呂兆勇

[摘? 要] 本文通過“平面向量的數(shù)量積”這一課例，詳細(xì)說明了數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，在充分尊重學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)上，“以問題為主線、以體系為依托、以學(xué)生為主體、以討論為引導(dǎo)”培養(yǎng)學(xué)生“四基”能力，并進(jìn)行了有益的探索和嘗試.

[關(guān)鍵詞] “四基”;平面向量的數(shù)量積;知識框架;自主構(gòu)建

在《2017年江蘇省高考說明》數(shù)學(xué)科目中的數(shù)學(xué)高考試卷命題指導(dǎo)思想中，明確提出要“突出數(shù)學(xué)基本知識、基本技能、基本思想方法的考查”“重視數(shù)學(xué)基本能力和綜合能力的考查”以及“既考查中學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識和方法，又考查考生進(jìn)入高等學(xué)校繼續(xù)學(xué)習(xí)所需要的基本能力”.

其中的基本知識、基本技能、基本思想方法以及進(jìn)入高等學(xué)校繼續(xù)學(xué)習(xí)所需要的基本能力，就是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》課程目標(biāo)明確的“四基”，即基本知識、基本技能、基本思想方法以及基本活動經(jīng)驗(yàn). 基礎(chǔ)知識、基本技能是學(xué)生掌握高中數(shù)學(xué)的兩個重要基礎(chǔ)，但學(xué)生只有基礎(chǔ)知識、基本技能是不夠的，學(xué)生還要學(xué)會思考，還要去經(jīng)歷，還要有體驗(yàn)，而基本思想和基本活動經(jīng)驗(yàn)，是在基本知識、基本技能的基礎(chǔ)上發(fā)展而依存的，其實(shí)質(zhì)就是讓學(xué)生學(xué)會進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考. 從以前的“雙基”（即基本知識、基本技能）到現(xiàn)行的“四基”的變化是對教師教學(xué)效果的一個顯性目標(biāo)到隱性目標(biāo)的一次跨越，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的必然趨勢.

筆者從“四基”要求出發(fā)，本著提高學(xué)生的多維學(xué)習(xí)能力、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)理念，精心設(shè)計(jì)了“平面向量的數(shù)量積”一課，供讀者討論.

對教學(xué)內(nèi)容的基本認(rèn)識

《平面向量的數(shù)量積》是蘇教版必修4第2章第4節(jié)內(nèi)容. 在教材配套的《高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書》中介紹了本章編寫意圖及教學(xué)建議，其中有這樣的敘述：“本章首先根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)豐富的情境，從大量的實(shí)際背景中抽象出向量的概念（數(shù)學(xué)模型），然后用數(shù)學(xué)的方法研究向量及其運(yùn)算的性質(zhì)，最后再運(yùn)用數(shù)學(xué)模型去解決實(shí)際問題，這樣處理體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生和發(fā)展過程，突出了數(shù)學(xué)的來龍去脈，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，形成對數(shù)學(xué)完整的認(rèn)識，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和理性思維的目的，同時也有助于數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的發(fā)展.”

教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 基于學(xué)生基本活動經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)問題情境，實(shí)現(xiàn)知識合理遷移

基本活動經(jīng)驗(yàn)是在學(xué)生參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的活動中積累起來的，數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)的積累是一個長期的過程，不能指望一兩次活動就能完成.因此，應(yīng)當(dāng)把活動經(jīng)驗(yàn)的積累看作是一個長遠(yuǎn)的目標(biāo)，教師要結(jié)合不同學(xué)段學(xué)生的發(fā)展和學(xué)習(xí)內(nèi)容，用具有連續(xù)性的例子，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，持續(xù)不斷地參與數(shù)學(xué)探究的過程，逐步形成數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，為后面的學(xué)習(xí)積累一定的研究問題的基本思想和基本方法.

情境：

問題1：請同學(xué)們回顧一下，我們研究向量的背景及研究了向量的哪些內(nèi)容.

