龍霜華 秦健

【摘要】本文結合《平面鑲嵌》一課教學，讓學生經歷“將實際問題轉化為數學問題—合作探究—尋找共性—得出結論”的學習過程從而掌握該學習方法，提出教師在教學中應放手讓學生探究，讓學生在玩中發(fā)現規(guī)律、掌握知識、學會方法，快樂學習。

【關鍵詞】《平面鑲嵌》 情境導入 方法總結 課外延伸 學生探究 快樂學習

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2018）05A-0027-05

一、教材分析

《平面鑲嵌》是人教版八年級上冊第十一章《三角形》的最后一節(jié)內容，這是一節(jié)數學活動課，是在介紹了三角形的概念及性質，多邊形的內角和、外角和公式的基礎上進行的，再次體現了多邊形內角和公式在實際生活中的應用。教材從生活實例出發(fā)，引出平面鑲嵌的概念，探究了三個問題：一是一種正多邊形的鑲嵌問題，通過動手實驗、觀察、分析，發(fā)現正三角形、正方形和正六邊形能鑲嵌；二是幾種正多邊形的鑲嵌問題，探究正多邊形平面鑲嵌的原理；三是探究任意多邊形的平面鑲嵌。本課的學習，讓學生經歷從實際問題抽象出數學問題，建立數學模型，綜合應用已有知識解決問題的過程，加深對相關知識的理解，提高思維能力。

二、學情分析

八年級學生對鑲嵌的認識大多數來源于生活實際中的感性認識，對鑲嵌的內在規(guī)律關注不夠，因而教師在教學本節(jié)時應通過創(chuàng)設情境、組織學生動手操作，讓學生在活動中共同探究從而加深對鑲嵌的認識，發(fā)現其內在規(guī)律，將感性認識上升為理性認識。

三、教學目標

（一）掌握正多邊形平面鑲嵌的條件；

（二）探究任意多邊形平面鑲嵌的條件；

（三）通過探究正多邊形鑲嵌條件的過程，訓練學生的合情推理能力；

（四）通過平面圖形的鑲嵌活動，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和運用數學知識解決實際問題的能力。

四、教學重難點

教學重點：

（一）掌握正多邊形平面鑲嵌的條件；

（二）探究一種正多邊形、幾種正多邊形的鑲嵌問題。

教學難點：探究正多邊形平面鑲嵌的條件。

五、教學實錄

（一）觀察生活，引出概念

師：入冬后天氣轉涼，小紅想網購一床被子，她對這樣由多邊形圖案拼接而成的衍縫被情有獨鐘。請大家和我一起欣賞這些被子上的多邊形圖案。（課件播放衍縫被的圖片，并運用放大鏡功能依次展示每床被子上的多邊形圖案，圖略）

師：這床被子上的圖案分別是由什么多邊形拼接而成的？

生：菱形、正六邊形、正方形、三角形。

師：在網購的過程中，小紅發(fā)現商店里還有制作衍縫被的材料包出售，心靈手巧的小紅想嘗試自己縫制被子。請大家思考，布塊的拼接會有什么要求呢？如果小紅按照第一種拼接方式縫制被子可以嗎？為什么？（出示圖1、圖2、圖3）

生：不可以，有縫隙。

師：沒錯，按照這樣的方式拼接布塊，縫制出來的被子一定是漏風的。那第二種呢？

生2：也不可以，布塊之間有重疊，縫制出來的被子不平整。

師：很好，那最后一種呢？

生：可以，既不重疊也無空隙。

師：沒錯，縫制一床既平整又暖和的被子，應該用第三種方式拼接布塊。在數學中，用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做平面鑲嵌。

【設計意圖】

建構主義學習觀認為，數學學習內容應通過情境的方式呈現，更貼近學生實際生活的情境能激發(fā)學生走進數學的興趣和信心。教師創(chuàng)設情境時要緊緊圍繞教學目標，而且要具體、有新意、對學生有啟發(fā)。在引入環(huán)節(jié)，筆者用“縫被面”的情境大膽而巧妙地替換了教材中的“鋪地磚”情境，既遵循了新課標中“數學源于生活”的理念，又能激發(fā)學生的學習興趣。這一實例更易于學生理解有縫和有褶皺兩個概念，為下一步的學習鋪墊。

