梁素芬

[摘 要] 結(jié)合了物理運(yùn)動(dòng)知識(shí)的幾何問(wèn)題是近幾年的中考熱點(diǎn)題型，對(duì)于該類問(wèn)題，要從動(dòng)態(tài)幾何的角度來(lái)分析，理解運(yùn)動(dòng)軌跡與幾何線段的聯(lián)系，有效結(jié)合物理運(yùn)動(dòng)知識(shí)建立幾何元素與運(yùn)動(dòng)參數(shù)的關(guān)系，充分利用幾何性質(zhì)分析問(wèn)題.

[關(guān)鍵詞] 運(yùn)動(dòng)問(wèn)題；動(dòng)點(diǎn)軌跡；幾何問(wèn)題；幾何性質(zhì)；轉(zhuǎn)化思想

隨著課改的推進(jìn)，學(xué)科間知識(shí)的融合成為必然趨勢(shì)，同時(shí)中考命題也向著學(xué)科結(jié)合的方向發(fā)展，其中滲透了物理運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)的幾何問(wèn)題成為近年來(lái)中考的熱點(diǎn)題型，主要從運(yùn)動(dòng)角度來(lái)考查學(xué)生幾何知識(shí)的掌握情況，對(duì)于該類問(wèn)題，要充分理解物體的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，有效結(jié)合幾何性質(zhì)解題.

真題解析，試題點(diǎn)評(píng)

1. 真題呈現(xiàn)

（2017年廣州卷第24題）如圖1所示，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，△COD關(guān)于CD的對(duì)稱圖形為△CED.

（1）略；

（2）連接AE，如果AB=6 cm，BC=■cm.

①略；②如果點(diǎn)P是線段AE上一個(gè)不與點(diǎn)A重合的動(dòng)點(diǎn)，連接OP，一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以1 cm/s的速度沿線段OP勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P，然后以1.5 cm/s的速度沿著線段PA勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，到達(dá)點(diǎn)A后停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q沿上述路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A所用時(shí)間最短時(shí)，求AP的長(zhǎng)和點(diǎn)Q走完全程所需要的時(shí)間.

2. 試題解析

分析 （2）②該問(wèn)題為典型的結(jié)合了物理運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的數(shù)學(xué)問(wèn)題，剔除無(wú)關(guān)線段后的部分如圖2所示，兩個(gè)定點(diǎn)A，O和直線AE，問(wèn)題簡(jiǎn)化為從點(diǎn)O出發(fā)經(jīng)過(guò)AE上某一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)A，使整個(gè)運(yùn)動(dòng)路徑最短. 解決該問(wèn)題可以采用等效法，假設(shè)到達(dá)了AE上的點(diǎn)P，則路徑為OP+PA，t=■+■，將■轉(zhuǎn)化為某一條邊長(zhǎng)，再利用兩點(diǎn)之間直線最短即可.

解答 （2）②設(shè)經(jīng)過(guò)了AE上的點(diǎn)P，則s=OP+PA，時(shí)間t=■+■. 如圖3，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AD，垂足為點(diǎn)H，使得sin∠EAD=■. 易知sin∠EAD=■，則PH=■，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間等效為OP+PH，當(dāng)O，P，H三點(diǎn)共線時(shí)時(shí)間最短. 則只需過(guò)點(diǎn)O作EF⊥AB即可，OH=■AB=3，則時(shí)間為3 s，AP=■AE=■.

3. 試題點(diǎn)評(píng)

本題目為結(jié)合了物理運(yùn)動(dòng)知識(shí)的數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題，主要考查學(xué)生對(duì)于幾何知識(shí)的掌握以及數(shù)學(xué)思維能力. 上述求解過(guò)程準(zhǔn)確把握動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)軌跡，結(jié)合物理運(yùn)動(dòng)知識(shí)將時(shí)間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與線段相關(guān)的問(wèn)題，然后利用幾何性質(zhì)來(lái)求解. 解題的核心思想是：理解動(dòng)點(diǎn)軌跡即幾何線段的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的幾何轉(zhuǎn)化，建立運(yùn)動(dòng)參數(shù)與幾何線段的關(guān)系. 該解題思路可以應(yīng)用于結(jié)合了物理運(yùn)動(dòng)知識(shí)的幾何問(wèn)題，即將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)閹缀尉€段問(wèn)題，再利用幾何知識(shí)求解.