預(yù)設(shè)：其中研究了向量的哪些運(yùn)算？（向量的加法、減法、數(shù)乘）

問題2：以上的運(yùn)算是向量與向量之間的加、減法以及實(shí)數(shù)與向量的運(yùn)算，那么向量與向量還可以進(jìn)行什么樣的運(yùn)算？你接觸過這樣的運(yùn)算嗎？

預(yù)設(shè)：（從我們研究向量的實(shí)際情境出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生回歸物理力學(xué)中矢量與矢量之間還有哪些運(yùn)算）我們是如何來研究向量的加法運(yùn)算的？物理中有沒有兩個向量的其他運(yùn)算形式出現(xiàn)？

問題3：物體在光滑的水平面上，在力F作用下物體發(fā)生了位移s（力F與位移s方向上的夾角為θ），那么該力對物體所做的功為多少？

問題4：物理力學(xué)中是怎么樣定義功的？（力對物體所做的功，等于力的大小、位移的大小、力與位移夾角的余弦這三者的乘積：W=Fscosθ）

問題5：這兩個矢量之間的運(yùn)算是一種區(qū)別于向量的加法與減法的運(yùn)算，那我們就有必要重新定義這種運(yùn)算，如何定義？

設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生的基本活動經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，用了與向量的加法、減法一脈相承的物理中的問題情境，結(jié)合學(xué)生的已有認(rèn)知，創(chuàng)設(shè)適合學(xué)生思維發(fā)展的問題串，使學(xué)生在已有活動經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)的支撐下，類比得到新的研究內(nèi)容，形成研究此類問題的基本思想和基本方法.

2. 基于數(shù)學(xué)基本思想方法，研究概念的生成過程，建構(gòu)數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)基本思想指的是“數(shù)學(xué)抽象的思想”“數(shù)學(xué)推理的思想”以及“數(shù)學(xué)模型的思想”. 數(shù)學(xué)中的許多版塊內(nèi)容都是在這些基本思想的指導(dǎo)下進(jìn)行編寫的. 教師在教學(xué)中要把這些思想貫穿始終，并對這些思想進(jìn)行有意識的提煉和培養(yǎng).

問題6：這里的F和s都是兩個既有大小又有方向的量，W=Fscosθ，這樣寫合適嗎？

（生：應(yīng)該再把其改為W=Fscosθ就比較合適了）

設(shè)計(jì)意圖：通過以上的問題，使學(xué)生通過感受、觀察、反思、抽象、概括等這樣的數(shù)學(xué)基本技能，體會到向量的數(shù)量積可以通過實(shí)數(shù)的運(yùn)算得到體現(xiàn).

問題7：從向量的運(yùn)算角度看，這個結(jié)論可以用向量的運(yùn)算方式表示出來嗎？

（請同學(xué)們考慮一下后，得到了以下的結(jié)果，即abcosθ，即為a的模乘以b的模再乘以a與b夾角的余弦值（第一次對數(shù)量積的定義））

問題8：這樣的兩個向量之間的運(yùn)算，我們?nèi)绾蝸矶x？從特點(diǎn)入手，它與之前所學(xué)的向量的加法、減法、數(shù)乘的運(yùn)算結(jié)果上來看有什么不一樣的？

問題9：既然運(yùn)算的結(jié)果是數(shù)量，那么這個數(shù)量與哪些量有關(guān)系，其范圍是什么？

生：a的模、b的模以及a與b夾角的余弦值. a≥0，b≥0，cosθ的范圍要看a與b夾角θ的范圍是什么.

師：那么a與b夾角θ的范圍是什么？（引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論）

預(yù)設(shè)：學(xué)生活動的結(jié)果主要有以下幾種情形，所以，a與b的夾角θ∈[0，π].

問題10：這樣的定義是否合理？（①引出學(xué)生對起點(diǎn)不在同一點(diǎn)的兩個向量夾角的討論;②引出對于向量夾角中非零向量a與b夾角的要求;③引出對于零向量與其他向量夾角的討論）

生：不合理. 因?yàn)閮蓚€向量存在夾角，從角的定義來看，必須要有同一起點(diǎn)的兩條射線，即兩個向量的夾角模長必須非零. 所以要修改為：非零向量a與非零向量b的夾角θ∈[0，π].

