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        直觀 轉(zhuǎn)化 通法

        2018-07-05 08:02:20孫民政
        讀寫算 2018年1期
        關(guān)鍵詞:通法轉(zhuǎn)化數(shù)形結(jié)合

        孫民政

        摘 要 在函數(shù)問題的研究過程中,數(shù)形結(jié)合的思想非常重要,這一點大家都有共識,但是實際教學(xué)中,如何分析問題,合理轉(zhuǎn)化,找到這類問題的通性通法是關(guān)鍵,本文通過一道正反比例函數(shù)的面積問題對此進行說明。

        關(guān)鍵詞 數(shù)形結(jié)合;轉(zhuǎn)化;通法

        中圖分類號:G632 文獻標識碼:A 文章編號:1002-7661(2018)01-0173-01

        隨著現(xiàn)代通訊手段的日益發(fā)達,信息傳播的速度越來越快,信息的保有量也呈幾何級數(shù)的爆發(fā)式增長,在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域,各類教輔書、試卷集、練習(xí)冊、題庫……可謂題海無涯,無邊無際。作為教師的我們,難道非要把學(xué)生帶入題海,才能提高他們的學(xué)習(xí)成績和數(shù)學(xué)能力嗎?答案顯然是否定的。數(shù)學(xué)解題不在量多,而在求精,要能啟迪學(xué)生思維,探尋數(shù)學(xué)的本源,培養(yǎng)分析問題,轉(zhuǎn)化問題的思維方法,總結(jié)歸納解決各類問題的通性通法,做到融會貫通,才是正道。唯有如此,才能真正做到“做一抵十”,才能真正落實“減負增效”的教學(xué)要求,才能真正培養(yǎng)出有價值的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。筆者最近正在教授滬教版八上《正反比例函數(shù)》,接下來就以一道正、反比例函數(shù)應(yīng)用的面積問題為例,展開分析。

        例:如圖,直線 (a>0)與雙曲線 交于兩點,且點A的坐標為(4,2),點B的坐標為(n,-2)。

        (1)求a,n的值;(2)若雙曲線 的上點C的縱坐標為8,求△ABC的面積。

        解:(1)把A(4,2)代入 ,得 ,

        把A(4,2)代入 ,得 , ,

        把B(n,2)代入 ,得n=-4, ,n=-4

        (2)∵C的縱坐標為8, ,∴ 即C(1,8)

        解答到這里對絕大多數(shù)同學(xué)沒有什么困難,用的知識就是簡單的數(shù)形結(jié)合和待定系數(shù)法,同學(xué)們?nèi)菀桌斫?,計算也基本沒問題。因為A、B、C三個點都是在象限內(nèi),而且△ABC中沒有與坐標軸平行的邊,所以接下來求△ABC的面積不少同學(xué)開始一籌莫展了。

        筆者接下來引導(dǎo)同學(xué)思考,觀察△ABC的形狀象什么三角形?用什么方法可以證明你的猜想呢?這個猜想得證了對求解的結(jié)論有幫助嗎?于是有了解法一。

        解法一:

        , ,

        , (兩點之間距離公式)

        這種方法雖然是一種特殊方法,但是它的直觀性很強,最容易想到了,這就啟示我們對一些“看起來有點像”的特征,不妨先驗證之,再運用這種特殊性質(zhì)解決問題,在直角坐標系中,兩點之間距離公式和勾股定理是常用的工具。簡言之,“特殊圖形直觀解”。

        倘若圖形的特殊性驗證不出具有什么性質(zhì),這類問題又該如何處理呢?接下來看兩種通法——割補法。

        解法二:(割法)

        如圖2,過C點做X軸的垂線,與直線AB交于點D。

        把x=1代入 ,得 ,

        一般來說,對于懸空三角形,如果能通過三角形與坐標軸的交點將其分割成兩個三角形,分別求解,那是最好;如果不能,我們常常過三角形的一個頂點做x軸或y軸的垂線,將三角形分割成兩部分,并以分割線為底,兩點橫坐標(或縱坐標)之差為高,分別求解。

        解法三:(補法)

        如圖3,過A點做x軸的垂線,過B點分別做x軸、y軸的垂線,過C點做y軸的垂線,它們兩兩相交于G、E、F點。

        ,

        這種方法對于坐標系中復(fù)雜的三角形、四邊形的面積求解是非??焖儆行У模P(guān)鍵點在于正確的找到矩形的四個頂點的坐標,并求出相應(yīng)線段的長度。當然,如果把△ABC的面積看作是梯形BCFG的面積減去△ABG和△ACF的面積之和也是可以的。簡言之,“一般圖形通法解”。

        題目是做不完,也講不完的,作為老師,如果我們能夠科學(xué)歸納,精講精練,合理變式,通過做一道題,講清一類問題,做一道題,領(lǐng)會一種方法,那何嘗不是教師之幸,學(xué)生之福呢?

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