馮根榮

摘 要：“角的度量”一直以來是小學(xué)數(shù)學(xué)度量教學(xué)的難點(diǎn)。量角作為一項(xiàng)技能，需要模仿與訓(xùn)練，更需要對量角工具及操作技能本質(zhì)的理解。教學(xué)“角的度量”一課前，筆者通過對學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查及訪談，了解學(xué)生已有的認(rèn)知水平。筆者采用“在感受統(tǒng)一度量單位后再認(rèn)識角的度量單位1°角”“經(jīng)歷量角器的發(fā)生發(fā)展過程”“理解度量單位累加這一量角的本質(zhì)”等方式，讓學(xué)生在自主探索中體會統(tǒng)一度量單位的必要性，認(rèn)識量角器的本質(zhì)，學(xué)會角的度量，引發(fā)學(xué)生深度思考，教學(xué)效果明顯。

關(guān)鍵詞：技能教學(xué)；度量單位；量角器；單位累加

一、現(xiàn)狀分析

“角的度量”一直以來是小學(xué)數(shù)學(xué)度量教學(xué)中的難點(diǎn)。2011版課標(biāo)中對于這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)提出了明確的要求：“能用量角器量指定角的度數(shù)，能畫指定度數(shù)的角?！蹦敲矗瑢W(xué)生在學(xué)習(xí)前已經(jīng)有了怎樣的知識儲備？學(xué)習(xí)后掌握的情況究竟怎樣？針對這些問題，筆者對學(xué)習(xí)后的五年級學(xué)生和學(xué)習(xí)前的四年級學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查。對已經(jīng)學(xué)過“角的度量”的XX小學(xué)五（2）班34名學(xué)生調(diào)查分析，整理如下。

1. 量角正確率不夠理想。用量角器測量下列5個(gè)角的大?。▓D1）。全部正確的有15人，占44.1%，較好掌握角的度量知識和技能的學(xué)生不足一半。

2. 角的大小理解不夠深刻。在判斷∠4和∠5的大小時(shí)，有4名學(xué)生判斷有誤，認(rèn)為∠4比∠5大的占測試人數(shù)的11.8%。說明這部分學(xué)生沒有真正理解角的大小的本質(zhì)，角的大小與角兩邊張開的大小有關(guān)，與角兩邊的長短無關(guān)。

3. 量角技能不夠高。從測量有誤學(xué)生的反饋中我們發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因主要有以下幾個(gè)方面：一是測量不夠嚴(yán)謹(jǐn)。中心點(diǎn)和頂點(diǎn)未完全重合；0刻度線與角的一條邊未完全重合。二是內(nèi)外圈刻度讀錯(cuò)，內(nèi)外圈方向讀反，如135°讀成45°等。三是存在估計(jì)數(shù)據(jù)現(xiàn)象。如測量∠2一邊較短時(shí)，有些學(xué)生不會將需要讀數(shù)的邊延長，找到量角器上相應(yīng)的刻度線，采用估計(jì)的方法而產(chǎn)生誤差。四是不會擺量角器。0刻度線的起點(diǎn)與角的頂點(diǎn)重合；度量如∠5兩邊都不在水平方向的角，正確率較低。為此，筆者試圖從新舊人教版“角的度量”教材編寫入手，展開分析與研究，希望能從中得到一些啟示。

①“角的度量”新舊人教版教材編寫意圖究竟有何異同？

②“角的度量”教學(xué)定位分析，究竟讓學(xué)生去探索、體驗(yàn)、掌握什么？

③教學(xué)后，許多學(xué)生還不會擺量角器、內(nèi)外圈刻度讀錯(cuò)、內(nèi)外圈方向讀反的根源是什么？

二、新舊教材編寫比較及啟示

筆者將人教版新舊版本“角的度量”的教材編寫進(jìn)行比較，分析變化背后隱藏的理念與思考，給破解難點(diǎn)一些啟示與對策。本文所指的新舊教材分別指人民教育出版社2013版教材和2001版教材。

（一）編寫比較，變在何處

（二）分析變化，啟示教學(xué)

新舊教材對于“角的度量”教學(xué)內(nèi)容的編排在四個(gè)方面發(fā)生了明顯的變化，為何變，變化背后又隱藏著怎樣的數(shù)學(xué)思考？

