徒旭波

[摘 要] 學(xué)起于思，思源于疑. “思”是學(xué)習(xí)的重要方法，“疑”是啟迪思維的鑰匙. 本文以教學(xué)中的實際案例來探析如何“預(yù)設(shè)”質(zhì)疑點，以及如何把握隨堂“未預(yù)設(shè)”的質(zhì)疑點，以提高學(xué)生的質(zhì)疑能力.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)教學(xué)；質(zhì)疑能力；培養(yǎng)

古人云：學(xué)起于思，思源于疑. “思”是學(xué)習(xí)的重要方法，“疑”是啟迪思維的鑰匙. 教師在平常的數(shù)學(xué)教學(xué)中要摒棄“一言堂”，放下“權(quán)威”，營造學(xué)生“敢言”“敢疑”的學(xué)習(xí)氛圍，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣.

案例1 2=4？

在“一元一次方程的解法”學(xué)習(xí)后，設(shè)計一道題的解答過程.

解：2（x-2）=4（x-2），兩邊都除以（x-2）得2=4，所以方程無解.

師：上述解答對嗎？

生1：對吧，步驟上應(yīng)該沒有問題.

生2：好像不對，我解出來有解，但我不是這樣解的.

師：你怎么解的？

生2：先移項，再提取公因式得-2（x-2）=0？搖，即x-2=0，x=2.

師：你解得步步在理，但他的解法看上去也沒有什么不妥，究竟錯在哪里？

生3：我發(fā)現(xiàn)一個問題，x=2是方程的解，那么x-2豈不是等于0，兩邊是不能除的！

師：為什么不能除？

生3：因為等式的兩邊同時除以不為零的整式，等式仍成立，否則等式不成立.

師：找到問題所在了，就是在運用等式基本性質(zhì)進行等式變形時忽略了限制條件，導(dǎo)致求解方程出錯. 事實上，數(shù)學(xué)有一些性質(zhì)、定理、基本事實都是有前提條件的，同學(xué)們在今后的學(xué)習(xí)中要精益求精，不可模糊記憶，要正確理解.

探析 本題為預(yù)設(shè)的質(zhì)疑題，以謬論對學(xué)生的思維構(gòu)成強烈的沖擊，讓學(xué)生從解題依據(jù)上質(zhì)疑，創(chuàng)造一個質(zhì)疑的空間，在不斷的追問中讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，追溯錯誤的源頭，揭示問題的本質(zhì)在于方程變形時所依據(jù)的前提條件被忽略了，導(dǎo)致謬論的出現(xiàn).

案例2？搖 所有三角形都能證明是等腰三角形.

學(xué)習(xí)了等腰三角形的內(nèi)容后，筆者在一次復(fù)習(xí)課上，引用了一道網(wǎng)紅題.

師：今天我給大家?guī)砹艘坏烙腥さ膯栴}，曾經(jīng)有人揚言：所有的三角形都能證明是等腰三角形，而且還非常嚴謹?shù)刈C明了一番. 現(xiàn)在我來轉(zhuǎn)述一下過程.

證明：如圖1，作∠BAC的平分線，BC的中垂線交于點G，過點G作GE⊥AB于點E，GF⊥AC于點F.

因為∠EAG=∠FAG，∠AEG=∠AFG=90°，AG=AG，所以△AEG≌△AFG（AAS），所以AE=AF，EG=FG.

因為GD垂直平分BC，所以BG=CG，所以Rt△GEB≌Rt△GFC（HL），所以BE=CF，所以AE+BE=AF+FC，即AB=AC.

師：怎么樣？上面的證明從頭到尾，合情合理，太匪夷所思了. 但是同學(xué)們你們認為這個結(jié)論正確嗎？

生1：這不可能正確.

師：那問題出在哪？你們試著想想看.

學(xué)生們或盯著黑板反復(fù)看步驟，或拿起筆在草稿紙上依樣畫葫蘆，只有極少數(shù)的人開始慎重地用工具嚴格作圖，過一會兒，一個學(xué)生開口了.

生2：老師，奇怪了，我作出來的圖和你黑板上的不太一樣.

師：哦？你是怎么畫的？

生2：我很嚴格地用尺規(guī)作了角平分線和中垂線，但是交點總是在三角形的外面.

師：真的嗎？我們不妨一起來作作看.

于是，借助工具在黑板上準確作圖（如圖2），重新證明.

可證AE=AF，那么AB>AE=AF>AC，顯然結(jié)論不成立.

師：那么既然我們通過畫圖可以獲知交點總在外面，是不是也可以通過推理證明來解釋這一現(xiàn)象呢？

師：大家有沒有發(fā)現(xiàn)最終兩線交點的位置實際上與BC中點D的位置有關(guān)，那么點D的位置如何確定呢？

生3：若點D在點H的左側(cè)，交點必在外面.

師：很好，也就是要證明BH>HC.

……

最后師生共同探究用面積法（圖3），證明了BH>HC，即角平分線AH與BC的交點H與點A位于BC中垂線的同一側(cè)，故與中垂線的交點在三角形外部.

探析 本題為預(yù)設(shè)的質(zhì)疑題，從畫線構(gòu)圖上質(zhì)疑，選擇一個經(jīng)典的幾何謬論，激發(fā)學(xué)生多角度質(zhì)疑. 從推理過程中根本找不到漏洞時需要轉(zhuǎn)變質(zhì)疑的方向，利用工具作圖發(fā)現(xiàn)問題所在，因勢利導(dǎo)，再度發(fā)問：交點在外面是否可以通過推理論證？在不斷地提出問題，解決問題的過程中培養(yǎng)、發(fā)展和提高學(xué)生質(zhì)疑能力和思維品質(zhì).