試題銜接，思路解析

結(jié)合了物理運(yùn)動(dòng)知識(shí)的幾何問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題，動(dòng)點(diǎn)軌跡可以轉(zhuǎn)化為包含時(shí)間參數(shù)的幾何線段. 動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的考查形式多樣，例如求面積、幾何形狀、最值等，都可以將其歸結(jié)為求解幾何線段的問(wèn)題，求解的思路也是建立運(yùn)動(dòng)參數(shù)與線段的關(guān)系，結(jié)合幾何性質(zhì)針對(duì)性分析.

試題1 （2015年浙江衢州卷第24題）如圖4所示，在△ABC中，AB=5，AC=9，S■=■，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿射線AB方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，以相同的速度在線段AC上由C向A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng). 以PQ為邊作正方形PQEF（P，Q，E，F(xiàn)按逆時(shí)針排序），以CQ為邊在AC上方作正方形QCGH.

（1）求tan A的值；

（2）假設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，正方形PQEF的面積為S，S是否存在最小值？如果存在，請(qǐng)求出S的最小值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 （1）略；（2）求正方形PQEF的面積，可將其表示為S■=PQ2，則問(wèn)題的關(guān)鍵轉(zhuǎn)換為求邊長(zhǎng)PQ，過(guò)P作PN⊥AC，將其放在直角三角形中來(lái)求，P，Q均為動(dòng)點(diǎn)，則只需要建立PQ關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)即可，面積為關(guān)于時(shí)間t的二次函數(shù)，是否存在最小值則需要分析在定義域t內(nèi)的最值，從函數(shù)角度分析.

解答 （1）略；（2）過(guò)點(diǎn)P作PN⊥AC，垂足為N，如圖5，S■=PQ2，則PQ2=NP2+NQ2，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，AP=5t，PN=3t，AN=4t，所以QN=9-9t，則S■=90t-■2+■0≤t≤■，則面積S是關(guān)于t的二次函數(shù)，只需求函數(shù)的最小值即可，分析可知當(dāng)t=■時(shí)，可得最小值S■=■.

試題2 如圖6所示，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，沿C→A→B方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B后立即原路返回. 如果P，Q同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，相遇后都立即停止，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒.

（1）略；

（2）點(diǎn)P從B運(yùn)動(dòng)到C的過(guò)程中，t為何值時(shí)，△PCQ為等腰三角形？

分析 （2）要求△PCQ為等腰三角形，則頂點(diǎn)可以為C，邊CP=CQ；也可以頂點(diǎn)為Q在AB上，邊PQ=CQ. 對(duì)于第二種情況可以利用三角形相似，用時(shí)間參數(shù)t表示出BE，CE，然后結(jié)合三角形腰相等來(lái)求出時(shí)間t.

解答 （2）△ABC為直角三角形，利用勾股定理可得AC=4.

①當(dāng)點(diǎn)Q在CA上，△PCQ為等腰三角形時(shí)，CP=CQ，則3-t=2t，解得t=1.

②當(dāng)點(diǎn)Q在AB上，△PCQ為等腰三角形時(shí)，PQ=CQ，CP=3-t，AQ=2t-4，BQ=9-2t，作QE⊥BC，垂足為E，則CE=■-■t，△BQE～△BAC，則■=■，即BE=■（9-2t），CE=■t-■，則■-■t=■t-■，解得t=■.