1. 變化：教材編寫，因何而變

（1）新教材的編排更加合理

梳理新舊教材的編寫主線。舊教材：量角的大小—用量角器—認(rèn)識量角器—認(rèn)識1°角—學(xué)習(xí)度量方法—練習(xí)鞏固。新教材：量角的大小—用一定大小的角作為度量單位進(jìn)行度量—讓度量單位合理些，需要合適的度量單位—認(rèn)識度量單位1°—認(rèn)識量角器—學(xué)習(xí)度量方法—練習(xí)鞏固。舊教材直白地告知量角就要用量角器，有了量角器才有了度量單位1°。而新教材先是用任意大小的角為單位去比較可以量出角的大小，1°角是比較合適的角的度量單位，再認(rèn)識量角器。顯然，新教材的理念是先有度量單位，再有度量工具，度量單位的產(chǎn)生有一個(gè)統(tǒng)一和選擇的過程。

（2）新教材注重量角器的構(gòu)造原理

與舊教材相比，新教材有意識地讓學(xué)生理解量角器的構(gòu)造原理。認(rèn)識1°后，“根據(jù)這一原理，人們制作了度量角的工具——量角器”，配有旁白“量角器是將半圓分成180等份制成的”。

（3）新教材注重滲透度量角的本質(zhì)

相比舊教材，新教材增加了量角器使用步驟方法的填空，課后練習(xí)中也增加了針對性練習(xí)以促進(jìn)技能的形成，同時(shí)滲透“角的大小就看里面包含多少個(gè)1°角，與角兩邊的長短無關(guān)”。

2. 啟示：理解變化，促進(jìn)教學(xué)

分析新教材這些變化背后的數(shù)學(xué)思想及“角的度量”的教學(xué)現(xiàn)狀，促進(jìn)課堂教學(xué)反思，形成對策。筆者認(rèn)為，有必要把著力點(diǎn)放在角的度量單位的教學(xué)上來，讓學(xué)生理解量角器的構(gòu)造原理，解決量角器的使用問題。

三、教學(xué)策略改進(jìn)及案例舉隅

基于對新舊教材與學(xué)情的分析，筆者認(rèn)為破解學(xué)生量角時(shí)存在的問題，探索相應(yīng)的化解策略，應(yīng)在以下幾個(gè)方面加以探索：體會度量單位統(tǒng)一的必要性，經(jīng)歷量角器發(fā)生發(fā)展的過程，理解度量單位累加性本質(zhì)。

（一）體會度量單位統(tǒng)一的必要性

度量是指某個(gè)物體具有多少個(gè)單位的某種屬性。度量單位是度量的核心，度量單位的統(tǒng)一是使度量從個(gè)別的、特殊的測量活動(dòng)成為一般化的、可以在更大范圍內(nèi)應(yīng)用和交流的前提。

【案例】 筆者根據(jù)導(dǎo)入題（圖2），“哪個(gè)角大些？大多少？”，先呈現(xiàn)3個(gè)角（圖3），學(xué)生找到三角板上的特殊角∠1是直角。根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生已經(jīng)知道直角是90°。再請學(xué)生估一估三角板上的∠2和∠3分別是多大。學(xué)生根據(jù)90°角，利用拼一拼的方法，得出∠2是45°，∠3是30°。在這里，學(xué)生已經(jīng)會以標(biāo)準(zhǔn)角90°為參照，度量特殊角的大小了。再出示∠4（圖4），要求學(xué)生估大小。學(xué)生會遷移剛才的做法，分別以∠1、∠2、∠3為參照，拼一拼，估出∠4的大小。在拼的同時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)以相對小的∠3為參照時(shí)，會估得更準(zhǔn)一些，∠4大約是60°多一點(diǎn)。進(jìn)而思考“比60°多一點(diǎn)，這一點(diǎn)究竟是多少”，引發(fā)感想：需要用一個(gè)更小的角來拼。多小的角比較合適呢？學(xué)生很容易想到了1°這么小的角。再來介紹這個(gè)人們早就規(guī)定好了的“1°角”：人們將圓平均分成360份，其中的一份所對的角的大小叫作1度（記作1°）（圖5），通常用1°作為度量角的單位。

1. 呈現(xiàn)基于必要性的體會

簡單地呈現(xiàn)“角的度量單位是1°角”，學(xué)生只是接受，并不知道為什么要用1°角而不是其他大小的角作角的度量單位，為什么要用量角器來量角而三角板卻不行。讓學(xué)生感受到度量單位的產(chǎn)生有一個(gè)統(tǒng)一和選擇的過程，進(jìn)而理解度量角的大小要有統(tǒng)一的度量單位。體會度量單位統(tǒng)一的必要性，自覺地將度量角的新單位“度”融入自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，將新知和已有的長度單位、面積單位、質(zhì)量單位等度量單位納入度量體系。