（二）分類探究，發(fā)現規(guī)律

師：小紅非常想用正五邊形縫制一床被子，但是一直買不到材料，到底什么樣的多邊形能夠鑲嵌呢？請你利用正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形紙片，小組合作探究哪一種正多邊形可以單獨進行平面鑲嵌。

（教師給予學生充足的時間合作探究，關注每個小組的合作探究成果，拍照記錄）

師：相信大家經過探究都已經有所發(fā)現，現在請小組代表回答，正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形哪一種正多邊形可以單獨進行平面鑲嵌。

生：正三角形、正方形、正六邊形可以，正五邊形不可以。

師：非常好，我相信其他小組也是得到一樣的結論。老師收集了各個小組的作品，讓我們一起來欣賞。

（教師利用手機拍照上傳的功能，向學生展示各個小組的作品）

師：現在請大家思考為什么單獨用正三角形、正方形、正六邊形能鑲嵌成平面圖案，而正五邊形不能鑲嵌成平面圖案？

生：因為正三角形、正方形、正六邊形可以拼接成既不重合又無空隙的圖案，正五邊形拼接的圖案有空隙。

師：那要想多邊形拼接在一起既無空隙又無重疊，必須滿足什么條件呢？

生：在角的交點處，所有角之和等于360°。

師：這么重要的結論都被你發(fā)現了，真棒！我們把角的交點處叫做拼接點。由此我們得到了單獨一種正多邊形可以進行平面鑲嵌的條件是，拼接點處的所有角之和為360°。

【設計意圖】

筆者通過分組探究將難點分解，讓學生在活動過程中自主探究出結果，增強學習數學的興趣及信心；通過自主拼圖，學生進一步形成對一種正多邊形平面鑲嵌的整體認識；通過師生共同總結規(guī)律，學生對平面鑲嵌的認識從感性上升到理性的高度。

（三）開放探索，運用結論

師：小紅覺得單獨一種正多邊形的鑲嵌還不夠漂亮，請小組合作，設計出幾種圖形組合鑲嵌的圖案。

（教師給予學生充足的時間設計圖案，關注每個小組的合作探究成果，拍照記錄）

師：好的，時間到，現在我們來欣賞由各個小組設計的圖案。

（教師依次展示學生的作品，并給予表揚）

師：大家看，這名同學設計的圖案是一個愛心，十分漂亮，下面我們請他給我們分享，他通過圖案設計，發(fā)現哪些正多邊形可以組合在一起鑲嵌成一個圖案。

生1：我是用正六邊形和正三角形鑲嵌成這個愛心圖案的。

師：你用了幾個正六邊形、幾個正三角形進行鑲嵌？

生1：我用了兩個正三角形和兩個正六邊形進行鑲嵌。

師：為什么兩個正三角形和兩個正六邊形可以鑲嵌成一個平面圖形呢？

生1：因為一個正三角形內角是60°，一個正六邊形內角為120°，在拼接點處包含兩個三角形的內角和兩個正六邊形的內角。60°×2+120°×2=360°。

師：你回答問題思路清晰，回答得真精彩！接下來我們看看這幅圖案設計，這個小組的同學運用了三種圖形進行鑲嵌，他們盡可能用到了所有可以進行平面鑲嵌的多邊形設計圖案，非常有創(chuàng)意。在同一個圖案中既包含兩種正多邊形的鑲嵌，也包括三種正多邊形的鑲嵌。那么你們有沒有想過，為什么這些正多邊形可以進行平面鑲嵌？

生2：我們在拼圖的過程中，就有意識地計算，看一下哪些多邊形的內角組合在一起可以得到360°。

師：非常棒！你通過探究1后能夠將探究1的結論運用到探究2之中。通過探究2，大家認為幾種圖形可以組合在一起鑲嵌需要滿足什么條件？

生：在拼接點處所有角之和為360°。

師：非常好，由此我們發(fā)現，無論是單獨一種正多邊形進行平面鑲嵌，還是幾種正多邊形組合在一起鑲嵌，需要滿足的條件都是在拼接點處所有內角之和為360°。

師：現在讓我們學以致用，請問正方形和正八邊形能否鑲嵌？為什么？

生3：可以，正方形的一個內角為90°，正八邊形的一個內角是135°，135°×2+90°=360°，所以用兩個正八邊形和一個正方形就可以鑲嵌成一個平面圖案了。

師：回答得非常好！當我們發(fā)現規(guī)律之后，就不需要通過拼圖的方式判斷一種正多邊形或幾種正多邊形組合在一起能否鑲嵌成一個平面圖案了，只需要運用結論即可。