師：那么對于0與其他向量的夾角我們?nèi)绾味x呢？請同學(xué)們試著定義一下.

預(yù)設(shè)1：0與任意向量的夾角是任意的.

預(yù)設(shè)2：0與任意向量的夾角不存在.

對兩種預(yù)設(shè)的夾角情況進(jìn)行討論，哪種更合適. 在學(xué)生沒有明確的判斷方向時，引導(dǎo)學(xué)生回到物理中，一個力的大小為0，那么其對物體所做的功的大小為0，是有具體實(shí)際意義的.抽象到數(shù)學(xué)中，也就是說0與其他向量的運(yùn)算的結(jié)果為0，仍應(yīng)該有意義，也就是說0bcosθ仍應(yīng)該可以運(yùn)算，即其夾角θ仍應(yīng)存在，故第一種定義更合理.

師：怎樣更精確地表述兩個向量的數(shù)量積的概念呢？

從而得到向量的數(shù)量積的定義. （由學(xué)生小結(jié)，逐步完善得到第二次對數(shù)量積的定義）

設(shè)計(jì)意圖：通過知識發(fā)生和發(fā)展過程的展示，使學(xué)生感受和領(lǐng)悟“數(shù)學(xué)化”過程及其思想;通過互動、探究、交流的基本數(shù)學(xué)活動方式，培養(yǎng)學(xué)生探求新知識、創(chuàng)設(shè)新概念的創(chuàng)新意識. 同時，在對實(shí)際問題抽象的過程中，培養(yǎng)學(xué)生細(xì)致、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S能力，整個過程也是積累基本抽象技能的過程.

3. 注重基本知識、基本技能訓(xùn)練，進(jìn)一步提升學(xué)生基本活動經(jīng)驗(yàn)和基本思想

基礎(chǔ)知識一般是指數(shù)學(xué)課程中所涉及的基本概念、基本性質(zhì)、基本法則、基本公式等. 基本技能包括基本的運(yùn)算、測量、繪圖等技能. 知識與技能的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)教育目標(biāo)重要組成部分，在教學(xué)中，教師要在基本知識掌握過程、基本技能的培養(yǎng)過程中，滲透和提升學(xué)生基本活動經(jīng)驗(yàn)和基本思想，實(shí)現(xiàn)新課標(biāo)下學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的螺旋上升.

辨析：判斷下列說法是否正確.

（1）兩個向量的數(shù)量積一定是實(shí)數(shù).

（2）若a·b=0，則a=0或者b=0.

（3）若a≠0，b≠0，則a·b≠0.

（4）若b≠0，a·b=b·c，則a=c.

（5）如果a·b>0，那么它們的夾角θ范圍是0°<θ<90°.

設(shè)計(jì)意圖：在新知識的建構(gòu)過程中，學(xué)生難免會有一些易混淆的知識點(diǎn)，這就需要教師通過對知識的把握，先行組織有效的概念辨析. 通過對概念的辨析，進(jìn)行難點(diǎn)的突破，帶動學(xué)生對整個概念的理解，促進(jìn)學(xué)生對基本知識的理解和掌握. 即辨析題是學(xué)生加深對概念理解的行之有效的題型.辨析題的設(shè)計(jì)也要遵循梯度原則，由淺入深.

