郭耀忠+苗芳

摘 要：提出了對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)中最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的正確理解，再通過(guò)研究重力場(chǎng)中豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，提煉技巧，通過(guò)類(lèi)比法，分析了如何在重力和勻強(qiáng)電場(chǎng)的復(fù)合場(chǎng)中巧妙地選取圓周運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，以及最高點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的臨界問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：豎直平面；圓周運(yùn)動(dòng)；最高點(diǎn)；最低點(diǎn)；復(fù)合場(chǎng)；臨界

一、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)的正確理解

豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)所涉及的大多只有場(chǎng)力做功，那么勢(shì)能和動(dòng)能之和就是個(gè)定值，所謂的最高點(diǎn)就是勢(shì)能最大的點(diǎn)，對(duì)應(yīng)動(dòng)能和速度也就最小，而最低點(diǎn)就是勢(shì)能最小的點(diǎn)，對(duì)應(yīng)動(dòng)能和速度也就最大，帶電球在重力場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)的復(fù)合場(chǎng)中除了具有重力勢(shì)能外，還有電勢(shì)能，在這種情景中的勢(shì)能應(yīng)是重力勢(shì)能與電勢(shì)能的總和，因此勢(shì)能最大，應(yīng)理解為重力勢(shì)能與電勢(shì)能的總和最大，而重力勢(shì)能并不一定最大，所以復(fù)合場(chǎng)中豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)不能簡(jiǎn)單地理解成空間位置的最高點(diǎn)、最低點(diǎn).

二、類(lèi)比法巧析復(fù)合場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)

（一）重力場(chǎng)中豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)

例舉情景：小球在豎直放置半徑為r的光滑絕緣軌道內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng).過(guò)軌道的圓心做一條重力的作用線，與圓軌道交于兩點(diǎn)，沿重力的方向依次為最高點(diǎn)A和最低點(diǎn)B.對(duì)應(yīng)重力勢(shì)能的最高點(diǎn)和最低點(diǎn).若恰能做完整圓周運(yùn)動(dòng)則在最高點(diǎn)A滿(mǎn)足只受場(chǎng)力（此處僅為重力），由牛頓第二定律得：mg=m .解得這種臨界情況下的臨界速度v= ，即過(guò)最高點(diǎn)A的速度要大于或等于 方能作完整圓周運(yùn)動(dòng).

圖1

技巧沉淀：過(guò)豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的軌道圓心，作一條球所受場(chǎng)力的作用線，與圓軌道交于兩點(diǎn)，沿場(chǎng)力方向依次為最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，若恰能做完整圓周運(yùn)動(dòng)，則在最高點(diǎn)滿(mǎn)足只受場(chǎng)力，由牛頓第二定律得：F場(chǎng)=m 。在重力場(chǎng)與勻強(qiáng)電場(chǎng)的復(fù)合場(chǎng)中的場(chǎng)力應(yīng)該理解為是重力和電場(chǎng)力的合場(chǎng)力.

（二）類(lèi)比巧析重力場(chǎng)與勻強(qiáng)電場(chǎng)的復(fù)合場(chǎng)中豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)

例舉情景：質(zhì)量為m，帶電量為+q的小球在豎直放置半徑為r的光滑絕緣軌道內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng).

1.加豎直直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)E

圖2 圖3

分析小球所受到的場(chǎng)力，有豎直方向的電場(chǎng)力和重力，合成得到合場(chǎng)力.若重力大于電場(chǎng)力，即mg>qE，則合場(chǎng)力方向豎直向下，F(xiàn)場(chǎng)=mg-qE；過(guò)軌道的圓心做一條F場(chǎng)的作用線，與圓軌道交于兩點(diǎn)，沿F場(chǎng)的方向依次為最高點(diǎn)A和最低點(diǎn)B。如圖2所示，若重力小于電場(chǎng)力，即mg

（三）技巧應(yīng)用——復(fù)合場(chǎng)中豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題例析

例舉情景：如圖6所示，一半徑為R的絕緣圓形軌道豎直放置，圓軌道最低點(diǎn)與一條水平軌道相連，軌道光滑，軌道所在空間存在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)為E.從水平軌道的A點(diǎn)由靜止釋放一質(zhì)量為m帶正電荷q的小球，已知小球受到的電場(chǎng)力大小等于小球重力的 。為使小球剛好在圓軌道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，求（1）釋放點(diǎn)A距軌道最低點(diǎn)B的距離s；（2）小球在圓弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)的最大動(dòng)能。

圖5

解：（1）設(shè)合場(chǎng)力F場(chǎng)與重力mg之間的夾角為θ，則tanθ= = ， 解得θ=37°，且F場(chǎng)= = mg①。

圖6

分析可得，圓周運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)為N點(diǎn)，小球剛好在圓軌道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)在N點(diǎn)的速度為v，在N點(diǎn)由牛頓第二定律得： F場(chǎng)=m ②。

小球從A點(diǎn)到N點(diǎn)由動(dòng)能定理得：

-mg（R+Rcosθ）+ mg×（s-Rsinθ）= mv2③。

由①②③可求出A、B之間的距離s= R.

（2）小球在M點(diǎn)的動(dòng)能最大，設(shè)為Ek，由N至M點(diǎn)由動(dòng)能定得：

F場(chǎng)·2R=Ek- mv2④。

由①②④可求解出Ek= mgR.

編輯 李博寧h