摘 要：教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)現(xiàn)狀中存在若干問題，文中給出了將翻轉(zhuǎn)課堂應(yīng)用于離散數(shù)學(xué)課程的實(shí)施方案。通過革新傳統(tǒng)教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，注重學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，能夠提高離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)水平，獲得良好的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：翻轉(zhuǎn)課堂；離散數(shù)學(xué)；教學(xué)改革

從離散數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容和計(jì)算機(jī)學(xué)科的發(fā)展情況來看，很多計(jì)算學(xué)科的問題都可抽象為離散數(shù)學(xué)的問題。離散數(shù)學(xué)的思維方法能夠使我們站在更高的高度去學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)科學(xué)。對(duì)于信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說，學(xué)好離散數(shù)學(xué)這門課程具有非常重要的作用。教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)以下兩個(gè)問題比較突出：（1）離散數(shù)學(xué)這門課程理論性強(qiáng)、高度抽象，大部分學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不高，感到枯燥難懂，甚至感到害怕學(xué)習(xí)這門課程。（2）傳統(tǒng)的教學(xué)方法只重視理論而忽視應(yīng)用，未能很好地將知識(shí)應(yīng)用于實(shí)踐，學(xué)生感受不到離散數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)中的應(yīng)用，認(rèn)為離散數(shù)學(xué)是純粹的數(shù)學(xué)課程，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性不高。上述問題易導(dǎo)致同學(xué)們對(duì)離散數(shù)學(xué)的重要性認(rèn)識(shí)不夠，從而影響后繼課程的學(xué)習(xí)。課程教學(xué)中如果能夠應(yīng)用“翻轉(zhuǎn)課堂”，以學(xué)生為主導(dǎo)，鼓勵(lì)學(xué)生多參與，師生互動(dòng)，共同探討學(xué)習(xí)任務(wù)，將會(huì)提高教學(xué)效果。

一、 翻轉(zhuǎn)課堂概述

翻轉(zhuǎn)課堂是指在計(jì)算機(jī)和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的環(huán)境下，老師提供教學(xué)視頻和課件，學(xué)生在課外時(shí)間里下載觀看和學(xué)習(xí)，從而給予學(xué)生更多自由的學(xué)習(xí)空間。課堂上完成問題的答疑、知識(shí)的深化鞏固，以便師生之間高效地互動(dòng)和交流，把問題的探討導(dǎo)向更深層次。翻轉(zhuǎn)課堂把課堂學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)移到課外學(xué)習(xí)中，學(xué)生可以根據(jù)自己的時(shí)間合理安排學(xué)習(xí)時(shí)間，完成學(xué)習(xí)任務(wù)。這樣可以鍛煉學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，有利于不同層次的學(xué)生學(xué)習(xí)。學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的學(xué)生觀看視頻的進(jìn)度可以快一點(diǎn)，學(xué)習(xí)能力弱的學(xué)生可以進(jìn)度慢一點(diǎn)或者可以多學(xué)幾遍，不懂的地方可以在線隨時(shí)提問，及時(shí)解決問題。

二、 實(shí)施翻轉(zhuǎn)課堂

（一） 明確目標(biāo)，調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)積極性

我們認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的最大障礙是學(xué)習(xí)興趣不濃，而學(xué)習(xí)興趣不濃的最主要原因是學(xué)生看不到離散數(shù)學(xué)對(duì)學(xué)習(xí)后繼課程的影響。學(xué)習(xí)任何一門課程，有興趣就有學(xué)習(xí)動(dòng)力。在信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的后繼課程中有許多與計(jì)算機(jī)學(xué)科相關(guān)聯(lián)的知識(shí)。因此，我們不僅在第一次課堂中介紹離散數(shù)學(xué)與其他專業(yè)課程之間的聯(lián)系，以及該課程在計(jì)算學(xué)科中的重要地位，在后繼具體講解每一章節(jié)的內(nèi)容過程中，在講清楚基本概念、定理、定理證明、計(jì)算方法的同時(shí)，多舉一些應(yīng)用所學(xué)知識(shí)點(diǎn)的例子，讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到離散數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)其他課程的密切聯(lián)系。

