黃渝夏 葉小紅 李坤

摘 要：數(shù)學是一門抽象性的學科，要學好數(shù)學，要求學生具備良好的數(shù)學思維能力。剛進入高中階段的學生，數(shù)學思維以形象思維為主，實現(xiàn)由形象思維向抽象思維的轉(zhuǎn)化要以數(shù)學知識為載體，通過對高中數(shù)學概念的分析、命題的推理、規(guī)律的概括等達到訓練學生思維的目的。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學；抽象問題；解決策略

《數(shù)學辭海（第六卷）》認為，數(shù)學的抽象性來源于數(shù)學思維的邏輯嚴密性的要求，當研究對象的任何非本質(zhì)的因素會妨礙邏輯思維時，數(shù)學就很自然地拋棄了非本質(zhì)的因素。換句話說，數(shù)學思維是抽取數(shù)學對象的共同的、本質(zhì)的屬性，舍棄非本質(zhì)的屬性的思維過程。高中數(shù)學中，抽象問題的產(chǎn)生主要源于概念、命題以及規(guī)律，本文將有針對性的利用反例教學法、數(shù)形結(jié)合法、多媒體教學法對數(shù)學抽象問題加以分析和解答。

一、 反例教學法

美國數(shù)學家蓋爾鮑姆曾說：“數(shù)學是由‘證明和‘反例組成，而數(shù)學發(fā)現(xiàn)也是朝著‘提出證明和‘構(gòu)造反例兩個主要目標進行的。”高中數(shù)學中，許多問題從正面推理難以攻破，需要在方法上借助構(gòu)造反例對原問題加以證明，或者只有舉出反例，才更容易理解。反例需要學生的推理、假設(shè)、證明和驗證，不斷地嘗試錯誤從而達到真正的理解。反例教學法將復(fù)雜的問題簡單化，抽象的問題直觀化，很大程度上能夠幫助學生得到正確答案，培養(yǎng)學生舉一反三的能力。對反例的求解，實現(xiàn)對學生逆向思維的培養(yǎng)。

例如：在學習函數(shù)單調(diào)性時，多次強調(diào)函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)。

比如說：函數(shù)y=1x在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上也是減函數(shù)，它有兩個單調(diào)區(qū)間，很多同學就認為函數(shù)y=1x在（-∞，0）∪（0，+∞）上是減函數(shù)。

對于這樣的錯誤，通常采取構(gòu)造反例的方式加以解釋，對于任意的x1∈（-∞，0），x2∈（0，+∞），則x1

二、 數(shù)形結(jié)合法

高中數(shù)學研究的對象無非就是兩部分，一部分是數(shù)，另一部分是形。數(shù)與形是有關(guān)聯(lián)的，這個關(guān)聯(lián)稱之為數(shù)形結(jié)合。數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)問題、方程與不等式問題、解析幾何問題等的重要體現(xiàn)。我國著名數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)形本是兩依倚，焉能分作兩邊飛；數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休?！睌?shù)形結(jié)合法將抽象的數(shù)量關(guān)系、數(shù)學語言與直觀的幾何圖形結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”讓抽象思維與形象思維發(fā)生碰撞，能夠?qū)⒊橄蟮膯栴}直觀化并且具有可操作性。

例如：（2017年高考新課標Ⅱ卷理數(shù)第5題）設(shè)x，y滿足約束條件2x+3y-3≤02x-3y+3≥0y+3≥0，則z=2x+y的最小值是（ ）

A. -15

B. -9

C. 1

D. 9

分析：關(guān)于二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題，需利用平面區(qū)域體現(xiàn)二元一次不等式（組）的解集，借助數(shù)學結(jié)合思想解決在線性約束條件下的二元線性目標函數(shù)的最值與最優(yōu)解問題。

解：作出x，y所滿足的約束條件的可行域，如圖1中陰影部分ABC。

z=2x+y經(jīng)過可行域的B點時，目標函數(shù)取得最小值，

由2x-3y+3=0y+3=0，解得B（-6，-3），

所以zmin=2×（-6）+（-3）=-15。

故選A。

三、 多媒體教學法

多媒體教學已經(jīng)是中小學課堂教學的新常態(tài)。多媒體教學能夠激發(fā)學生的學習興趣，活躍課堂氣氛，調(diào)動學生學習的積極性和主動性。特別是在有關(guān)幾何圖形內(nèi)容教學中，通過使用色彩和動畫方式，將靜態(tài)的知識與動態(tài)的圖形結(jié)合起來，以直觀、形象的方式加以表達，能讓學生準確把握住對象變化的規(guī)律，從豐富的表象中體驗知識的形成過程。

例如：已知函數(shù)f（x）=|x2-2x-3|-a分別滿足下列條件，求實數(shù)a的取值范圍。

（1）函數(shù)有兩個零點；（2）函數(shù)有三個零點；（3）函數(shù)有四個零點。

分析：對于抽象函數(shù)f（x）=|x2-2x-3|-a的零點個數(shù)問題，利用函數(shù)的零點存在定理討論比較困難，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）=|x2-2x-3|與函數(shù)g（x）=a圖像的交點個數(shù)問題。

解：設(shè)f（x）=|x2-2x-3|，g（x）=a，分別作出這兩個函數(shù)的圖像（如圖2），它們交點的個數(shù)，即函數(shù)f（x）=|x2-2x-3|-a的零點個數(shù)。

（1） 若函數(shù)有兩個零點，則a=0或a>4。

（2） 若函數(shù)有三個零點，則a=4。

（3） 函數(shù)有四個零點，則0

本題中，函數(shù)f（x）=|x2-2x-3|的圖像是確定不變的，函數(shù)g（x）=a的圖像可以是任何一條平行于x軸的直線。因此，借助于幾何畫板軟件用動畫的形式展示當a的值發(fā)生變化時，函數(shù)的零點個數(shù)就會發(fā)生改變。這種教學方式有利于將幾何圖形的變換過程直觀的展示在學生眼前，有利于學生歸納求這一類抽象函數(shù)的零點個數(shù)的方式方法。

四、 結(jié)束語

數(shù)學抽象思維能力的培養(yǎng)是解決高中數(shù)學抽象問題的關(guān)鍵，這既是一個系統(tǒng)的過程，也是一個緩慢的過程。教師要充分考慮高中生的數(shù)學抽象思維特點，讓學生進行合理的思維活動。

參考文獻：

[1] 仲崇猛.在反例中求正解[J].黑龍江教育（理論與實踐），2015（2）：53-54.

作者簡介：黃渝夏，四川省南充市，西華師范大學數(shù)學與信息學院；

葉小紅，重慶市，重慶市江北中學校；

李坤，四川省南充市，西華師范大學數(shù)學與信息學院。