鄭婧　朱達(dá)

摘要：本文主要利用高等代數(shù)中線性變換的知識(shí)，通過求導(dǎo)變換的逆變換求解不定積分。

關(guān)鍵詞：線性變換求導(dǎo)運(yùn)算；逆矩陣；不定積分

假設(shè)S是V的一個(gè)有限維子空間，且對(duì)求導(dǎo)運(yùn)算封閉，即若f（x）∈S，則f′（x）∈S。

f1（x），f2（x），…，fn（x）是S的一組基，線性變換D在該基下的矩陣為A，則D的逆變換在該基下的矩陣為A-1，通過A-1，我們就可以求得S中某個(gè)函數(shù)的不定積分。下面我們將通過一個(gè)例子來了解這種方法。

例計(jì)算∫xnsinddx.

設(shè)S=L（xnsinx，xn-1sinx，…，sinx，xncosx，xn-1cosx，…，cosx），很顯然，S對(duì)求導(dǎo)運(yùn)算D封閉，xnsinx，xn-1sinx，…，sinx，xncosx，xn-1cosx，…，cosx線性無關(guān)，它們構(gòu)成了S的一組基，D在該基下的矩陣A-NE-EN其中E為n+1階單位矩陣，N=（ne2，（n-1）e3，…，2en，en+1，0），ei表示第i行等于1，其余行等于0的列向量。

對(duì)A進(jìn)行初等行和列變換，可得到新的矩陣A′=N+EE-2EN-E，A的行列式值與A′的行列式值相同，det（A）=det（A′）=|N2+E|=1，所以A為可逆矩陣。

設(shè)A-1=X1X3X2X4

，通過計(jì)算可解得A-1=

（N2+E）-1N-（N2+E）-1

（N2+E）-1（N2+E）-1N，設(shè)

（N2+E）-1=（α1，α2，…，αn+1），則

（N2+E）-1N=（nα2，（n-1）α3，…，αn+1，0），要求∫xnsinx的不定積分，只需求得A-1的第1列，所以我們只要求出

（nαT2，-αT1）T即可，即算出（N2+E）-1的第1列和第2列。

以n是偶數(shù)為例，此時(shí)可解得

我們可以看到，在此例中，如果用通常求不定積分的方法，當(dāng)n比較大時(shí)，計(jì)算起來就比較麻煩，且易出錯(cuò)，但利用上面的方法，再借助于matlab軟件，我們便可以很快得到計(jì)算結(jié)果，因此，用矩陣的逆求解不定積分在一些情況下是十分具有優(yōu)勢(shì)的。

參考文獻(xiàn)：

[1]邱森，朱林生.高等代數(shù)探究性課題精編[M].武漢大學(xué)出版社，2012.

[2]丘維聲.高等代數(shù)（下冊(cè)）[M].清華大學(xué)出版社，2010.

作者簡介：鄭婧，江蘇省南京市，南京林業(yè)大學(xué)理學(xué)院信息與計(jì)算科學(xué)系；

朱達(dá)，江蘇省南京市，南京林業(yè)大學(xué)理學(xué)院材料化學(xué)系。endprint