（二） 制作小視頻，布置學(xué)習(xí)任務(wù)

針對(duì)不同的章節(jié)，老師提前制作合適的小視頻上傳到網(wǎng)絡(luò)，要求同學(xué)們及時(shí)觀看，同時(shí)給同學(xué)們布置學(xué)習(xí)任務(wù)。視頻的制作不宜過長，一般控制在15分鐘左右，在每一部分知識(shí)點(diǎn)講解之前，先介紹內(nèi)容的應(yīng)用范圍，舉一些易于理解的例子，讓同學(xué)們對(duì)該部分內(nèi)容有一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)，然后再詳細(xì)介紹每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的來龍去脈。選取的例子應(yīng)短小精悍，語言深入淺出，巧妙地設(shè)置一些問題，給同學(xué)們提供發(fā)揮想象的空間。

（三） 觀看視頻，思考問題

課堂上老師可以把整個(gè)視頻或者其中重點(diǎn)部分打開讓同學(xué)們?cè)俅斡^看，同時(shí)向同學(xué)們提問，師生互動(dòng)共同完成學(xué)習(xí)任務(wù)。看下面這個(gè)例子，如下圖1，這是一個(gè)展館平面圖，共有五個(gè)展廳，每個(gè)展廳都有若干個(gè)門，能否設(shè)計(jì)一條參觀路線不重復(fù)地走過每個(gè)門最后回到原地。

這是一個(gè)實(shí)際應(yīng)用的例子，視頻中可以通過動(dòng)畫的方式形象地展現(xiàn)在同學(xué)們面前，發(fā)揮同學(xué)們的空間想象能力，調(diào)動(dòng)同學(xué)們的學(xué)習(xí)積極性。五個(gè)展廳十二個(gè)門，怎么設(shè)計(jì)參觀路線呢？可以把五個(gè)展廳看成圖2中的A、B、C、D、E五個(gè)點(diǎn)，室外用F表示，頂點(diǎn)間的連線表示門。這樣圖1中的問題就轉(zhuǎn)換成了判斷圖2是否具有歐拉回路的問題。C、D、E、F都是奇度頂點(diǎn)，易知圖2不具有歐拉回路。接著老師可以把問題問得再深入一些，比如，關(guān)閉哪兩個(gè)門就可以設(shè)計(jì)出符合條件的參觀路線呢？顯然在圖2中去掉CD邊和EF邊就可以了。老師還可以繼續(xù)提問有沒有其他的方法呢，引導(dǎo)學(xué)生積極思考問題，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)，提高課堂教學(xué)效率。

圖1

圖2

（四） 融數(shù)學(xué)建模思想于無形之中

數(shù)學(xué)中有許多離散模型，在課堂教學(xué)中老師要適當(dāng)?shù)亟榻B一些利用離散數(shù)學(xué)知識(shí)能夠解決的一些生活中的實(shí)例，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力。教學(xué)改革的目的就是培養(yǎng)同學(xué)們的學(xué)習(xí)熱情和學(xué)習(xí)興趣，消除同學(xué)們“學(xué)會(huì)了也沒什么用”的雜念。這就要求老師在教學(xué)內(nèi)容里融入一些趣味性的教學(xué)范例，讓同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生快樂的情緒，積極主動(dòng)地參與到課堂學(xué)習(xí)中，集中精力思考問題。比如，在學(xué)習(xí)數(shù)理邏輯這部分內(nèi)容里的主析取范式時(shí)，我們會(huì)花大量的時(shí)間介紹主析取范式的求法，通過課后習(xí)題反復(fù)練習(xí)，可是同學(xué)們卻理解不了學(xué)習(xí)主析取范式的真正意義，不利于調(diào)動(dòng)同學(xué)們的學(xué)習(xí)積極性。

