李織蘭+劉丹

【摘要】本文結合《圓的周長》一課的教學片段論述教師在教學過程中可能出現(xiàn)沒有注意培養(yǎng)學生的“四能”、使用教材時脫離“四基”等問題，論述教師可通過運用類比教學方法、提出問題并解決問題、親手實驗探索并歸納規(guī)律開展教學，從而提高學生的推理能力，讓學生感受到生活中的變與不變，感悟數學中的守恒美。

【關鍵詞】小學數學 《圓的周長》 磨課 變與不變

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）12A-0082-03

最近我們有幸在“桂林市農村小學全科教師專業(yè)發(fā)展論壇”教研活動中展示人教版《圓的周長》一課。磨課階段，“推導圓的周長公式”這一教學片段試教的效果與之前的預設有相當一段距離，我們仔細推敲后發(fā)現(xiàn)教師有很多細節(jié)沒有處理好。于是，我們認真解讀課標，深入鉆研教材，提煉思想方法，滲透數學文化，對一些細節(jié)進行改善，“一課多磨”，展示課終取得了良好的教學效果，獲得參加論壇的專家和教師的好評。作為執(zhí)教老師的指導教師，筆者現(xiàn)將磨課過程整理如下。

我們進行的磨課的過程如下所示：

[原行為階段]

師：我們已經知道正方形的周長與它的邊長有關，正方形的周長是邊長的4倍，圓的周長是否也與圓內某線段長有關系呢？

（教師用多媒體演示：以三條不同長度的線段為直徑，分別畫出三個大小不同的圓。然后把這三個圓同時滾動一周，得到了三條線段的長分別就是三個圓的周長）

師：同學們看，圓的直徑越短，圓的周長也就？（生：越短）圓的直徑越長，圓的周長也就？（生：越長）這就說明圓的周長肯定與圓的什么有關系？

生：圓的周長與直徑有關系。（屏幕顯示這句話）

師：圓的周長與直徑到底有什么關系呢？這個問題要同學們自己去發(fā)現(xiàn)。現(xiàn)在請同桌分工合作，測量一個圓片的直徑和周長并計算出這個圓片的周長除以直徑所得的商，得數保留兩位小數，把數據填寫在相應的表格中。

（學生測量、計算、填表）

師：請每一個小組依次派一位同學匯報你們的數據。（生報數、師填表）

師：觀察大家匯報的數據，同學們發(fā)現(xiàn)了什么嗎？

生：每個圓的周長是它的直徑的3倍多一些。

師：這就說明圓的周長除以直徑的商肯定是有規(guī)律的。在我們所測量的這些圓中，每一個圓的周長都是它直徑的3倍多一些。再看屏幕上這三個圓的周長與直徑的關系怎樣呢？（教師用多媒體演示：用每個圓的周長分別除以它們的直徑，引導學生觀察，發(fā)現(xiàn)每個圓的周長分別是它直徑的3倍多一些。）

師：同學們，由于測量誤差的原因，計算不同的圓的周長與直徑的比值可能不完全相同，但實際上，這個比值是一個固定不變的數，通常我們稱之為“圓周率”，用希臘字母“π”來表示，π是一個無限不循環(huán)小數，為了計算方便，一般我們只取它的近似值，π≈3.14。（板書：圓周率，π≈3.14）

師：剛才我們已經知道了圓的周長始終是直徑的π倍，如果已知直徑，怎樣求圓的周長呢？

生：圓的周長=直徑×圓周率。（板書：圓的周長=直徑×圓周率）

師：你能用字母表示圓的周長計算公式嗎？

生：C=πd。（板書公式：C=πd）

師：如果已知半徑呢？

生：C=2πr。（板書公式：C=2πr）

師：為什么呢？

生：因為同一圓的直徑是它半徑的2倍。

[反思與診斷]