【設計意圖】

從探究1到探究2是一個從簡單到復雜的過程，這一個從簡到繁的過渡符合學生的認知規(guī)律。我國教育家劉佛年指出：“只要有點新思想、新觀念、新設計、新意圖、新方法，就稱得上創(chuàng)造?！痹谔骄?的教學中，筆者通過讓學生設計平面鑲嵌圖案，使學生在設計過程中觀察、發(fā)現幾種正多邊形可以平面鑲嵌的規(guī)律，最終學生發(fā)現將探究1的結論遷移至探究2也是可行的。學生設計出各種各樣的圖案，激發(fā)了自身的創(chuàng)造性思維。

（四）深入研究，提升思維

師：通過探究1和探究2，我們已經成功地得出正多邊形可以進行平面鑲嵌的條件，那么單獨一種任意多邊形能否進行平面鑲嵌呢？讓我們從最簡單的任意三角形開始探究，比一比哪個小組最快得出結論。

（學生探究，教師表揚較快得出結論的小組）

師：經過兩分鐘的探究，基本上所有的小組都可以得出結論，這是每個小組的拼圖成果。（教師利用手機同屏展示各小組作品）下面請小組代表給我們分享他們小組得出的結論。

生1：經過探究，我們小組認為任意三角形可以鑲嵌成平面圖案，這是我們小組鑲嵌的圖案。

師：你們小組用了幾個三角形進行鑲嵌？你可以告訴我們這幾個三角形應該如何擺放，才可以鑲嵌成平面圖案嗎？

生1：我們小組用了六個任意三角形進行鑲嵌。我們原來的思路是量出所有三角形每個內角的度數，但是我們發(fā)現量內角的工作量太大，后來我們想到三角形的內角和為180°，而且這些任意三角形都是全等的，因此只要在拼接點處讓三個三角形的不同內角拼在同一個點處，一定能得到180°，兩組這樣的拼接，就可以使在拼接點處所有角之和為360°。

師：你的分析太精彩了，不僅給我們分享了你們小組曲折的探索過程，還將為什么任意三角形可以鑲嵌成一個平面圖形解釋得非常清楚。從這個小組的分析我們可以看出，探究任意三角形鑲嵌的過程與三角形內角和為180°息息相關，可見知識間是相互聯系的。

師：任意三角形可以進行平面鑲嵌，那么任意四邊形可以嗎？

生：可以。

師：說可以鑲嵌的同學，你能告訴我們要用到幾個四邊形進行鑲嵌嗎？怎樣擺放四邊形呢？

生2：運用四個四邊形進行鑲嵌，讓四邊形中不同的內角拼在同一個點處。

師：原因是什么呢？

生2：四邊形的內角和為360°。

師：你們真是太有智慧了。

師：小紅覺得還是有些遺憾，因為她本來是想用五邊形作為基礎圖案縫制被子，現在大家探究的結果是正五邊形不能夠進行平面鑲嵌，那么請問是否有一些特殊的五邊形可以進行平面鑲嵌呢？

生：應該有吧。

師：確實是有的。2015年，美國華盛頓大學研究人員發(fā)現了一種不規(guī)則的“完美五邊形”，它的五個內角分別為60°、90°、105°、135°和150°。這樣的五邊形可以跟其他一模一樣的五邊形拼接起來。迄今，人們總共發(fā)現15個這樣的“完美五邊形”。在數學界，發(fā)現這種不規(guī)則五邊形，無異于發(fā)現一種新型粒子。更多的超級五邊形、超級六邊形、超級n邊形等著你發(fā)現！

【設計意圖】

探究3的教學是體現本節(jié)課思維深度的一個環(huán)節(jié)，使整節(jié)課的研究由正多邊形引向任意多邊形，滲透了從簡單到復雜、從特殊到一般的數學思想。在教學過程中，筆者不再給予學生充分的時間，而是以小組比賽的形式，讓學生在短時間內專注思考。實際教學中，有幾個小組能在1分鐘之內發(fā)現規(guī)律，并能夠向大家分享本小組在探究過程中，調整方案、得出結論的過程，教學節(jié)奏緊湊而有效，教學效果較好。教師通過“完美五邊形”這一知識延伸，拓展學生的視野，激發(fā)學生探究興趣。