師：現(xiàn)在我們對向量的數(shù)量積的運(yùn)算有一個基本的認(rèn)識，那接下來我們還要研究數(shù)量積運(yùn)算的什么呢？（此處如果學(xué)生無法熟練回答，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生回顧、類比向量加法的學(xué)習(xí)過程，以此進(jìn)一步明確研究新運(yùn)算的基本方法和基本思想，這也是“四基”的基本內(nèi)容之一）

預(yù)設(shè)：新的運(yùn)算引入以后，我們還要去研究哪些內(nèi)容？在我們學(xué)習(xí)向量的加法運(yùn)算的定義以后，又研究了向量加法的什么內(nèi)容？

設(shè)計(jì)意圖：通過教師對學(xué)生學(xué)情的把握，設(shè)計(jì)了一個合理的腳手架，讓學(xué)生反思以前所研究問題的基本思路，從而清楚在定義了新的運(yùn)算后，我們應(yīng)該如何進(jìn)一步深入研究運(yùn)算的哪些內(nèi)容（即兩個量的運(yùn)算，交換運(yùn)算律，以及三個量的運(yùn)算及三個量之間的結(jié)合運(yùn)算律等的基本研究思路）.

學(xué)生通過教師的適當(dāng)類比，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)研究運(yùn)算律的基本方法，建立正確的研究方向，再進(jìn)行驗(yàn)證、質(zhì)疑、總結(jié)（過程略）.

4.？搖典型例題

略.

5. 課堂回顧與小結(jié)

由學(xué)生小結(jié)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，從兩個角度（即內(nèi)容與方法）小結(jié)學(xué)到了什么，教師PPT展示.？搖

（1）認(rèn)識新的運(yùn)算的過程：定義新的運(yùn)算→新運(yùn)算的表示→關(guān)注運(yùn)算的完備性→運(yùn)算（運(yùn)算律）及性質(zhì)→應(yīng)用.

（2）平面向量數(shù)量積的定義.

設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生建構(gòu)研究問題基本框架的同時，也讓學(xué)生真切感受到基本框架的重要性，同時在基本框架的指導(dǎo)下，為深入研究向量的數(shù)量積運(yùn)算做了鋪墊.

幾點(diǎn)反思

1. 以問題為主線，架起從感性認(rèn)識到理性認(rèn)知的橋梁，凸顯基本知識，培養(yǎng)基本技能

學(xué)生學(xué)習(xí)的過程，就是新知識建構(gòu)的過程.? 但是，新知識的建構(gòu)并不是孤立的，他是在原有知識的基礎(chǔ)上“生長”出來的，教師在教學(xué)過程中，要善于發(fā)現(xiàn)新舊知識之間的區(qū)別和聯(lián)系，再把這些區(qū)別和聯(lián)系用問題引導(dǎo)，讓學(xué)生感受，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生對數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的興趣，提高學(xué)生自主研究的能力，促進(jìn)學(xué)生知識的自然生長.

課例中，在引入數(shù)量積的定義時，教師以物理背景為依托，從物理中來，在物理情境中設(shè)問，讓學(xué)生更容易抽象出數(shù)學(xué)知識.在對問題抽象的過程中，提出了“這樣的兩個向量之間的運(yùn)算，我們?nèi)绾蝸矶x？”即第一次對數(shù)量積進(jìn)行定義，但在定義過程中又遇到了一些問題，比如a與b夾角范圍的討論，教師并沒有在課上立即指出夾角范圍是[0，π]，而是通過“問題1：那么a與b夾角θ的范圍是什么？”“問題2：這樣的定義是否合理？”“問題3：那么對于0與其他向量的夾角我們?nèi)绾味x呢？請同學(xué)們試著定義一下”等問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行正確的定義. 同時，在課前，教師進(jìn)行了充分的預(yù)設(shè)，把學(xué)生可能存在的討論結(jié)果，即“預(yù)設(shè)1：0與任意向量的夾角是任意的”“預(yù)設(shè)2：0與任意向量的夾角不存在”，進(jìn)行了充分的課前思考，幫助學(xué)生構(gòu)建完整、嚴(yán)密的認(rèn)知. 對于預(yù)設(shè)中的兩個問題的討論，教師在教學(xué)中，也沒有進(jìn)行強(qiáng)硬的灌輸，而是再次引導(dǎo)學(xué)生回到物理中去，利用物理結(jié)論，讓學(xué)生感受概念定義的合理性，幫助學(xué)生構(gòu)建概念. 在這些問題完美解決以后，又引導(dǎo)學(xué)生“怎樣更精確地表述兩個向量的數(shù)量積的概念呢？”從而完成第二次對數(shù)量積的準(zhǔn)確定義.

