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        “等時(shí)圓”模型及形異質(zhì)同的“等時(shí)圓”

        2015-09-06 08:44:41宋早雷
        新課程·中旬 2015年7期
        關(guān)鍵詞:最低點(diǎn)最高點(diǎn)模型

        宋早雷

        摘 要:在處理物理問題時(shí),常常借助熟知的模型,如,質(zhì)點(diǎn)模型、子彈打木塊模型、人船模型、等時(shí)圓模型……這樣可以把復(fù)雜情景簡明化,抽象問題具體化,疑難問題清晰化,下面著重來研究一下“等時(shí)圓”模型及形異質(zhì)同的“等時(shí)圓”問題。

        關(guān)鍵詞:模型;等時(shí)圓;最高點(diǎn);最低點(diǎn);形異質(zhì)同的“等時(shí)圓”

        一、“等時(shí)圓”模型的建立

        如圖1所示,ac、bd是豎直面內(nèi)兩根固定的光滑細(xì)桿,a、b、c、d位于同一圓周上,a點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn),b點(diǎn)為最低點(diǎn)。每根桿上都套有一個(gè)小滑環(huán)(圖中未畫出),兩個(gè)滑環(huán)分別從a、d處自由釋放(初速為0),用t1、t2依次表示兩滑環(huán)到達(dá)c和b所用的時(shí)間,則它們的時(shí)間t1、t2分別為多少?

        分析:設(shè)圓的半徑為R,ac桿與水平面的夾角為α,則ac桿的長度L=2Rsinα ①

        滑環(huán)沿ac桿下滑的加速度a=gsinα ②

        設(shè)下滑時(shí)間為t1,則L=at21 ③

        由以上三式得,t1=2,同理可得滑環(huán)從d到b的t2=2。可見滑環(huán)下滑時(shí)間與細(xì)桿傾角無關(guān),都等于物體從圓上最高點(diǎn)自由下落到最低點(diǎn)的時(shí)間,即t=2。

        由此我們可以得出“等時(shí)圓”模型的兩個(gè)結(jié)論:

        結(jié)論1:物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑弦由靜止下滑到圓的最低點(diǎn),則到達(dá)圓的最低點(diǎn)的時(shí)間相等,或從圓上最高點(diǎn)由靜止沿光滑弦下滑到圓周上各位置的時(shí)間相等。

        結(jié)論2:物體在圓上沿光滑弦從靜止下滑到圓的最低點(diǎn)的時(shí)間等于物體在圓上沿光滑弦從最高點(diǎn)下滑到圓周上各位置的時(shí)間,都等于物體從圓上最高點(diǎn)自由下落到最低點(diǎn)的時(shí)間,即t=2。

        二、形異質(zhì)同的“等時(shí)圓”模型

        如果質(zhì)點(diǎn)不是從圓的最高點(diǎn)下滑或不是到達(dá)圓的最低點(diǎn)時(shí),我們應(yīng)怎樣處理此類問題呢?

        這就是下面我們要研究的形異質(zhì)同的“等時(shí)圓”模型。

        例題1:如圖2所示,oa、ob、oc是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿,o、a、b、c、d位于同一圓周上,d點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn),c點(diǎn)為最低點(diǎn)。每根桿上都套著一個(gè)小滑環(huán)(圖中未畫出),三個(gè)滑環(huán)都從o點(diǎn)無初速釋放,用t1、t2、t3依次表示滑環(huán)到達(dá)a、b、c所用的時(shí)間,則有( )

        A.t1=t2=t3 B.t1>t2>t3 C.t1t1>t2

        分析:由于o點(diǎn)不是最高點(diǎn)或最低點(diǎn)時(shí)間上看,不滿足“等時(shí)圓”模型條件。過o點(diǎn)做一條豎直線,再分別過a、b、c做oa、ob、oc的垂線交豎直線與p、q、e。如圖3所示,利用結(jié)論2得,沿oa的運(yùn)動時(shí)間t1即是由o點(diǎn)自由下落到p的時(shí)間。t2、t3同理可得,故答案是B。

