何堯榮

摘 ? 要：洛侖茲力是一個橫向力，在洛侖茲力作用下帶電粒子的運動一直是教與學的難點。本文試圖從牛頓第二定律出發(fā)，比較嚴密地論證帶電粒子的運動，以期在高中生的層面解決這一難點。

關鍵詞：洛侖茲力;圓周運動;帶電粒子

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A ? ?文章編號：1003-6148（2015）1-0036-3

1 ? ?單一洛侖茲力作用下的帶電粒子的運動

1.1 ? ?帶電粒子以一定的速度垂直進入勻強磁場

在xOy平面內(nèi)有垂直于平面向內(nèi)的、磁感應強度為B的勻強磁場，有一個質(zhì)量為m、帶電量為q的帶電粒子，以v0的初速由O沿x軸正方向進入該磁場（如圖1），經(jīng)過時間t，到達P（x，y），速度為v，其沿坐標方向的分速度分別為vx和vy，則由牛頓第二定律可得：

圖1 ?帶電粒子垂直進入磁場

在此過程中，因為只有洛侖茲力的作用，洛侖茲力與速度時刻垂直不做功，由動能定理得：

代入整理得

可以得到軌跡方程是圓心（0，），半徑R=的圓方程。

由此可見，洛侖茲力提供了粒子做勻速圓周運動的向心力

周期

2 ? ?帶電粒子以與磁場方向成θ角進入磁場

在某一空間有一個沿y軸方向的、磁感強度為B的勻強磁場，有一質(zhì)量為m、帶電量為-q的粒子從O點，在yOz平面內(nèi)沿與y軸成θ角進入該磁場區(qū)域（如圖2），經(jīng)過t時間，到達P（x，y，z），其沿x、y、z軸方向的分速度分別為vx、vy、vz。

圖2 ? 帶電粒子與磁場方向成θ角進入

max=Bqvzmay=0maz=-Bqvx

方程兩邊同乘Δt，并連續(xù)求和得：

由于只有洛侖茲力作用，洛侖茲力與速度時刻垂直，由動能定理得：

在垂直于B的平面（xOz）內(nèi)做速率為v0sinθ，圓心為（R，0），半徑R=的圓周運動，并沿y軸方向做速度vy=v0cosθ的勻速直線運動，即做等螺距的螺旋線運動。

3 ? ? 洛侖茲力和恒力共同作用下的帶電粒子的運動

在xOy平面內(nèi)有垂直于平面向內(nèi)的、磁感應強度為B的勻強磁場和y軸負方向的電場強度為E的勻強電場（如圖3），質(zhì)量為m、帶電量為q的帶電粒子以v0的初速由O點沿x軸正方向進入該正交的電磁場，設經(jīng)過時間t后，到達P（x，y），速度變?yōu)関，其沿坐標方向的分速度分別為vx和vy，則由牛頓第二定律可得：

圖3 ?洛侖茲力與恒力共同作用

方程兩邊同乘Δt，并求和得：

由動能定理得

代入整理得：

這個方程整體是個圓方程，其半徑

R= ?，速度v'=v ?- ?的勻速圓周運動，其圓心O'坐標x0'= ?ty0'=

圓心在以特定速度v特= ?沿平行于x軸正方向做勻速直線運動。綜合起來就是帶電粒子以速率v'=v0- ?繞圓心（xO′，yO′）做勻速圓周運動，圓心以v特= ?沿平行于x軸正方向做勻速直線運動，其軌跡是條滾輪線。

1）若v0> ?時，勻速圓周運動的線速度v'=v0- ?>0，粒子沿逆時針方向轉(zhuǎn)動，將向y軸正方向偏離x軸，經(jīng)過時間t=n ?+ ?時，離x軸的最大距離為Y= ?，速度變?yōu)槠叫杏趚軸，大小為v''=2 ?-v0;經(jīng)過時間t=n ?時，粒子回到x軸，速度方向沿x軸正方向，大小變?yōu)関0，其沿x軸方向的位移為：

2）若v0<時，勻速圓周運動的線速度v'=v0-<0，粒子沿順時針方向轉(zhuǎn)動，將向y軸負方向偏離x軸，經(jīng)過時間t=n+時，離x軸的最大距離為Y=，速度變?yōu)槠叫杏趚軸，v''=2-v0;經(jīng)過時間t=n時，粒子回到x軸，速度方向沿x軸正方向，大小變?yōu)関0，其沿x軸方向的位移為：

4 ? ?實例分析

（2013福建高考）如圖4甲，空間存在一范圍足夠大的垂直于xOy平面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B。讓質(zhì)量為m、電量為q（q>0）的粒子從坐標原點O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到該磁場中。不計重力和粒子間的影響。

圖4 ?帶電粒子在磁場、電磁復合場中運動

①若粒子以初速度v1沿y軸正向入射，恰好能經(jīng)過x 軸上的A（a，0）點，求v1的大小;

②已知一粒子的初建度大小為v（v>v1），為使該粒子能經(jīng)過A（a，0）點，其入射角θ（粒子初速度與x軸正向的夾角）有幾個？并求出對應的sinθ值;

③如圖4乙，若在此空間再加入沿y軸正向、大小為E的勻強電場，一粒子從O點以初速度v0沿y軸正向發(fā)射。求該粒子運動過程中的最大速度值vm。

分析與解

圖5 帶電粒子軌跡示意圖

①因粒子沿y軸正方向垂直進入磁場，粒子將繞圓心（R，0）順時針方向做勻速圓周運動，經(jīng)過x軸的坐標為x=2R1，故由題意可得：

②因為v>v1，R2>R1

要使粒子經(jīng)過A點，圓心必須在OA的垂直平分線上sinθ=。

方向有兩個，與x軸正方向的夾角分別為

③粒子以v0的初速度沿y軸正方向進入正交的電場和磁場區(qū)域后，經(jīng)過t時間到達P（x，y），速度變?yōu)関，其沿x、y軸的分量分別為vx，vy。則由牛頓第二定律可得

max=Bqvymay=qE-Bqvx方程兩邊同乘Δt，并求和得：

mvx=Bqym（vy-v0）=qEt-Bqx

由動能定理得：

，只要v取最大值，v取最大值。

參考文獻：

[1]廖忠福.例析洛侖茲力的分解問題[J].物理教學探討，2010，（7）：50.

[2]陳霞.帶電粒子在復合物中的旋轉(zhuǎn)律運動分析[J].物理教學探討，2011，（1）：47.

（欄目編輯 ?羅琬華）