摘 要：應(yīng)試教育下很多課堂教學(xué)常有重解題輕概念的現(xiàn)象發(fā)生，而概念教學(xué)恰恰是數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)節(jié)中最重要的一環(huán)，如何做好概念教學(xué)是我們每一位教師必須重視的問(wèn)題，教師應(yīng)該合理使用教材，創(chuàng)設(shè)合理的教學(xué)情境，突出概念的本質(zhì)，讓概念的形成、理解和辨析在有效的問(wèn)題串設(shè)計(jì)中自然形成。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，針對(duì)具體的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生知識(shí)、能力的實(shí)際，設(shè)計(jì)恰時(shí)恰點(diǎn)、適度合理的問(wèn)題串，不僅可以引導(dǎo)學(xué)生步步深入地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、建構(gòu)知識(shí)、發(fā)展能力，而且能優(yōu)化課堂結(jié)構(gòu)，提高課堂效率，很好地培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)。應(yīng)該說(shuō)科學(xué)設(shè)計(jì)問(wèn)題串是一節(jié)魅力數(shù)學(xué)課堂不可或缺的元素。

關(guān)鍵詞：科學(xué)設(shè)計(jì)；問(wèn)題串；概念教學(xué)

一、 問(wèn)題的提出

前不久，筆者在高三一輪復(fù)習(xí)函數(shù)的奇偶性時(shí)，給出了這樣一道判斷題：若函數(shù)f=（x+1）為奇函數(shù)，則f=（-x-1）=-f（x+1），這個(gè)結(jié)論正確嗎？全班53名學(xué)生竟有多半學(xué)生回答正確，還有部分學(xué)生猶豫不定！筆者讓一位認(rèn)為正確的學(xué)生說(shuō)說(shuō)自己的理由，這位學(xué)生回答說(shuō)，函數(shù)的奇偶性的定義就是這樣的！若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，則對(duì)于定義域中任意自變量x，都有f（-x）=-f（x）成立。我追問(wèn)他函數(shù)f（x+1）的自變量是什么？你能用文字語(yǔ)言敘述一下奇函數(shù)的定義嗎？結(jié)果該生知道自變量為x，但對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題沒(méi)答上來(lái)。其實(shí)學(xué)生判斷失誤的關(guān)鍵在于對(duì)奇函數(shù)定義沒(méi)有真正的理解，沒(méi)有弄清概念的本質(zhì)：互為相反數(shù)的一對(duì)自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也互為相反數(shù)。而要弄清這一點(diǎn)，就必須讓學(xué)生在學(xué)習(xí)奇函數(shù)的概念時(shí)，經(jīng)歷由特殊到一般的概念抽象、概括過(guò)程。而現(xiàn)實(shí)是很多基礎(chǔ)年級(jí)的課堂只重解題技巧，輕視概念生成過(guò)程，追求概念教學(xué)最小化和習(xí)題講解最大化，這樣學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念只知道機(jī)械記憶，死記硬背、不求甚解，并未理解概念的本質(zhì)，直接后果表現(xiàn)為學(xué)生在沒(méi)有真正理解概念的情況下匆忙去解題，使得他們只會(huì)模仿解決某些典型的題型、掌握某些特定的解法，一旦遇到新情況、新題目就束手無(wú)策。

二、 教學(xué)片段回放及思考

1. 課題的引入是從現(xiàn)實(shí)生活中提出問(wèn)題或是從數(shù)學(xué)內(nèi)部提出問(wèn)題

以《函數(shù)的零點(diǎn)》為例。

問(wèn)題1 觀察這幅圖，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：發(fā)現(xiàn)了3張臉。

師：從左面看，是一個(gè)少女；從正面看，是一個(gè)老婦人；從側(cè)面看，是一個(gè)老頭。同一幅圖，從不同的角度看，發(fā)現(xiàn)了3張臉，得到了不同的結(jié)果，你從這里能得到什么樣的啟發(fā)？