        例題2:如圖4所示,ao、bo、co是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿,o、a、b、c、d位于同一圓周上,d點(diǎn)為圓周的最低點(diǎn),c點(diǎn)為最高點(diǎn)。每根桿上都套著一個(gè)小滑環(huán)(圖中未畫出),三個(gè)滑環(huán)分別從a、b、c三點(diǎn)無初速釋放,用t1、t2、t3依次表示滑環(huán)到達(dá)o所用的時(shí)間,則有( )

        A.t1>t2>t3 B.t1

        C.t3>t1>t2 D.t1=t2=t3

        分析:由例題1分析同理可得,如圖5,故答案是A。

        例題3:如圖6所示,e、f分別為圓周的最高點(diǎn)和最低點(diǎn),一小滑塊(可視為質(zhì)點(diǎn))分別沿著圓周上的斜面ab、cd滑下,用t1、t2分別表示小滑塊由靜止沿斜面從a到b、c到d的時(shí)間,則t1、t2的關(guān)系是( )

        A.t1=t2 B.t1>t2 C.t1

        解析:由于a、c兩點(diǎn)不是最高點(diǎn),b、d兩點(diǎn)也不是最低點(diǎn),直接從時(shí)間看,也不滿足“等時(shí)圓”模型條件?,F(xiàn)在過a、c兩點(diǎn)分別做兩條豎直線,再分別過b、d兩點(diǎn)做斜面ab、cd的垂線交兩豎直線于p、q兩點(diǎn),如圖7所示,利用結(jié)論2可得,t1=tap,t2=tcq,故通過判斷豎直線ap和cq的長度即可得答案是C。

        注意:幾何作圖時(shí)一定要細(xì)致、準(zhǔn)確。

        從上面形異質(zhì)同的“等時(shí)圓”的三個(gè)例題,我們可以清晰地得到這樣一個(gè)結(jié)論:

        結(jié)論3:質(zhì)點(diǎn)從圓上較高點(diǎn)(不是最高點(diǎn))沿光滑弦或軌道由靜止下滑到圓上較低點(diǎn)(不是最低點(diǎn))的時(shí)間只由過光滑弦或軌道的較低點(diǎn)(不是最低點(diǎn))作垂線交過起點(diǎn)的豎直線于某一點(diǎn),則質(zhì)點(diǎn)沿光滑弦或軌道由靜止下滑的時(shí)間就等于質(zhì)點(diǎn)從起點(diǎn)到這一點(diǎn)自由下落的時(shí)間。

        總之,我們在處理物體從圓上沿光滑弦或軌道由靜止下滑到圓上的某一點(diǎn)的時(shí)間問題時(shí),我們應(yīng)先分清物體是不是從圓上最高點(diǎn)由靜止下滑到圓周上的不同點(diǎn),還是從圓上不同點(diǎn)由靜止下滑到圓周的最低點(diǎn)問題。如是這類問題我們可直接用“等時(shí)圓”模型處理。如果遇到是物體從圓上較高點(diǎn)(不是最高點(diǎn))沿光滑弦或軌道由靜止下滑到圓上較低點(diǎn)(不是最低點(diǎn)),我們應(yīng)掌握形異質(zhì)同“等時(shí)圓”的解題的基本規(guī)律。只有這樣我們才能從紛繁、多變、形異的物理情景中構(gòu)建出質(zhì)同的“等時(shí)圓”模型,才能利用好“等時(shí)圓”模型,才能更深刻地理解“等時(shí)圓”模型的理論意義及實(shí)際的應(yīng)用意義。

        參考文獻(xiàn):

        陳棟樑.“等時(shí)圓”的等時(shí)“原理”在物理問題解決中的妙用[J].物理教師,2013(3):28.

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