（五）梳理脈絡，提升方法

師：本節(jié)課我們主要研究了平面鑲嵌的哪些知識點？

生：平面鑲嵌的定義、多邊形可以鑲嵌的條件。

師：是的，本節(jié)課我們從形的角度學習了平面鑲嵌的定義，又從數的角度探究了多邊形可以鑲嵌的條件。我們研究平面鑲嵌所需要的條件經歷了怎樣的過程？

生：縫被子。

師：沒錯，我們首先將縫被子這個實際問題轉化成數學問題。接下來，我們是怎樣解決這個數學問題的呢？

生：做實驗。

師：是的，那我們做了幾個實驗？

生：三個，我們先探究單獨一種正多邊形的鑲嵌，接著探究幾種正多邊形組合的鑲嵌，最后還探究了任意三角形的鑲嵌。

師：很好，那我們進行了實驗之后是怎樣得出結論的呢？

生：我們觀察可以鑲嵌的幾個正多邊形的共性，發(fā)現只要在拼接點處所有角之和為360°即可。

師：真棒，我們經歷了這樣的學習過程（出示圖4），我們在今后學習幾何知識時，經常會經歷這樣的過程。

圖4

【設計意圖】

建構主義基于學生的心理發(fā)展認為，學習是通過意義建構來獲取知識和經驗的過程，在學生原有的知識結構和經驗下，通過適當的指導和學習總結，使知識內化到原有的認知結構中。在課堂小結的過程中，筆者引導學生回憶整節(jié)課的主線：每個環(huán)節(jié)是如何開展的？如何解決問題？學習了什么知識點？通過梳理脈絡，提出學習幾何的一般過程。學生在自主回顧、總結的基礎上，形成知識再現，構建完整的知識結構體系，最終實現“問題知識化”的目的。

（六）課后延伸，拓寬視線

師：下面請同學們欣賞幾張圖片。

師：這些圖片蘊含著平面鑲嵌的元素，但是我們的基本圖形不再是多邊形，而是各種各樣的圖案。這些圖片其實大有來頭，它們是埃舍爾鑲嵌圖形，一種基于數學原理的圖形繪畫方式，由荷蘭的數學家埃舍爾創(chuàng)作。埃舍爾正是從一個藝術家的角度，利用數學家的發(fā)現，發(fā)掘了美，創(chuàng)造了美。

師：最后，請大家觀察足球的圖片，你發(fā)現了什么？

生：我發(fā)現了鑲嵌。

師：你發(fā)現了什么圖形的鑲嵌？

生：正五邊形和正六邊形的鑲嵌。

師：大家不是告訴我，正五邊形沒辦法和其他圖形進行平面鑲嵌嗎？

（學生沉思）

師：足球外表的圖案是由正五邊形和正六邊形鑲嵌而成的，正五邊形和正六邊形在平面上無法進行鑲嵌，但是可以進行空間鑲嵌。感興趣的同學課后可以繼續(xù)研究空間里的鑲嵌。

【設計意圖】

新課標指出，教師要利用拓展延伸，鼓勵學生讀一些數學課本以外的科普讀物、數學網站上的閱讀思考活動等，以引起學生思想共鳴和模仿實踐，提高他們學習數學的興趣，激發(fā)他們的求知欲。在本環(huán)節(jié)的教學中，學生通過欣賞埃舍爾的鑲嵌圖片，感受數學的應用價值，感受利用數學知識創(chuàng)造的藝術品的神奇美妙。通過觀察足球的外觀，學生的思維從平面鑲嵌延伸至空間鑲嵌，學生的思維得到拓寬，將課堂中數學的探究余熱延至課后，在教學中，學生大開眼界，并表現出進一步探究空間鑲嵌的欲望。

六、教學反思

本節(jié)課教學目標明確，從整體來看，本節(jié)課重點突出，難點得以突破，教法得當，課堂氣氛活躍，學生參與面廣，思維得到激發(fā)，教學效果明顯。

從細節(jié)方面來看，在引入環(huán)節(jié)，筆者用“縫被面”的情境大膽而巧妙地替換了教材中的“鋪地磚”情境，符合新課標中“數學源于生活”的理念，讓學生更容易理解有縫和有褶皺，為下一步學習定義鋪墊。在探究環(huán)節(jié)，筆者將課本中的探究問題進行了整合，給學生極大的探究空間。

