積的大小關(guān)系

呈示三個(gè)不同的正方形和一個(gè)圓（如圖3），引導(dǎo)學(xué)生觀察分析，判斷它們的面積大小關(guān)系。

先讓學(xué)生比較三個(gè)正方形的面積大小，通過計(jì)算，學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖（b）正方形面積是圖（a）正方形面積的4倍，圖（c）正方形面積是圖（a）正方形面積的2倍。學(xué)生會感到好奇，“圖（d）圓的面積是圖（a）正方形面積的多少倍呢？”從而發(fā)現(xiàn)正方形面積和圓的面積有個(gè)共同部分就是1cm2。

（2）感知圓的面積與正方形面積的大小關(guān)系

先畫出一個(gè)正方形，再以正方形的頂點(diǎn)為圓心、邊長為半徑畫圓，估測：圓的面積與正方形面積的倍數(shù)關(guān)系。（如圖4）

從原始的“數(shù)方格”起步，作出輔助線、圓的內(nèi)接正方形和外切正方形，進(jìn)行轉(zhuǎn)換和間接對比，得出圓的面積約為正方形面積的2至4倍，讓學(xué)生明確：圓的面積與r2成正比，比值為圓周率。

三、探索驗(yàn)證

1.于多種形式的探索中體驗(yàn)轉(zhuǎn)化思想

可直接要求學(xué)生用割補(bǔ)法將圓形轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的幾何圖形，以小組為單位合作探究圓的面積計(jì)算公式。由于圓的大小以及分割的份數(shù)不一樣，學(xué)生得到了多種多樣的方案。學(xué)生通過觀察實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)可以將圓形轉(zhuǎn)化為近似的長方形，分得越精細(xì)，越接近長方形，再通過轉(zhuǎn)化前后的對比，發(fā)現(xiàn)了變化量和恒等量，從而推導(dǎo)出圓的面積計(jì)算公式。

2.以不同的推演方案驗(yàn)證公式的可信度

教材只提供了“轉(zhuǎn)化為長方形”這一種轉(zhuǎn)化模式。為了追求多樣性，筆者引導(dǎo)學(xué)生求異求變：“以平分成16份為例，除了長方形，還可以拼接成什么圖形？能利用新圖形推導(dǎo)圓的面積計(jì)算公式嗎？”

學(xué)生通過將圓轉(zhuǎn)化成三角形、梯形（如圖5），從不同角度推導(dǎo)出了圓的面積計(jì)算公式，經(jīng)歷不同的推導(dǎo)過程后，轉(zhuǎn)化思想得以培養(yǎng)。

站得高才能看得遠(yuǎn)。一切嘗試得出的結(jié)果只有經(jīng)過多番證明，才顯得真實(shí)可靠。正是因?yàn)橛辛饲懊嬲叫蔚囊I(lǐng)，后面的多樣性重組法才有了堅(jiān)固的理論根基。

綜上，圓的面積計(jì)算公式推導(dǎo)是幾何教學(xué)中的重要內(nèi)容。只有創(chuàng)新教學(xué)方法，讓學(xué)生通過觀察、拼接等探究方法，將面積計(jì)算公式盤活，并能融會貫通、運(yùn)用自如，才能有效解決面積計(jì)算問題。

（責(zé)編 黃春香）