案例3？搖 奇怪，64=65？

一次市級公開課上有教師設(shè)計了一個有趣的問題，這是一道圖形面積的問題，神奇之處在于通過一剪一拼，最后面積居然變多了？下面我們一起來見識下：把圖4中8×8的正方形分割成四塊，然后拼成右圖所示的圖形，算算兩者的面積，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：左邊是64，右邊是65.

師：可能嗎？

生2：不可能啊，雖然剪開再拼，但是面積不會變的??？奇怪了！

師：既然不可能，那么問題肯定存在，問題在哪？

生3：我們可以用方格紙剪一剪，試著拼拼看嗎？

師：當(dāng)然可以，大家也可以一起操作試試.

過了一會，同學(xué)們驚喜地找到了答案.

生4：拼圖有問題，中間有空隙，直角三角形的斜邊和梯形的這邊根本不在同一條直線上，原來我們被忽悠了.

師：確實如此，你們通過動手操作實踐找到了破綻之處，很棒，那能否通過計算來解釋呢？

生5：只要說明三點不共線就可以了.

師：如何說？

生5：分別求AB，BC，AC，可得AB+BC>AC，即證.

生6：也可以建立直角坐標系，求AB解析式，再驗證點C不在直線AB上.

生7：∠ABD≠∠BCE，就可以說明三點不共線的.

……

探析 本題為教師預(yù)設(shè)的質(zhì)疑題，從眼見為實上質(zhì)疑，運用教學(xué)輔助工具讓學(xué)生親眼看見了圖形的剪拼過程，卻不可思議地發(fā)現(xiàn)面積多出來的結(jié)論. 拋疑激思，讓學(xué)生在實際操作中尋找破綻，推波助瀾，在肯定學(xué)生做法后引導(dǎo)學(xué)生還可以通過數(shù)據(jù)結(jié)合計算等手段進行質(zhì)疑.

案例4？搖 莫非證明了勾股定理？

在“三角形的內(nèi)切圓”一課新授后，求直角三角形內(nèi)切圓半徑時，有兩位同學(xué)用不同的方法得到兩種不同的結(jié)果.

生1：由面積法得r= .

生2：由切線長定理得r=.

學(xué)生疑問：同一個圓怎么會得到兩個不同的答案？

學(xué)生爭論：是否有一個答案算錯了？

于是大家都驗算一遍，發(fā)現(xiàn)沒有問題.

生3：這兩個答案在數(shù)量上應(yīng)該是相等的，是否是a，b，c 存在著某種數(shù)量關(guān)系？

于是師生共同板演=的變形過程，得：a2+b2=c2.

生（頓悟）：原來是滿足勾股定理！

老師頓時察覺這是否可以作為勾股定理新的證明方法. 于是教師畫弦圖，重新展示了勾股定理的證明過程. 學(xué)生迷茫地看著老師，為什么在這里演示勾股定理的證明？

師：請同學(xué)們對比一下這兩個過程，你有什么想法？

生4：老師的意思，莫非我們今天的發(fā)現(xiàn)，可以用來證明勾股定理？

學(xué)生頓時無比興奮！

師（一時也沒把握）：要證明勾股定理，則a2+b2=c2是要證明的結(jié)論，要避免以前循環(huán)論證的錯誤，就像以前我們部分同學(xué)犯過的錯誤，證明一個結(jié)論，無意識地把它當(dāng)作條件，兜一圈，再來證明這個結(jié)論. 那么在這里需要明確的就是，我們兩種結(jié)果的得出有沒有用到勾股定理，如果用到了，再證明勾股定理，就犯了循環(huán)論證的錯誤了.

學(xué)生回到了兩位同學(xué)的解答過程.

生5：兩種都沒有用??！

師：切線長定理是否與勾股定理有關(guān)？我們是怎么證明切線長定理的？

生6：全等三角形！

師：哪種全等方法？

生6：HL.

師：HL的證明，是否用到了勾股定理？

此時的課堂眾說紛紜，一石激起千層浪，爭論在課后延續(xù)，思維在爭論中成熟……

探析 此案例沒有預(yù)設(shè)的質(zhì)疑，題從邏輯推理上質(zhì)疑，通過半徑的兩個推導(dǎo)公式引出的a2+b2=c2，是否真的又一次證明了勾股定理？解決這個問題的本質(zhì)是挖出切線長定理，HL定理得到的依據(jù)有沒有用到勾股定理，搞清楚整個論證的背后有沒有循環(huán)論證，這樣一個發(fā)人深省的疑問，可以讓學(xué)生看得更遠，想得更多. 在我們的教學(xué)中常有這種質(zhì)疑片段出現(xiàn)，教師若能很好地把握，定能讓學(xué)生不斷觸摸到數(shù)學(xué)的本質(zhì).

學(xué)生學(xué)會質(zhì)疑、學(xué)會思考、學(xué)會學(xué)習(xí)，是我們教學(xué)所要追求的“詩和遠方”. 如何設(shè)計引發(fā)學(xué)生質(zhì)疑的問題，如何引導(dǎo)學(xué)生進行質(zhì)疑，有效培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑能力，我們一直在路上.