摘 要：優(yōu)化課堂教學(xué)關(guān)鍵要解決好教什么、怎么教的問題。一道題被選為例題，肯定具有代表性。深入挖掘例題功能，利用好例題，不但能很好地完成教學(xué)任務(wù)，更利于培養(yǎng)學(xué)生思維，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。例題教學(xué)能讓教師更深刻體會教材編寫者的意圖，準(zhǔn)確把握知識傳授的時(shí)機(jī)、準(zhǔn)度、難度，優(yōu)化課堂教學(xué)。

關(guān)鍵詞：例題功能；拓展；思維；思想；優(yōu)化教學(xué)

《課標(biāo)》指出：“教師是教材的執(zhí)行者，更是教材的開發(fā)者和創(chuàng)造者”。教師通過教材進(jìn)行備課、上課、布置作業(yè)及檢查學(xué)生學(xué)業(yè)成績等教學(xué)活動，學(xué)生利用教材進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，教材為師生的教與學(xué)提供原始材料。作為教材的重要組成部分的例題，具有典型性、示范性和關(guān)聯(lián)性，因此它安排在不同地方，其目的和作用都不一樣。有的為了引出概念，有的為了推導(dǎo)某個(gè)公式，有的為了強(qiáng)調(diào)某種思維方法或解題技巧。設(shè)置例題的目的是引導(dǎo)與培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用基本理論知識分析解決問題的能力。因此，教師必須領(lǐng)會和認(rèn)識例題的潛在功能，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，激活學(xué)生的思維。

一、 把握例題的“暗示”，適時(shí)適度補(bǔ)充新知識

學(xué)生剛?cè)敫咭粚W(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，總有一種迷茫的感覺：知識點(diǎn)多，方法多，又抽象。教師在備課中也很糾結(jié)：什么時(shí)候補(bǔ)充，補(bǔ)充什么，到什么程度？如何幫學(xué)生形成知識體系？教材中的例題恰好“暗示”我們?nèi)绾谓鉀Q這個(gè)問題。

人教版必修1第二章《函數(shù)及其表示》。 課本P17

【例1】 已知函數(shù)f（x）=x+3+1x+2。

（1）求函數(shù)的定義域；

（2）求f（-3），f23；

（3）當(dāng)a>0時(shí)，求f（a），f（a-1）的值。

學(xué)生可能會困惑：函數(shù)三要素為什么只舉例求定義域，沒有求對應(yīng)法則、值域的例題？這就“暗示”應(yīng)在此處可以補(bǔ)充一次、二次函數(shù)在給定區(qū)間

的值域。如：求y=2x+3，x∈[-1，2]的值域；求y=x2-2x-3，x∈[0，3]

的值域等簡單的值域問題。事實(shí)上課本課后作業(yè)A組題第3、9題就出現(xiàn)求值域問題，恰好驗(yàn)證這種“暗示”的存在。至于對應(yīng)法則的學(xué)習(xí)主要以解析式為主，這涉及函數(shù)的表示法。

如：課本P19頁例3 某種筆記本的單價(jià)是5元，買x（x∈{1，2，3，4，5}）個(gè)筆記本需要y元。試用函數(shù)的三種表示法表示函數(shù)y=f（x）。課本P20頁為此例配了一個(gè)思考：比較三種表示法，它們各自的特點(diǎn)是什么？所有的函數(shù)都能用解析法表示嗎？解析式是表示函數(shù)的最常見的一種形式，這不正“暗示”需補(bǔ)充求函數(shù)解析式的方法。這也呼應(yīng)函數(shù)三要素中求對應(yīng)法則的補(bǔ)充。

課本中這幾道例題“暗示”，提醒我們在平時(shí)教學(xué)中圍繞知識系統(tǒng)適時(shí)適度補(bǔ)充相關(guān)新知識。

又如：課本P21 例3 畫出y=|x|的圖像。

此例引出的知識是分段函數(shù)。這是高中階段接觸的第一個(gè)新函數(shù)，又是與初中知識相關(guān)聯(lián)，既熟悉又陌生。結(jié)合本單元所學(xué)內(nèi)容，可以感受到此例在暗示研究一個(gè)函數(shù)的基本步驟方法：解析式——定義域——值域——圖像。因此本例教學(xué)就不能簡單教學(xué)y=|x|的圖像，而應(yīng)該引入分段函數(shù)的定義域、值域、圖像，進(jìn)而擴(kuò)展到函數(shù)圖像的常見變換：平移變換、翻折變換等知識。