這節(jié)課教師利用了學生已有的關于圓的某些特性的經驗，設計“猜想—驗證”環(huán)節(jié)，讓學生動手動腦、計算思考，從而驗證結論，發(fā)揮了學生的主體性。學生通過學習這部分內容，掌握了測量圓的周長、直徑的方法，學會計算圓的周長等基礎知識。

我們課后訪談發(fā)現(xiàn)，學生對圓周率的認識太膚淺、不深刻，反映出教師的教學有以下一些不足：

（一）沒有從培養(yǎng)“四能”來設計教學活動。這個教學片段中，教師讓學生通過測量周長及直徑長度來驗證圓的周長與直徑的關系，學生只是在“命令—操作”中學習圓周率，在老師的要求下充當了一回“操作工”。學生并不理解為什么要研究“圓的周長與直徑的比值是一個固定不變的數”，研究它有什么用處……這只是教師布置給學生的“任務”，即課堂帶給學生的感受是“要我做”。愛因斯坦曾經說過：“發(fā)現(xiàn)問題比解決問題更重要?！币虼?，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力，變“要我做”為“我要做”是課堂教學應該達到的目標之一。

（二）沒有著眼于落實“四基”來使用教材。教師采用機械的方式呈現(xiàn)教材，在“猜想—驗證”的環(huán)節(jié)，學生沒有體會到“測算不同的圓的周長及直徑長度比值”“填數據表”的意圖，不明白從數據表中找到“任意圓的周長與直徑的比值是固定不變的常數”的規(guī)律就是歸納法；學生沒有將“不同的圓”與“變化中的圓”聯(lián)系起來，更加感悟不到“不管圓千變萬化，它的周長與直徑的比值永遠是一個固定不變的常數”中蘊含的“變化中的不變”的數學思想以及科學中的“守恒之美”。如何讓學生感悟數學的基本思想與方法，積累活動經驗呢？怎樣進行教學才能讓學生從教師的類比、歸納等方法得到數學方法的熏陶？

（三）實驗結果和學生的已有經驗很難解釋“任意圓的周長與直徑的比值是固定不變的常數”，如何幫助學生認識到“圓的周長與直徑的比值是固定不變的常數”對“每一個圓、所有的圓、任意的圓”都成立呢？

（四）沒有挖掘數學文化的功能，沒有較好地實現(xiàn)無形的數學文化與有形的知識技能的完美結合。

經過議課，我們達成如下共識：

本節(jié)課需要完成的基本教學任務之一是認識圓周率是“一個固定不變的數”，理解已知圓的直徑（或半徑）就能計算圓的周長，從而推導圓的周長計算公式。通過對不同圓形物品的周長與直徑的測量及比值的計算，發(fā)現(xiàn)千變萬化的圓的周長與其直徑的比是一個固定不變的數的規(guī)律，進而推導出圓的周長公式，在這個過程中，學生學會用實驗歸納的方法探究數學規(guī)律，領悟變化中的不變就是規(guī)律，發(fā)現(xiàn)并欣賞到數學中“變化中的不變”帶來的“守恒”之美。endprint

我們可以采用動態(tài)幾何工具“幾何畫板”改變圓的大小和位置，讓學生看到“千變萬化的圓”，觀察到“圓的周長與直徑的比值”是不變的。

[新行為階段]

1.類比搭橋，問題鋪路

（教師用多媒體演示：在幾何畫板上作一個動態(tài)的正方形，測量其周長與邊長，計算其周長與邊長的比值，拖動正方形的各個頂點并重復上述測算）

師：什么在變？（生：正方形的大小和位置都發(fā)生了變化）什么不變？（生：正方形的周長與邊長的比值沒有變化，它恒等于4）無論正方形怎么變，它的周長始終是它的邊長的4倍，從而得到正方形的周長公式：正方形的周長=邊長×4。