2. 感受基于思想性的滲透

讓學(xué)生體會度量單位統(tǒng)一的必要性，這樣處理既滲透了統(tǒng)一度量單位的思想， 又有意識地讓學(xué)生感受到當(dāng)一個(gè)度量標(biāo)準(zhǔn)取得越小時(shí)，度量的結(jié)果就越精確。經(jīng)歷這樣的過程，學(xué)生對1°角有了較準(zhǔn)確的認(rèn)識，既為學(xué)生深刻認(rèn)識量角器奠定基礎(chǔ)，也為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)類似內(nèi)容積累起豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，如為學(xué)習(xí)更小的度量單位“分”“秒”埋下伏筆。

（二）經(jīng)歷量角器的發(fā)生發(fā)展過程

量角器是量角的工具，是小學(xué)階段學(xué)生所接觸到的結(jié)構(gòu)最復(fù)雜、使用最易錯(cuò)的測量工具。對于破解用量角器度量角時(shí)，內(nèi)外圈刻度讀錯(cuò)、內(nèi)外圈方向讀反以及量角器的各種擺放問題，認(rèn)識度量角的本質(zhì)是進(jìn)行有效教學(xué)的關(guān)鍵。而動(dòng)態(tài)直觀地展示量角器的發(fā)生發(fā)展過程，能讓學(xué)生準(zhǔn)確地理解量角器原來是180個(gè)1°角的集合這一本質(zhì)，為學(xué)生更好地使用量角器量角鋪平道路。

1. 調(diào)查了解，把握起點(diǎn)

在學(xué)習(xí)前，學(xué)生對量角工具有怎樣的認(rèn)識呢？筆者做了一個(gè)調(diào)查，對象是XX小學(xué)四（5）班48名學(xué)生。筆者發(fā)現(xiàn)：43.75%的學(xué)生能正確說出量角的工具，即便那些說半角和圓尺工具的學(xué)生（31.25%），也能準(zhǔn)確感知量角工具；有35.4%的學(xué)生能夠大致說出量角器上有什么，但僅有6.25%的學(xué)生能夠用準(zhǔn)確的語言描述量角器的構(gòu)造。當(dāng)請學(xué)生自由選擇工具量角時(shí)，有14.6%的學(xué)生選擇三角尺，他們能夠找到三角尺上的一些特殊角，并用這些角與所量角比大小，只是不能精確刻畫出角的度數(shù)，其中選擇用直角比的學(xué)生占了大多數(shù)。以上種種說明學(xué)生聽說過量角器，但對于量角器的構(gòu)造認(rèn)識模糊。

筆者還對已經(jīng)學(xué)過“角的度量”的5名學(xué)生進(jìn)行了訪談，訪談中，5人都能準(zhǔn)確說出量角器的構(gòu)造，當(dāng)問到“量角器上為什么要有中心點(diǎn)、為什么有180個(gè)刻度”這樣的問題時(shí)，一般只能回答諸如“因?yàn)橹行狞c(diǎn)要和頂點(diǎn)對牢的、因?yàn)槲覀兞康慕鞘?80°以內(nèi)的”。學(xué)生只是認(rèn)識了量角器，并沒有從原理上理解量角器為什么要這樣設(shè)計(jì)，量角器和角之間的聯(lián)系被割裂開來了。

2. 有效嘗試，注重歷程

基于以上學(xué)情，筆者把量角器的發(fā)生過程進(jìn)行分解，先構(gòu)造了一個(gè)90°的量角器，這是因?yàn)?0°的量角器與學(xué)生熟知的直角有著密切聯(lián)系。90個(gè)1°角的共同頂點(diǎn)集中于直角的頂點(diǎn)，學(xué)生能迅速地把它與所量角對應(yīng)，數(shù)出所量角是由多少個(gè)1°角拼成的，進(jìn)而知道所量角的大小，為理解量角的本質(zhì)積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。同時(shí)，這樣設(shè)計(jì)，學(xué)生又能感受到當(dāng)所量角比90°大時(shí)，可以把兩個(gè)90°量角器拼起來形成180°量角器；當(dāng)所量角比180°還大時(shí)，就可以把兩個(gè)180°量角器拼起來形成360°的圓形量角器（圖6）。這已不僅僅是認(rèn)識工具，而是在進(jìn)行偉大的創(chuàng)造！

