李英婷

【摘要】本文提出以“平均數(shù)”的數(shù)理和算法為重點(diǎn)，尋找算法與算理的融合，挖掘平均數(shù)的本質(zhì)特征，讓學(xué)生深入理解平均數(shù)的概念，掌握求平均數(shù)的方法。

【關(guān)鍵詞】《平均數(shù)》 數(shù)學(xué)本質(zhì) 探理尋法

【中圖分類(lèi)號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2018）03A-0099-02

“平均數(shù)”是分析數(shù)據(jù)的重要的工具，常用來(lái)對(duì)統(tǒng)計(jì)對(duì)象進(jìn)行一般水平的描述，是一個(gè)居中位置的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)量。在“平均數(shù)”的教學(xué)中，學(xué)生很容易掌握“平均數(shù)”的計(jì)算方法，但是如何讓學(xué)生理解平均數(shù)的概念，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析的能力，才是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。筆者在教學(xué)時(shí)主要從以下三點(diǎn)進(jìn)行嘗試。

一、從兒童視角出發(fā)，探”平均”數(shù)理

對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)，概念的習(xí)得需要經(jīng)歷一個(gè)完整的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程包括三個(gè)階段：弄清它是什么，怎么能夠?qū)W會(huì)，知道它怎么用（即理解本質(zhì)，掌握方法，學(xué)會(huì)應(yīng)用）。平均數(shù)的學(xué)習(xí)要突出“平均”這個(gè)概念的數(shù)理，讓學(xué)生把握本質(zhì)所在。如，小強(qiáng)在50米跑中分別跑出了15秒、14秒、12秒、10秒和14秒的成績(jī)。在他填寫(xiě)自己的成績(jī)時(shí)，他犯難了，到底該填幾秒呢？教學(xué)時(shí)，筆者通過(guò)三個(gè)層面進(jìn)行引導(dǎo)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)“平均數(shù)”概念的理解。

（一）加強(qiáng)快慢對(duì)比，探求中間值

學(xué)生已經(jīng)積累了關(guān)于快慢的經(jīng)驗(yàn)，筆者以這個(gè)經(jīng)驗(yàn)為抓手，引導(dǎo)學(xué)生從填寫(xiě)極端數(shù)15秒入手，發(fā)現(xiàn)偏慢；填寫(xiě)10秒，發(fā)現(xiàn)又偏快，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生尋找偏向中間值的不快不慢的數(shù)據(jù)13，這不僅是引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)數(shù)據(jù)對(duì)比后分析得出的結(jié)果，更是幫助學(xué)生整合思維得到的結(jié)果。學(xué)生用自己對(duì)數(shù)據(jù)分析的不快不慢的這個(gè)經(jīng)驗(yàn)，找到了平均數(shù)概念的本質(zhì)特征，也就是說(shuō)，13這個(gè)數(shù)據(jù)能夠反映出這組數(shù)據(jù)中一個(gè)集中的趨勢(shì)，代表這組數(shù)據(jù)的一般水平。由此學(xué)生進(jìn)一步理解了平均數(shù)的內(nèi)涵：能夠代表這一組數(shù)據(jù)的基本特征。

（二）激活認(rèn)知沖突，認(rèn)識(shí)到平均數(shù)也可以是虛擬的數(shù)

在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生根據(jù)偏快和偏慢進(jìn)行分析判斷，認(rèn)為“不快不慢”的13秒，才是一個(gè)能夠體現(xiàn)小強(qiáng)真實(shí)水平的成績(jī)。但是13秒這個(gè)數(shù)據(jù)并沒(méi)有出現(xiàn)，讓學(xué)生產(chǎn)生了認(rèn)知沖突。于是，筆者從不同層面引導(dǎo)學(xué)生思考這個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的可能性。從學(xué)生認(rèn)為“可能”到認(rèn)為“可能性很大”，經(jīng)歷了一個(gè)從現(xiàn)實(shí)到需求之間的沖突，由此學(xué)生發(fā)現(xiàn)，平均數(shù)也可以是一組數(shù)據(jù)中沒(méi)有出現(xiàn)的一個(gè)數(shù)。也就是說(shuō)，平均數(shù)的另一個(gè)特征就是可以是一個(gè)虛擬的數(shù)。