整節(jié)課主線明確，具有濃厚探究氣息。本節(jié)課的明線是以小紅“縫被面”的情節(jié)發(fā)展推動探究進程，暗線是探究多邊形鑲嵌的條件。根據情節(jié)的發(fā)展，筆者引領學生探究了一個正多邊形鑲嵌應滿足的條件，兩組及兩組以上的正多邊形鑲嵌需要滿足的條件，任意多邊形可以平面鑲嵌的條件。學生通過探究，收獲知識，屬于“真探究”。學生在“玩”中掌握知識，真正實現了“快樂學習”。

本節(jié)課不僅能激發(fā)學生課堂上的探究興趣，更將學生的探究熱情延至課后，筆者通過讓學生欣賞埃舍爾鑲嵌圖片，使學生感受數學的應用價值，感受利用數學知識創(chuàng)造的藝術品的神奇美妙。通過觀察足球的外觀，學生的思維從平面鑲嵌延伸至空間鑲嵌。

本節(jié)課上完后，雖然效果不錯，但還有一些地方需要改進。

首先，對于課堂上學生的一些亮點作品，筆者未能有效利用。其次，學生雖然在辨析研討的過程中，徹底明白鑲嵌的特征及條件，但畢竟練習量不夠，還缺少一些必要的練習鞏固。

總之，一節(jié)好課的產生，需要我們把更多的時間、精力投入到“精心設計”，還給學生足夠的思考時間和獨特的體驗空間，讓學生思維得到提升！

【評析】

一、從教學設計看本節(jié)課的三大亮點

（一）巧妙引入，學生樂在開頭

本節(jié)課從一件生活小事——小紅想親自縫制被子說起，由被子的拼接引入課題，體現了課標中數學源于生活的理念，增強了學生學習新知識的興趣，使學生產生好學之樂。

（二）巧妙設計數學活動，學生樂在其中

《平面鑲嵌》整節(jié)課以生活例子“縫被面”為主線，引領學生經歷：觀察生活（縫被面）；提出問題（為什么正五邊形不能平面鑲嵌）；化歸為數學問題（平面鑲嵌）；合作探究分類思考，尋找共性（鑲嵌的條件）；解釋應用（正五邊形不能縫被面）；拓展（特殊的五邊形可以縫被面）；提升（美麗的圖案源于數學）。這一連貫的設計既遵循課標中“數學源于生活，高于生活，指導生活”的理念，又符合學生的認知規(guī)律。學生在玩的過程中享受思考的樂趣，課堂如行云流水，讓大家享用了一頓精美而務實的數學大餐。

（三）方法總結，學生樂在其后

龍老師主要通過兩個問題引導學生總結方法。

1.本節(jié)課我們主要研究了平面鑲嵌的哪些知識點？

（從形的角度學習了平面鑲嵌的定義，又從數的角度探究了多邊形可以鑲嵌的條件）

2.本節(jié)課我們研究平面鑲嵌所需要的條件經歷了怎樣的過程？

教師最后指出，在今后研究幾何圖形時，常常會經歷這樣一個過程，為學生以后的學習鋪墊。

二、從總體分析，課堂實現了“三有”

從學生的視角看課堂——有趣。學生學得輕松、愉快、有趣，活而不亂，充滿智慧。

從教師的視角看課堂——有味。教學體現個性和特色，充滿智慧和靈動，教師課前精心設計，課堂精彩展示，學生學得“津津有味”，教師教得“激情飛揚”，高效有味。

從管理者的視角看課堂——有效。學生通過課堂學習，在知識、能力、情感態(tài)度價值觀等方面有所收獲；教師通過課堂教學完成了教學內容，達到了教學目標，體現了學科特色。聽課者通過課堂聽課，有所思考，有所啟迪。

三、教學建議

“課堂教學是一門遺憾的藝術”，龍老師很年輕，對于課堂生成的教學資源，還沒有能夠充分利用。例如課堂上龍老師收集到了某學習小組的一幅將所有教師提供的正多邊形進行鑲嵌的組合圖形，這是非常好的教學資源，如果繼續(xù)深入探究將掀起課堂的高潮，但龍老師沒有把握好機會，她沒有展示這一組合圖形并讓學生找出所有鑲嵌的情況，而是選擇了兩組簡單的圖形進行討論，而這兩組圖形的鑲嵌方式又是一樣的，顯得有些重復而深度不夠。

雖然小有遺憾，但這節(jié)課依然是“樂教”與“樂學”和諧共振的好課?。ㄇ亟。?/p>

（責編 劉小瑗）