（教師用多媒體演示：在幾何畫板上作一個動態(tài)的長方形，測量其周長、長與寬，計算其周長與長的比值，周長與寬的比值，拖動長方形的各個頂點并重復上述測算）

師：什么在變？（生：長方形的大小、長寬和位置發(fā)生了變化，長方形的周長與長的比值、長方形的周長與寬的比值也在變化）那么只知道長方形的長或寬，能計算出周長嗎？（生：不能）再計算長方形的周長與長加寬的和的比值，觀察得出該比值恒等于2，從而我們有公式：長方形的周長=（長+寬）×2。

師：“變化中的不變”就是規(guī)律，找到了這樣的規(guī)律，就能發(fā)現(xiàn)公式、法則、性質；尋找不變量不僅是數學研究的任務，還是科學研究和社會研究的任務；“變化中的不變”也是守恒，守恒是一種美麗，這節(jié)課我們也要去發(fā)現(xiàn)和欣賞這種數學之美。

師：我們現(xiàn)在的任務是尋求一個計算圓的周長的方法。我們應該先研究什么問題？

生：正方形的周長總是它邊長的4 倍，我們要研究圓的周長與直徑是否存在這樣的倍數關系，這樣我們就可以根據直徑計算出圓的周長，從而可以得到圓的周長計算公式。

生：我覺得千變萬化的圓，圓的周長與直徑的比值應該是一個不變的數。

師：我們如何來驗證你的猜想呢？

[評析]

歐拉曾說：“類比是偉大的引路人?！币簿褪钦f，類比可看成一種富有啟發(fā)性的科學猜想方法。在教學中，教師應有針對性、有意識地根據教學內容挖掘教材中的圓周率的概念、圓的周長公式蘊含的類比思想方法，精心策劃，巧妙而深刻地類比搭橋，引導學生發(fā)現(xiàn)和提出數學問題，有意識地培養(yǎng)學生提出數學問題的能力。

數學中到處都是變與不變的矛盾統(tǒng)一。數學研究變化，卻以找到其中的不變性作為歸宿，尋求數學中無處不在的不變性質從而發(fā)現(xiàn)數學規(guī)律，是把握數學的關鍵之一。在紛繁的變化中，我們把握其中的不變量和不變性質，領略不變量和不變性的內在魅力，感受“守恒”的數學之美，顯示數學智慧之光。

2.實驗歸納，探索規(guī)律

師：現(xiàn)在請同桌分工合作，每位同學測量一個圓片物品的直徑與周長，并計算出該圓片的周長除以直徑所得的商，得數保留兩位小數，并把數據填寫在相應的表格中。

（學生測量、計算、填表）

師：請四位同學依次匯報一下你們的數據。

（生報數、師填表）

師：觀察他們匯報的數據，同學們發(fā)現(xiàn)了什么嗎？

生：他們的商都是三點一幾。

師：也就是每個圓的周長大約是它直徑的3倍多一些。其他小組你們每個圓的周長與直徑的關系也是這樣嗎？四人小組相互交流一下。

（生小組交流）

師：每組選派一名代表匯報一下，你們測量的圓的周長與直徑的關系怎樣。

生1：我們這個小組每個圓的周長也是直徑的3倍多一些。

生2：我們這個小組圓的周長與直徑的關系也是這樣。

……

師：凡是通過測量計算發(fā)現(xiàn)你的圓的周長是直徑的3倍多一些的同學請舉手。

（大多數學生舉起了手）

師：通過對不同圓形物品的周長與直徑的測量、周長與直徑的比值的計算，在我們所測量的這些圓中，這些圓是不同的、變化的，但是圓的周長都是它直徑的3倍多一些。

師：如果再換成其他的圓來度量或者計算的話，同學們還會發(fā)現(xiàn)，圓的周長還是它直徑的3倍多一些。我們可以用歸納的方法來概括圓周長與直徑的關系嗎？

生：圓的周長也是它直徑的3倍多一些。

師：同學們，由于測量誤差的原因，計算不同的圓的周長與直徑的比值可能不完全相同。看看屏幕上這個圓的周長與直徑的關系是怎樣的。

（教師用多媒體演示：在幾何畫板上作一個動態(tài)的圓，測量圓的直徑和周長，計算其周長與直徑的比值，精確到百分位，變化圓的大小和位置，引導學生觀察，千變萬化的圓，它的周長都是它直徑的3.14倍）