（三）層層追問(wèn)，讓學(xué)生體會(huì)“平均”的本質(zhì)內(nèi)涵

在帶領(lǐng)學(xué)生探尋“平均”的本質(zhì)內(nèi)涵的過(guò)程，就是一個(gè)不斷追問(wèn)，讓學(xué)生不斷梳理的過(guò)程。從一開(kāi)始的數(shù)據(jù)偏慢，到后來(lái)的偏快，最后到找出不快不慢的數(shù)據(jù)，整個(gè)過(guò)程筆者沒(méi)有給出明確的答案，而是不斷地追問(wèn)，讓學(xué)生一點(diǎn)點(diǎn)理解，并用自己的體會(huì)來(lái)詮釋“平均”這個(gè)概念的本質(zhì)屬性，從而建立了具有鮮明兒童表征的屬性——?jiǎng)倓偤谩?/p>

二、以操作為核心，尋“算法”之根

在上一輪的討論中，學(xué)生根據(jù)預(yù)習(xí)，已經(jīng)知道平均數(shù)的算法是將一組數(shù)據(jù)相加除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)得到。為此，筆者展開(kāi)引導(dǎo)：有同學(xué)將五個(gè)數(shù)相加除以5，算出小強(qiáng)的平均成績(jī)是13秒。那么這個(gè)13和這一組數(shù)據(jù)有沒(méi)有關(guān)系呢？你能找出13藏在哪嗎？

筆者出示學(xué)具，讓學(xué)生在黑板上移動(dòng)學(xué)具。（如下圖）

學(xué)生將一個(gè)14，一個(gè)12變成了兩個(gè)13；將15移了2個(gè)給10，再將14移1個(gè)給10，又變出了三個(gè)13，這樣就將這5個(gè)高高低低的數(shù)字拉平，變成了五個(gè)13。此時(shí)筆者又引導(dǎo)學(xué)生分析這五個(gè)數(shù)字。學(xué)生發(fā)現(xiàn)15最慢，10最快，12偏快，只有13不快不慢，剛剛好。筆者追問(wèn)：仔細(xì)想一想，這個(gè)13有哪兩個(gè)特點(diǎn)呢？學(xué)生認(rèn)為：一是沒(méi)有在數(shù)據(jù)中出現(xiàn)，二是它能夠代表小強(qiáng)的水平。筆者繼續(xù)追問(wèn)：可是這個(gè)成績(jī)，小強(qiáng)沒(méi)有跑出來(lái)過(guò)，是怎么得到的呢？學(xué)生認(rèn)為是通過(guò)以多補(bǔ)少勻出來(lái)的。至此，有學(xué)生提出：平均數(shù)不一定非要出現(xiàn)在一組數(shù)據(jù)中，它可以不出現(xiàn)，也可以出現(xiàn)。

求平均數(shù)的算法，對(duì)于三年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)并不復(fù)雜，但是對(duì)于平均數(shù)這個(gè)概念而言，不但要讓學(xué)生知道算法，還要知道為什么這樣算，這才是教學(xué)的難點(diǎn)，也就是要引導(dǎo)學(xué)生在算法上去尋根。

三、以鞏固為基礎(chǔ)，拓“運(yùn)用”之道

學(xué)生理解并掌握了平均數(shù)的數(shù)理和算法后，筆者由淺入深，層層引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入鞏固運(yùn)用環(huán)節(jié)：7和8兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是多少？1、3、8這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)是多少？你是怎么算出來(lái)的呢？在學(xué)生順利解答這幾個(gè)問(wèn)題后，筆者展開(kāi)拓展：一條河平均水深5米，請(qǐng)問(wèn)這條河最深有幾米？為什么？學(xué)生認(rèn)為最深可能會(huì)是7米，也可能是10米……此時(shí)筆者繼續(xù)追問(wèn)：那如果把這條河修整一下，變成平均水深一米。小強(qiáng)身高一米，走過(guò)去安全嗎？學(xué)生認(rèn)為不安全，雖然平均水深是一米，但最深的地方有可能會(huì)超過(guò)一米。

通過(guò)設(shè)計(jì)這樣的練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生理解平均數(shù)的“虛擬”特性。

總之，求平均數(shù)的教學(xué)并不是讓學(xué)生單純地掌握求平均數(shù)的算法，而是要讓學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)，探知平均數(shù)理，尋得算法之根，從而將已有經(jīng)驗(yàn)與所學(xué)新知有機(jī)結(jié)合，真正理解并掌握平均數(shù)這個(gè)概念。

（責(zé)編 林 劍）