【案例】 筆者在學(xué)生認(rèn)識了單位1°角后，請學(xué)生在直角里找到1個(gè)1°角，再借助1°角的累加，發(fā)現(xiàn)10個(gè)1°角組成了1個(gè)10°角，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)90個(gè)1°角組成了1個(gè)90°角，即直角，從而形成了一個(gè)90°的量角工具。為了看起來更清晰，90個(gè)1°角簡化成了9個(gè)10°角（圖7）。緊接著，學(xué)生嘗試量角，筆者特別設(shè)計(jì)了一個(gè)鈍角要求學(xué)生測量。在量的過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)一個(gè)90°的量角器也能量出鈍角來。有的學(xué)生想到了把鈍角先分成一個(gè)直角和一個(gè)銳角，通過利用90°的量角器測量出銳角的大小，再來算整個(gè)鈍角的大小；有的學(xué)生想到了把兩個(gè)90°量角器拼成一個(gè)180°的量角器再來量鈍角的大小。為了使用方便，學(xué)生自己想出了改進(jìn)量角器的辦法：把量角器改成由180個(gè)1°角拼起來，在刻度線外標(biāo)上刻度（圖8）。

角的大小就是看角含有幾個(gè)1°角，認(rèn)識了這一本質(zhì)含義，讓測量角的度數(shù)有了方向和意義。用量角器度量角時(shí)，就是度量角與量角器上的角完全重合，其大小就看一條邊到另一條邊之間含有幾個(gè)1°角。教學(xué)中，認(rèn)識了1°角的大小后，接著感受10°角的大小，再用10°的基本角去度量其他角，如30°角里有3個(gè)10°，90°角里有9個(gè)10°。建立了學(xué)生熟悉的90°角表象后，以90°角為參照，如：100°就是比90°大10°，93°就是比90°大3°角等。通過學(xué)生熟悉的基本角參照對比，有利于解決用量角器度量角時(shí)中心點(diǎn)和頂點(diǎn)未完全重合的問題，攻克0刻度線與角的一條邊未完全重合，內(nèi)外圈刻度讀錯(cuò)、內(nèi)外圈方向讀反等難點(diǎn)問題，提升度量角的能力。

（三）理解度量單位的累加性本質(zhì)

新課程標(biāo)準(zhǔn)提出的教學(xué)建議中指出，數(shù)學(xué)知識的獲得，應(yīng)注重學(xué)生對所學(xué)知識的理解，體會數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)。在基本技能的教學(xué)中，不僅要使學(xué)生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學(xué)生理解程序和步驟的道理。理解度量單位的累加性本質(zhì)，有利于解決角的大小與角兩邊的長短無關(guān)以及特殊位置角的度量的難點(diǎn)問題。

1. 理解“度量單位的累加”，基于經(jīng)歷過程清晰印象

【案例】筆者在建立度量單位1°角的概念后，非常注重學(xué)生經(jīng)歷度量單位累加的過程，其具體表現(xiàn)在：先從直角里找到1個(gè)1°角，然后用估計(jì)的辦法找到10°角，并且用1°角的累加驗(yàn)證10°角里有10個(gè)1°角。再擴(kuò)展到20°角，一邊演示一邊引導(dǎo)學(xué)生說出“20個(gè)1°角組成了1個(gè)20°角，1個(gè)20°角由20個(gè)1°角組成；2個(gè)10°角組成了1個(gè)20°角，1個(gè)20°角由2個(gè)10°角組成”。接著再擴(kuò)展到30°、40°……一直到90°，讓學(xué)生充分體驗(yàn)和描述度量單位累加的過程。并且，在學(xué)生使用90°量角器量角后的反饋中，筆者還十分重視讓學(xué)生說出量的過程，如：從右邊數(shù)起，6個(gè)10°和3個(gè)1°組成了63°。

這樣教學(xué)后，學(xué)生對于量角的本質(zhì)是比較清晰的。所量角的大小可以由若干個(gè)1°角累加而成，量角器是由180個(gè)1°角累加后的結(jié)果，借助量角器上的1°角就能量出所量角的大小。理解了角的大小是包含了多少個(gè)1°角的累加這一本質(zhì)，有利于解決角的大小與角兩邊的長短無關(guān)的難點(diǎn)問題，學(xué)生也就不會因讀外圈還是內(nèi)圈刻度而感到苦惱。

2. 理解“度量單位的累加”，拓展思辨發(fā)展度量感

【案例】

課后練習(xí)第3題（圖9），第一個(gè)角大部分學(xué)生量對了，但測量第2個(gè)角、第3個(gè)角就有一些困難，因?yàn)榻堑膬蓷l邊都不在水平線上。有學(xué)生說要旋轉(zhuǎn)一下量角器，有學(xué)生說要旋轉(zhuǎn)一下書，有學(xué)生說邊太短要延長。那為什么要旋轉(zhuǎn)？又為什么要延長？（易使量角器的中心點(diǎn)、0刻度線能與角的頂點(diǎn)和一條邊完全重合）還有學(xué)生說第3個(gè)角可以用180°-60°=120°等。

