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        教材中一道立體幾何問題的多視角探究

        2018-03-12 09:00:46浙江省寧波市第二中學(xué)李建明
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2018年3期
        關(guān)鍵詞:易知成角證法

        ☉浙江省寧波市第二中學(xué) 李建明

        教材是我們?nèi)粘W(xué)習(xí)的主要載體,教材中的例題、習(xí)題具有典型性和代表性,對其進(jìn)行多方法求解、多角度探究,是鞏固所學(xué)知識的重要途徑,本文以北師大版必修2中的一道立體幾何習(xí)題為例說明,以期拋磚引玉.

        題目 (北師大版必修2例題)如圖1所示,已知正方體ABCD-A1B1C1D1,求證:平面AB1D1∥平面C1BD.

        本題的證明較為簡單,利用線線平行即可證明面面平行.分析近年模擬題及高考題,以此題為背景的試題屢見不鮮,下面簡舉幾例.

        圖1

        圖2

        一、變換幾何體的類型

        例1(2017年北京高考模擬)如圖2所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1,且E是BC的中點(diǎn).

        (1)求證:A1B//平面AEC1;

        (2)求證:B1C⊥平面AEC1.

        分析:不難看出將題目中的幾何體沿對角面A1C1CA一分為二,即可得本題中的幾何體,本題證明線面可行,通??蓮娜缦聝蓚€視角入手.

        解:(1)證法1:如圖3所示,取B1C1的中點(diǎn)M,連接BM.因?yàn)镸C1∥BE,且,所以四邊形MC1EB為平行四邊形,所以BM∥EC1.

        圖3

        圖4

        又A1M∥AE,A1M∩BM=M,C1E∩AE=E,所以平面A1BM∥平面AEC1,所以A1B∥平面AEC1.

        證法2:如圖4所示,連接A1C,交AC1于點(diǎn)O,連接OE,因?yàn)樗倪呅蜛A1C1C為矩形,所以O(shè)為A1C的中點(diǎn).

        因?yàn)镋為BC的中點(diǎn),所以O(shè)E為△A1BC的中位線,所以O(shè)E∥A1B.又因?yàn)镺E?平面C1AE,A1B?平面C1AE,所以A1B∥平面AEC1.

        (2)略.

        評注:證明線面平行通常有兩種視角:(1)在面內(nèi)尋找一條與已知直線平行的直線,由線面平行的判定可證.證法1即為此視角.(2)構(gòu)造已知直線所在的平面,證明兩平面平行.利用面面平行的性質(zhì)證明.證法2即為此視角.

        二、變換問題條件

        例2 如圖5所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=.M、N分別是BC和CC1的中點(diǎn),P為側(cè)棱BB1上的動點(diǎn).

        (1)求證:平面APM⊥平面BB1C1C;

        (2)假設(shè)P為線段BB1的中點(diǎn),求證:A1N∥平面APM.

        圖5

        圖6

        解析:(1)略.

        (2)證法1:如圖6所示,取B1C1的中點(diǎn)E,連接A1E,NE.由已知條件易證A1E∥AM,NE∥PM,且A1E∩NE=E,PM∩AM=M,所以平面A1EN∥平面

        PAM.又因?yàn)锳1N?平面PAM,所以A1N∥平面A1NE.

        證法2:如圖7所示,取AA1

        的中點(diǎn)S,連接SC、SB,SB交PA 于點(diǎn)T,連接MT.

        圖7

        易知四邊形SABP為平行四邊形,所以T為SB的中點(diǎn),所以MT為△SBC的中位線,所以MT∥SC,又因?yàn)锳1N∥SC,所以MT∥A1N,所以A1N∥平面APM.

        評注:證法1是從面面平行的角度入手,即構(gòu)造經(jīng)過A1N且與平面APM平行的平面.證法2是從尋找線線平行的角度入手,即通過構(gòu)造三角形的中位線,在平面SBC內(nèi)找到與A1N平行的直線,從而實(shí)現(xiàn)了問題的證明.

        三、變換問題結(jié)論

        例3 如圖8所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中點(diǎn),P是側(cè)面CDD1C1上的動點(diǎn),且B1P//面A1BE,則B1P與平面CDD1C1所成角的正切值構(gòu)成的集合是( ).

        圖8

        圖9

        解析:如圖9所示,取CC1的中點(diǎn)M,C1D1的中點(diǎn)N,連接B1M,B1N,MN.

        易知B1M∥A1E,MN∥A1B,所以平面B1MN∥平面A1BE,已知B1P//面A1BE,故點(diǎn)P在線段MN上.

        因?yàn)锽1C1⊥平面C1D1DC,所以B1C1⊥C1P,所以∠B1PC1即為B1P與平面CDD1C1所成的角.在△B1PC1中,tan∠B1PC1=,故當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M或N重合時(shí),tan∠BPC取得最小值112,當(dāng)點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)時(shí),tan∠B1PC1取得最大值

        故正確選項(xiàng)為C.

        評注:P是平面CDD1C1上的動點(diǎn),但B1P平行于平面A1BE,所以B1P在一個與平面A1BE平行的平面內(nèi),因此轉(zhuǎn)換求解視角去尋找與平面A1BE平行的平面.

        四、變換問題背景

        例4 (2016年全國卷Ⅰ)已知平面α經(jīng)過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,平面α//平面CB1D1,平面α∩平面A1B1C1D1=m,平面α∩平面ABB1A1=n,則直線m,n所成角的正弦值為( ).

        解法1:如圖10所示,延長D1A1至點(diǎn)D2,使得A1D2=D1A1.延長B1A1至點(diǎn)B2,使得A1B2=B1A1.連接B2D1,B2D2,AB2,AD2,B1D2.

        圖10

        易知B2D2∥B1D1且B2D2=B1D1,AB2∥CD1且AB2=CD1,AD2∥CB1且AD2=CB1,所以平面AB2D2∥平面B1CD1,所以平面AB2D2即為題目中的平面α,B2D2即為直線m,AB2即為直線n.

        又因?yàn)镃D1,CB1,B1D1均為正方體ABCD-A1B1C1D1的面對角線,所以CD1=CB1=B1D1,所以B2D2=AB2=AD2,即△AB2D2為正三角形,則直線m,n所成角即為AB2與B2D2的夾角,其大小為,故直線m,n所成角的正弦值為

        解法2:如圖11所示,構(gòu)造與正方體ABCD-A1B1C1D1相連的正方體,則已知條件中的各種關(guān)系直觀地體現(xiàn)出來.

        圖11

        易知平面AB2D2即為已知條件中的α,則直線m即為B2D2,直線n即為AB2.

        評注:已知條件中平面α的位置并沒有明確給出,直線m,n的位置亦不確定.因此構(gòu)造出過頂點(diǎn)A且與平面CB1D1平行的平面α,這是問題求解的關(guān)鍵.

        綜上所述,通過對課本例題、習(xí)題作必要的挖掘、探究、引申,有助于學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò),進(jìn)而對數(shù)學(xué)問題的類型及解決問題的方法有一個明確的認(rèn)識.對例題進(jìn)行挖掘,是引導(dǎo)學(xué)生跳出題海,減輕負(fù)擔(dān)的重要舉措.F

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