上述幾何問(wèn)題都結(jié)合了物理的運(yùn)動(dòng)知識(shí)，即速度與時(shí)間，求解的主體思路也是轉(zhuǎn)化問(wèn)題，建立幾何元素與運(yùn)動(dòng)參數(shù)的關(guān)系，利用幾何特性來(lái)求解. 試題1求面積最值，利用面積公式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為分析動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題，利用運(yùn)動(dòng)知識(shí)建立幾何面積關(guān)于時(shí)間t的關(guān)系式，通過(guò)函數(shù)分析求解. 試題2則是利用等腰三角形腰相等的特性，轉(zhuǎn)化為求幾何線段問(wèn)題，然后利用時(shí)間t與線段的關(guān)系求解. 運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的幾何轉(zhuǎn)化是實(shí)現(xiàn)求解的有效途徑，通過(guò)轉(zhuǎn)化可實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問(wèn)題的具體化、形象化、簡(jiǎn)單化.

解后反思，教學(xué)思考

1. 學(xué)科融合，本質(zhì)認(rèn)識(shí)

中學(xué)學(xué)科都不是獨(dú)立存在的，各科之間是相互關(guān)聯(lián)、相互滲透、共同發(fā)展的，例如涉及物理運(yùn)動(dòng)學(xué)的幾何知識(shí)，解題的思路也應(yīng)該從運(yùn)動(dòng)角度來(lái)理解變化，然后結(jié)合數(shù)學(xué)幾何來(lái)理解軌跡. 因此數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程要注重學(xué)科之間的滲透融合，理解知識(shí)的本質(zhì)，強(qiáng)調(diào)知識(shí)之間的聯(lián)系，用融合發(fā)展的眼光看待數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程. 在教學(xué)中教師有必要對(duì)數(shù)學(xué)中的物理問(wèn)題進(jìn)行針對(duì)性講解，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)和物理兩方面理解問(wèn)題，從而增強(qiáng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的認(rèn)識(shí).

2. 還原課本，變式學(xué)習(xí)

結(jié)合了物理運(yùn)動(dòng)知識(shí)的幾何壓軸題其本質(zhì)上是幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，也完全遵從教材習(xí)題變式設(shè)計(jì)思想，充分結(jié)合幾何基礎(chǔ)知識(shí)，問(wèn)題的設(shè)計(jì)也是對(duì)學(xué)生相對(duì)熟悉的習(xí)題進(jìn)行引申. 因此，在教學(xué)中教師授課也應(yīng)該依綱靠本，注重課本重點(diǎn)知識(shí)的講解，對(duì)于教材中的核心概念要進(jìn)行具體、有針對(duì)性地講解，不可抽象、簡(jiǎn)單地講解，造成學(xué)生理解的障礙. 對(duì)于復(fù)習(xí)課要摒棄機(jī)械的題海訓(xùn)練，要充分把握教材的核心功能，充分利用教材習(xí)題，開展變式拓展教學(xué)，初步培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.

3. 注重思維，學(xué)習(xí)思想

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)注重思維的過(guò)程，在思維過(guò)程中產(chǎn)生的思想方法是學(xué)生對(duì)知識(shí)和方法形成的理性認(rèn)識(shí)，這才是學(xué)習(xí)的重點(diǎn). 對(duì)于幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，其中的轉(zhuǎn)化思想是學(xué)習(xí)的重點(diǎn). 只有準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)思想，才能從本質(zhì)上提升解題能力. 因此，教師在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生深刻體會(huì)習(xí)題中的思想方法，并對(duì)其進(jìn)行總結(jié)概括，強(qiáng)化滲透，開展拓展訓(xùn)練，逐步培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題的意識(shí)，形成解題思維.

寫在最后

關(guān)于結(jié)合了物理運(yùn)動(dòng)學(xué)的幾何問(wèn)題，要充分認(rèn)識(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡特性，建立其運(yùn)動(dòng)的幾何模型，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的幾何轉(zhuǎn)化，有效利用幾何性質(zhì)來(lái)分析求解. 在教學(xué)中教師要重視學(xué)科間的結(jié)合點(diǎn)，幫助學(xué)生充分認(rèn)識(shí)知識(shí)的本質(zhì)聯(lián)系；將問(wèn)題還原到課本習(xí)題，開展變式教學(xué)；注重學(xué)生的思維過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)的思想方法.endprint