例1 某高校要從王允、李飛、張蒙、陳欣、申藝五名老師中選派一些人外出學(xué)習(xí)深造。選派必須滿足以下條件：（1）若王允去，李飛也去；（2）李飛、張蒙兩人中有一人去且僅去一人；（3）張蒙、陳欣兩人同去或同不去；（4）若申藝去，則王允、李飛也去；（5）陳欣、申藝兩人中至少有一人去。問學(xué)校應(yīng)如何選派他們出國？

解：設(shè)p：派王允去，q：派李飛去，r：派張蒙去，s：派陳欣去，t：派申藝去。必須滿足的五個(gè)條件符號(hào)化為：（1）（p→q）；（2）（（q∧？r）∨（？q∧r））；（3）（（r∧s）∨（？r∧？s））；（4）（t→（p∧q））；（5）（s∨t）。五個(gè)條件構(gòu)成的合取式為：

A=（p→q）∧（（q∧？r）∨（？q∧r））∧（（r∧s）∨（？r∧？s））∧（t→（p∧q））∧（s∨t）。

與公式A等價(jià)的主析取范式為：A（？p∧？q∧r∧s∧？t）∨（p∧q∧？r∧？s∧t）。易知公式A的成真賦值為：00110和11001。學(xué)校應(yīng)派張蒙、陳欣去（王允、李飛、申藝不去）或派王允、李飛、申藝去（張蒙、陳欣不去）。

把生活中的實(shí)際問題符號(hào)化，建立數(shù)學(xué)模型，讓同學(xué)們體驗(yàn)學(xué)習(xí)主析取范式的“用處”，這樣不僅能調(diào)動(dòng)同學(xué)們的學(xué)習(xí)積極性，更有利于同學(xué)們對(duì)理論知識(shí)的深入理解。

（五） 考核方式分階段、多樣化進(jìn)行，注重培養(yǎng)學(xué)習(xí)能力

如果只把學(xué)好離散數(shù)學(xué)這門課程定位在會(huì)簡單的計(jì)算和證明上，那么也就失去了學(xué)習(xí)這門課程的真正意義。離散數(shù)學(xué)的重點(diǎn)是看學(xué)生有沒有掌握這門課程的數(shù)學(xué)思想，會(huì)不會(huì)將知識(shí)應(yīng)用于實(shí)踐，建立數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問題。如果在考核上只包括平時(shí)成績和期末成績，那么將會(huì)很難客觀地反映學(xué)生的真實(shí)水平。我們對(duì)離散數(shù)學(xué)的考核是分階段、多樣化進(jìn)行的。我們主要學(xué)習(xí)數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)結(jié)構(gòu)、圖論這四個(gè)主題，每學(xué)完一個(gè)主題都要進(jìn)行考核，每次考核包括課堂探索、課后作業(yè)、模型建立、編程訓(xùn)練四個(gè)部分，將這四個(gè)部分的成績加權(quán)求和作為每一個(gè)主題的成績。最后將四個(gè)主題的成績和期末考試的成績?cè)偌訖?quán)求和作為離散數(shù)學(xué)這門課程的最終成績。

三、 結(jié)束語

翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式能夠讓學(xué)生課前完成新知識(shí)的學(xué)習(xí)，有效縮短課時(shí)，讓學(xué)生在有限的課時(shí)里實(shí)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)化，提高學(xué)習(xí)效率。課程改革永無止境。翻轉(zhuǎn)課堂作為一種新型的教學(xué)模式也有它的局限性，筆者也一直在思考這些問題。比如，對(duì)于一些比較抽象的問題、對(duì)于自主學(xué)習(xí)能力不強(qiáng)的學(xué)生，實(shí)施翻轉(zhuǎn)課堂就比較困難。這就要求我們?cè)谝院蟮恼n程教學(xué)中，不斷改革創(chuàng)新，靈活運(yùn)用，揚(yáng)長避短，盡量發(fā)揮翻轉(zhuǎn)課堂的優(yōu)勢(shì)作用，使學(xué)生課堂學(xué)習(xí)效率最優(yōu)化。

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作者簡介：

李培培，講師，安徽省阜陽市，阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院。endprint