生：我們看問(wèn)題，要善于從不同的角度進(jìn)行思考。

師：很好?。ㄍ队埃簭牟煌慕嵌瓤磫?wèn)題）

問(wèn)題2 從不同的角度看y=2x-1，你有什么樣的思考？

生：它是一次函數(shù)，圖象是一條直線(xiàn)。

師：已經(jīng)有兩種結(jié)果了，還有嗎？假如初一學(xué)生來(lái)看，他會(huì)說(shuō)是什么？這是一個(gè)等式，含有兩個(gè)未知數(shù)的等式，叫什么？

眾生：二元一次方程。

師：對(duì)于y=2x-1，現(xiàn)在我們可以有三種理解，即函數(shù)、直線(xiàn)和方程。

問(wèn)題3 在y=2x-1中，令y=0，得x=0.5，對(duì)x=0.5，你有怎樣的理解？

生：可以看成是方程2x-1=0的根。

生：也就是函數(shù)y=2x-1的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

師：這樣，這里的0.5既有數(shù)的意義，又具有形的意義。其實(shí)，這個(gè)0.5還有一個(gè)名字，叫做函數(shù)y=2x-1的零點(diǎn)（投影）。這就是我們今天這節(jié)課所要研究的問(wèn)題——板書(shū)課題。

師：我們把0.5叫做函數(shù)y=2x-1的零點(diǎn)，為什么要取“零點(diǎn)”這個(gè)名字呢？

生：因?yàn)樗怯蓎=0求得的。

問(wèn)題4 對(duì)于一般的函數(shù)y=f（x），你認(rèn)為該如何定義它的零點(diǎn)呢？

生：方程f（x）=0的根，叫做函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)。

師：非常好！跟課本上的定義幾乎是一致的。對(duì)于這個(gè)定義，我們也可以從數(shù)和形的角度來(lái)刻畫(huà)。從數(shù)的角度怎樣來(lái)理解？

圖1

生：方程f（x）=0的根。

師：那么，從形的角度呢？

生：函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

師：非常好?。ㄍ队埃?/p>

問(wèn)題5 已知函數(shù)y=f（x）的圖象如圖1所示，你能說(shuō)出這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)是什么嗎？有兩種答案可供選擇：（1）x1=0，x2=1，x3=2；（2）（0，0），（1，0），（2，0）。

生：選（1）。

師：為什么呢？

生：根據(jù)定義，函數(shù)的零點(diǎn)是它的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是一個(gè)數(shù)，而不是一個(gè)點(diǎn)。

師：很好！如果現(xiàn)在我們可以出一道腦筋急轉(zhuǎn)彎題目：“什么點(diǎn)不是點(diǎn)？”——那么“零點(diǎn)”就是答案之一。

評(píng)析：在對(duì)引入課題的問(wèn)題情境進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，先由學(xué)生熟悉的自然現(xiàn)象入手，過(guò)渡到數(shù)學(xué)中的抽象問(wèn)題，接著提出相應(yīng)的問(wèn)題，這樣符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。筆者在研究該課的相關(guān)案例時(shí)，發(fā)現(xiàn)有的教學(xué)設(shè)計(jì)直接從數(shù)學(xué)問(wèn)題角度提出問(wèn)題，這樣設(shè)計(jì)未嘗不可，但是由于函數(shù)具有高度抽象性，先結(jié)合實(shí)例形象感知現(xiàn)象，再探究數(shù)學(xué)中的抽象更自然合理。

設(shè)置問(wèn)題情境是為提出數(shù)學(xué)問(wèn)題服務(wù)的，不能為了情境而情境，經(jīng)歷完眼花繚亂的情境后學(xué)生沒(méi)有能自主提出問(wèn)題，這樣的問(wèn)題情境是失敗的，也就是說(shuō)在設(shè)置時(shí)沒(méi)有考慮問(wèn)題的導(dǎo)向性，讓學(xué)生經(jīng)歷之后到底想讓學(xué)生產(chǎn)生怎樣的問(wèn)題。

2. 概念形成過(guò)程中的問(wèn)題串設(shè)計(jì)要有整體性、層次性、探究性

以《三角函數(shù)的周期性》為例。

問(wèn)題1 如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)三角函數(shù)的周期性？

問(wèn)題2 如果函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，符合用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)的函數(shù)特性嗎？