面對度量特殊位置角，課堂上生成了多種不同的度量方法，測量的方法綜合起來可歸納為：終點(diǎn)的數(shù)減去起點(diǎn)的數(shù)，看被度量角包含多少個(gè)1°角，一般把0刻度線定為起點(diǎn)，讀起數(shù)來比較方便。這樣既鞏固了學(xué)生的量角技能，又剖析了量角本質(zhì)，即被度量角有多少個(gè)度量單位，就是有多少個(gè)度量單位的累加。理解度量單位的累加性本質(zhì)，提升思維品質(zhì)，發(fā)展度量感。

四、成效與思考

（一）成效：基于問題解決的策略初顯成效

教學(xué)第二天，筆者對本班學(xué)生（48人）做了后測，測試內(nèi)容與五（2）班相同（圖1），測試情況分析整理如下：

1. 整體正確率明顯提高，量角技能得到提升

后測反饋中，全部正確的有32人，占全部測試人數(shù)的66.7%，相比五（2）班有明顯提高。說明經(jīng)過系統(tǒng)學(xué)習(xí)，利用量角器測量角的度數(shù)的方法大部分學(xué)生已經(jīng)掌握，學(xué)生頭腦里較為清楚地產(chǎn)生了“每一個(gè)角都是由若干個(gè)1°角累加而成”的印象。不會擺量角器、內(nèi)外圈讀反、方向讀反等常見錯(cuò)誤已明顯減少。

2. 正確量角技能的形成需要一個(gè)過程

后測結(jié)果發(fā)現(xiàn)，角的度量偏差較大。主要是0刻度線與角的一邊未完全重合；角的頂點(diǎn)與量角器中心點(diǎn)未完全重合；測量的角的邊比較短時(shí)，學(xué)生沒有延長要讀數(shù)的這條邊，而用估計(jì)的方法等。另外，在判斷∠4和∠5的大小時(shí)，也有4名學(xué)生判斷有誤，認(rèn)為∠4比∠5大的占測試人數(shù)的8.3%，說明這部分學(xué)生沒有真正理解角的大小的本質(zhì)。

要解決這些問題，一方面需引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的測量習(xí)慣，在測量時(shí)做到認(rèn)真細(xì)致，讓誤差控制在較小范圍內(nèi)，最終測得比較精確的結(jié)果；另一方面需實(shí)踐操作，適當(dāng)訓(xùn)練。技能的形成除了思維引領(lǐng)，實(shí)踐操作是必不可少的，如探究角的大小與什么有關(guān)時(shí)，可制作紙制動(dòng)態(tài)角或觀察鐘面上指針的夾角加以驗(yàn)證。

（二）思考：讓“角的度量”教學(xué)回歸數(shù)學(xué)本色

1. 技能的形成不僅需要操作，更需要對過程的本質(zhì)理解

面對“角的度量”這個(gè)技能教學(xué)難點(diǎn)，采用簡單的教學(xué)模式顯然是行不通的。技能的習(xí)得確實(shí)需要模仿與訓(xùn)練，但更需要基于對操作工具、技能操作過程本質(zhì)的理解，技能教學(xué)不等同于技能的模仿與訓(xùn)練。初步的教學(xué)實(shí)踐證明，在感受統(tǒng)一度量單位后再認(rèn)識單位1°角、經(jīng)歷量角器的發(fā)生發(fā)展過程、理解度量單位累加的量角本質(zhì)后，學(xué)生能夠更為準(zhǔn)確地量出角的大小，而且學(xué)生知其然也知其所以然，為學(xué)生后續(xù)的量角學(xué)習(xí)，如認(rèn)識更小的度量單位和使用更精密的量角器等有所幫助。

2. 教學(xué)的改革不僅需要嘗試，更需要對實(shí)踐的深度思考

教學(xué)的探索是無止境的?！敖堑亩攘俊苯虒W(xué)是否還可以從其他視角入手研究呢？可以從學(xué)生常見的擺放量角器的錯(cuò)誤入手，形成探究問題（圖10），通過比較、發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證，從探究感悟中形成度量角的方法。還可以基于學(xué)生已經(jīng)獲得的“角的大小與邊的長短無關(guān)，只與角兩邊張開的大小有關(guān)”為切入點(diǎn)，引出問題，設(shè)計(jì)探究任務(wù)，引發(fā)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。讓角的度量教學(xué)回歸兒童與數(shù)學(xué)本色，還有待我們進(jìn)一步加以改進(jìn)和實(shí)踐。