例題的這些“暗示”讓我們教學(xué)思路更清晰、目的更明確，教學(xué)更有層次、有條理。

二、 利用例題適度拓展，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維

“一題多解”“一題多變” 的教學(xué)活動，利于激勵學(xué)生進(jìn)行聯(lián)想和猜想，培養(yǎng)發(fā)散思維的能力。在平時(shí)教學(xué)中，教師有意識地通過課本例題引申拓寬，可以開闊學(xué)生思路，把基礎(chǔ)知識和方法進(jìn)行融會貫通，靈活運(yùn)用，又可以訓(xùn)練和培養(yǎng)他們發(fā)散思維。

（一） 突出知識應(yīng)用的一題多解

以新知識應(yīng)用為前提，根據(jù)知識的發(fā)展需要引出的“一題多解”，既鞏固新知又拓寬學(xué)生思維。

如：人教版必修5課本P44 2.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

【例2】 已知一個(gè)等差數(shù)列{an}前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220。由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式嗎？

解法一：由sn=na1+n（n-1）2d，列方程組求解；突出基本量計(jì)算。

解法二：設(shè)sn=An2+Bn，代入條件求解。靈活運(yùn)用公式，也為了后續(xù)從函數(shù)角度分析前n項(xiàng)。

和作鋪墊

提出思考：如何求前30項(xiàng)和？

又引出新解法：s20-s10=a11+a12+…+a20=5（a11+a20）=5（a1+a30）

在此基礎(chǔ)上 猜想：s10，s20-s10，s30-s20的關(guān)系？推廣引出前n項(xiàng)和的性質(zhì)。

在此例教學(xué)中，既強(qiáng)化等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，又揭示新知識“等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)”的知識來源。

（二） 突出模塊知識的綜合應(yīng)用的一題多解

人教版選修模塊內(nèi)容既體現(xiàn)知識的發(fā)展提高，更體現(xiàn)各模塊知識的綜合。這種各模塊知識的交叉應(yīng)用的解法多樣性，讓例題教學(xué)更加豐富多彩，利于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

如：人教版選修2-2課本P87 2.2.1 《綜合法和分析法》

【例3】 求證：7+3<25。

證法一：分析法。這是課本提供的方法，目的在于鞏固新知。

證法二：估算。7大約在2.6到2.7之間，3約等于1.732…，5約等于2.236…得證。此法考驗(yàn)學(xué)生的數(shù)感，這也是需要培養(yǎng)的核心素養(yǎng)之一。

證法三：考慮被開方數(shù)3，5，7成等差數(shù)列，把7+3<25化為

7-5<5-3構(gòu)造函數(shù)

f（x）=x-x-2，x>2利用f′（x）<0，f（x）遞減得

f（7）

證法四：從結(jié)論形式上猜想基本不等式7+322<

（7）2+（3）22。

多角度開放，檢驗(yàn)學(xué)生知識綜合應(yīng)用能力。

（三） 基于例題背景的變式教學(xué)

通過變換例題的題設(shè)、結(jié)論、設(shè)問等引申出新的問題，在變式中發(fā)展學(xué)生思維靈活性。在教學(xué)過程中有意識對例題總結(jié)、提煉和靈活運(yùn)用，深度挖掘數(shù)學(xué)例題的教學(xué)功能?！耙活}多解”“一題多變”教學(xué)活動，不僅利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力，還可以幫助學(xué)生深刻理解知識的系統(tǒng)性、特殊性、廣泛性。

如：人教版選修2-1課本P41 2.2.1 《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》

【例3】 設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-5，0），（5，0）。直線AM、BM相較于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是

-49，求點(diǎn)M的 軌跡方程。

變式一：條件一般化。若點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-a，0），（a，0）呢？

變式二：交換條件與結(jié)論。若點(diǎn)M是橢圓

x2a2+y2b2=1（a>b>0）上不同于左右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)A、B是左右頂點(diǎn)，求直線AM、BM的斜率之積。

變式三：改變條件：點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-5，0），（5，0）。直線AM、BM相較于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是

49。求點(diǎn)M的軌跡方程。此時(shí)是雙曲線，為后續(xù)學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備。

變式四： 斜率之積是k呢？

這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)能讓學(xué)生感受變式的原理，體會特殊與一般的思想。