師：不管是大圓還是小圓，不管圓在什么位置，每一個圓的周長和這個圓的直徑的比值都是一個固定不變的數，我們通常稱之為“圓周率”，用希臘字母“π”來表示，“π”是一個無限不循環(huán)小數，為了計算方便，一般我們只取它的近似值，π≈3.14。（板書：圓周率，π≈3.14）

師：2 400多年前，我國著名思想家墨子寫了這么一句話：大圓之圓與小圓之圓同。通過今天的學習，你對圓又有了哪些新的認識？現(xiàn)在再來看“大圓之圓與小圓之圓同”這句話，這個“同”字還指什么相同？

生：不管是大圓還是小圓，圓周率都相同。

師：我們千方百計地研究圓周率，那么這個圓周率到底有什么用呢？

生：知道圓周率，就可以計算出圓的周長。

師：你的意思是，只要知道圓周率就能計算圓的周長，不需要其他條件了？

生：不是，還要知道圓的直徑或半徑。

師：知道直徑怎樣求圓的周長？知道半徑呢？

生1：因為圓周率是周長除以直徑的商，所以圓周率與直徑相乘的積就是圓的周長。（板書：圓的周長=直徑×圓周率）

師：你能用字母表示圓的周長計算公式嗎？

生1：C=πd。（板書公式：C=πd）

生2：因為同一個圓里，直徑是半徑的2倍，所以把圓周率與半徑的2倍相乘也能得到圓的周長。（板書公式：C=2πr）

[評析]

《義務教育數學課程標準》（2011版）把推理能力作為十個核心概念之一，它指出“推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果……合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結論”。從小學三年級開始，教材有計劃地在每冊各編排一個“探索規(guī)律”的專題活動，有利于學生養(yǎng)成良好的思維習慣，從而培養(yǎng)孩子的合情推理能力。推理能力的形成不是學生“懂”了，也不是學生“會”了，而是學生自己“悟”出了道理、規(guī)律和思考方法，這種“悟”只有在數學活動中才能得以進行。

在本教學片段中，教師組織、引導學生經歷猜想、實驗、驗證、歸納、概括等數學活動過程，進一步體會由具體到抽象、由特殊到一般的歸納方法，感悟數學思想，積累了探索規(guī)律的經驗，凸顯了探索規(guī)律的教學價值。

總之，我們基于培養(yǎng)學生全面發(fā)展的核心素養(yǎng)的教學理念，對本節(jié)課的幾個細節(jié)進行改善，力求把小事做精、把細節(jié)做亮，細節(jié)成就精彩：

精彩1：挖掘教材中的圓周率的概念、圓的周長公式蘊含的思想方法，精心策劃，巧妙而深刻地類比搭橋，引導學生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，培養(yǎng)學生“善問”的能力，增強學生的“創(chuàng)新意識”。

精彩2：尋求數學中無處不在的不變性質，發(fā)現(xiàn)數學規(guī)律。領略不變量和不變性的內在魅力，欣賞“守恒”的數學之美。滲透數學文化，實現(xiàn)情感目標。

精彩3：通過對不同圓形物品的周長與直徑的測量及比值的計算，發(fā)現(xiàn)千變萬化的圓的周長與其直徑的比是一個固定不變的數的規(guī)律。學生在探究規(guī)律的過程中，進一步體會由具體到抽象、由特殊到一般的歸納方法，感悟歸納思想，積累探索“變化中的不變”規(guī)律的經驗，凸顯了探索規(guī)律的教學價值。

精彩4：充分地揭示圓周率的發(fā)展過程和本質，使學生確切地理解圓周率是一個“常數”，欣賞“常數”之美，體會“常數”之用。

（責編 劉小瑗）endprint