評(píng)析：先由學(xué)生熟悉的正弦函數(shù)進(jìn)行探究，概括出作為周期函數(shù)的兩個(gè)主要特征，再通過(guò)問(wèn)題2加深學(xué)生對(duì)兩個(gè)特征的認(rèn)識(shí)，由特殊到一般，符合學(xué)生認(rèn)知習(xí)慣，為定義一般函數(shù)的周期性做鋪墊。上述兩個(gè)問(wèn)題是為了解決“如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)三角函數(shù)的周期性”而設(shè)置的，自上而下體現(xiàn)了統(tǒng)一性、延續(xù)性，并非孤立分散的，這就體現(xiàn)了問(wèn)題情境的設(shè)置要有整體性。endprint

問(wèn)題1-1：結(jié)合前面所學(xué)的知識(shí)你能說(shuō)說(shuō)正弦函數(shù)有怎樣“周而復(fù)始”的特點(diǎn)嗎？

問(wèn)題1-2：這個(gè)結(jié)論如何用數(shù)學(xué)等式表示？

問(wèn)題1-3：上式的成立與x有關(guān)嗎？

評(píng)析：上述三個(gè)小問(wèn)題是為了解決問(wèn)題1而設(shè)置的，讓學(xué)生對(duì)正弦函數(shù)周期性的特點(diǎn)進(jìn)行直觀感知，然后引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)兩個(gè)特征（任意性，周而復(fù)始）進(jìn)行刻畫(huà)，再對(duì)正弦函數(shù)的周期性下一定義，這是概念形成的關(guān)鍵一步，同時(shí)也體現(xiàn)了設(shè)置問(wèn)題時(shí)的層次性。

3. 概念形成后要注重反思概念的內(nèi)涵，挖掘其外延

以《函數(shù)的零點(diǎn)》為例，試看“零點(diǎn)存在性定理”的生成過(guò)程。

師：下面我們來(lái)探究函數(shù)在什么條件下有零點(diǎn)，先來(lái)做一個(gè)實(shí)驗(yàn)：每位同學(xué)的桌上都有一支筆芯和一條細(xì)線(xiàn)，如果我們把筆芯所在直線(xiàn)假想成x軸，把細(xì)線(xiàn)當(dāng)成函數(shù)圖象?，F(xiàn)請(qǐng)將細(xì)線(xiàn)和筆芯放在桌面內(nèi)，保持筆芯固定不動(dòng)，活動(dòng)細(xì)線(xiàn)的兩個(gè)端點(diǎn)（記為A、B），觀察細(xì)線(xiàn)與筆芯的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，思考下列問(wèn)題：

問(wèn)題1 如果A、B在筆芯異側(cè)，細(xì)線(xiàn)和筆芯的交點(diǎn)有幾個(gè)？

答：略。

問(wèn)題2 如果A、B在筆芯同側(cè)，細(xì)線(xiàn)和筆芯的交點(diǎn)有幾個(gè)？

答：略。

問(wèn)題3 細(xì)線(xiàn)的兩個(gè)端點(diǎn)滿(mǎn)足什么條件時(shí)這條細(xì)線(xiàn)和筆芯一定有交點(diǎn)？

答：略。

問(wèn)題4 上述結(jié)論怎樣用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示？

答：略。

問(wèn)題5 利用函數(shù)f（x）=23x3+12x2-2x+1的圖象，考查你自己總結(jié)的結(jié)論正確嗎？

老師用幾何畫(huà)板演示（略）。

師：至此，我們可以確定剛才的結(jié)論是正確的，這正是函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理：

若函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的圖象是一條不間斷的曲線(xiàn)，并且f（a）f（b）<0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上有零點(diǎn)。

請(qǐng)大家思考：

（1） 若函數(shù)在區(qū)間（a，b）有零點(diǎn)，是幾個(gè)？

（2） 如果函數(shù)是一條間斷的曲線(xiàn)，結(jié)論如何？

（3） 如果f（a）f（b）>0，結(jié)論如何？

（4） 定理的結(jié)論與條件反過(guò)來(lái)成立嗎？

（5） 有位同學(xué)畫(huà)了如圖2所示的圖形，認(rèn)為上述“定理”不成立，你同意這種觀點(diǎn)嗎？

討論（略）。

作者簡(jiǎn)介：

張錦成，江蘇省蘇州市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校。endprint