三、 例題可以促進(jìn)學(xué)生的思維形成，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)思維形成是建立在對高中數(shù)學(xué)基本概念、定理、公式理解的基礎(chǔ)上的，不完全是解題活動，而解決問題是發(fā)展高中學(xué)生數(shù)學(xué)思維最有效的方法。在解題過程中體現(xiàn)思維的形成過程，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（一） 例題的解答過程就是思維形成過程

如：必修5課本P99 3.4 《基本不等式》

【例1】 （1）用籬笆圍一個(gè)面積為100m2的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？

（2）一段長為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？

表面上看此例是基本不等式的直接應(yīng)用，實(shí)際上此例有兩大優(yōu)點(diǎn)：

①體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。建?！咽煜さ膶?shí)際問題概括為抽象的數(shù)學(xué)問題。歸納概括——問題的解決可以歸納概括基本不等式在求最值的應(yīng)用：和定積最大；積定和最小。邏輯性——在基本不等式應(yīng)用中對取等條件的判斷也利于培養(yǎng)思維縝密。

②整個(gè)解答過程恰好是應(yīng)用基本不等式的思維過程（一正二算三取等），也體現(xiàn)解決問題的思維過程：條件判斷——計(jì)算——檢驗(yàn)。

（二） 例題有助于逆向思維培養(yǎng)

若學(xué)生的正向思維活躍，容易形成思維定勢，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。因此，教師要在例題教學(xué)中對學(xué)生進(jìn)行逆向思維培養(yǎng)，突出公式、定理或規(guī)律的逆向教學(xué)。

如：選修2-1課本P70 2.4.2 《拋物線的簡單幾何性質(zhì)》

【例5】 過拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線與A、B兩點(diǎn)，通過點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線與點(diǎn)Q，求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸。

從結(jié)論出發(fā)可得：過拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線與A、B兩點(diǎn)，直線DB平行于拋物線的對稱軸交準(zhǔn)線與點(diǎn)D，求證：點(diǎn)A、O、D三點(diǎn)共線。

此例突出規(guī)律的逆向教學(xué)。

又如：人教版必修4課本P140 3.2 簡單的三角恒等變換

【例2】 求證：

（1）sinαcosβ=12[sin（α+β）+sin（α-β）]；

（2）sinθ+sinφ=2sinθ+φ2cosθ-φ2。

雖然積化和差、和差化積公式不作考試要求，教學(xué)中很多教師會忽略此例，但作為一種思維訓(xùn)練，此例體現(xiàn)公式的逆用。

（3）例題教學(xué)滲透數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)不是一朝一夕就可以做到，需要教師平時(shí)教學(xué)中有意識地進(jìn)行滲透。例題作為教材主要構(gòu)成部分，為滲透數(shù)學(xué)思想方法提供大量機(jī)會。

如：人教版必修5課本P31 2.1 數(shù)列的概念與簡單表示法

【例3】 設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1an=1+1an-1（n>1），

寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)。

表面上是代入計(jì)算問題，但深層次的問題是：有限與無限思想的滲透。把握這點(diǎn)，學(xué)生對遞推公式表示數(shù)列就會有更深刻的理解。若再問“根據(jù)前5項(xiàng)，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式”又能讓學(xué)生體會通項(xiàng)與遞推的關(guān)系。這樣，此例的功能才被充分發(fā)揮。

四、 例題具有示范引領(lǐng)功能

解題的規(guī)范性有利于幫助學(xué)生鞏固知識和形成正確的思維方式。例題是規(guī)范解題的最佳參照樣本。所謂規(guī)范解題，就是按照一定的形式、格式進(jìn)行的層次分明、結(jié)論明確的解題過程。解題規(guī)范包括：步驟過程規(guī)范、思路規(guī)范、書寫表達(dá)規(guī)范、分類討論規(guī)范等。高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有些題目的解答是有嚴(yán)格規(guī)范要求的。如定義法證明函數(shù)單調(diào)性、立幾證明中定理的應(yīng)用書寫格式要求、分析法和反證法描述、數(shù)學(xué)歸納法的書寫模式等。教學(xué)中充分利用有關(guān)例題培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范的書寫習(xí)慣，通過規(guī)范的書寫促進(jìn)思路的規(guī)范。

當(dāng)然，例題的功能很多。教師只有用心去體會例題意圖，明確例題的目的和要求，在教學(xué)中才會有所側(cè)重。只有充分挖掘例題功能，才能合理安排教學(xué)，優(yōu)化課堂教學(xué)。

作者簡介：李俊文，福建省將樂縣第一中學(xué)。endprint