2. 以體系為依托，讓概念的認(rèn)識過程變成概念建構(gòu)的過程，培養(yǎng)基本思想方法以及基本活動經(jīng)驗(yàn)

概念課的一個顯著特點(diǎn)就是涉及內(nèi)容關(guān)系多而雜，研究的方向在學(xué)生看來不明晰. 其實(shí)，每一個概念認(rèn)識的過程都是有一定的科學(xué)認(rèn)知規(guī)律的，要想引導(dǎo)學(xué)生能對概念研究有一個明確的方向，就需要教師在平時的教學(xué)活動中，有意識地去培養(yǎng)學(xué)生的認(rèn)知思路. 所以教師要對全章內(nèi)容，甚至是同種類型概念的研究過程有全面的把握，尋找概念生成的主線，在多次概念教學(xué)中，不斷滲透主線、體系，把主線、體系內(nèi)化為學(xué)生研究方向的再認(rèn)識，培養(yǎng)學(xué)生的基本思想方法、基本活動經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生提高自我學(xué)習(xí)的能力.

本課例中，向量的數(shù)學(xué)積引入以后，如何研究以及研究什么，這樣的問題就會擺在學(xué)生面前. 作為教學(xué)活動的先行組織者，要幫助學(xué)生搭建知識的認(rèn)知結(jié)構(gòu)框架. 本節(jié)課通過類比向量和加法、減法的認(rèn)知過程類比得到“定義新的運(yùn)算→新運(yùn)算的表示→關(guān)注運(yùn)算的完備性→運(yùn)算（運(yùn)算律）及性質(zhì)→應(yīng)用”這樣一個結(jié)構(gòu)框架，使學(xué)生在概念的理解過程中，把零碎的、孤立的知識點(diǎn)通過知識的內(nèi)在聯(lián)系形成知識體系，變成研究新知的思路，體現(xiàn)知識研究的連貫性和體系.

3. 以學(xué)生為主體，實(shí)現(xiàn)學(xué)生概念的自主建構(gòu)，讓學(xué)生的基本活動經(jīng)驗(yàn)在學(xué)習(xí)過程中有效運(yùn)用

學(xué)生的概念建構(gòu)過程，如果只有教師在不斷的“一個定義幾項(xiàng)注意”的“填鴨式”教學(xué)，那學(xué)生對概念的生成就沒有深刻的體會. 教師只有在教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣思考問題，再現(xiàn)知識的“生成”過程，以學(xué)生為主體，進(jìn)行合理的課堂預(yù)設(shè)，以問題為主線，促使學(xué)生進(jìn)行有效思考，讓學(xué)生不斷積累生成經(jīng)驗(yàn)，從而學(xué)會思考、總結(jié)，最終形成解決問題的基本技能.

本課例中的四個環(huán)節(jié)，即向量數(shù)量積的引入，向量數(shù)量積的定義，向量數(shù)量積的運(yùn)算律以及向量數(shù)量積的應(yīng)用，都從學(xué)生的已有認(rèn)知出發(fā)，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，把問題放在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，使學(xué)生有了利用已有的知識框架來認(rèn)識新知識的欲望，遇到了新的問題出現(xiàn)，如何解決，都是以學(xué)生為主體的基礎(chǔ)上進(jìn)行展開. 對于辨析，教師更要把握學(xué)情，把學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)量積的常見問題分層、逐步拋給學(xué)生，讓學(xué)生在互動、討論中體會數(shù)量積的運(yùn)算，充分發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)主觀能動性，體驗(yàn)概念的建構(gòu)過程，最終實(shí)現(xiàn)概念的自主建構(gòu).

4. 以討論為引導(dǎo)，促使學(xué)生思維更開闊、更縝密，使學(xué)生的“四基”在學(xué)習(xí)過程中融會貫通

學(xué)生之間關(guān)于新知識的討論意在培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)的參與性與學(xué)習(xí)習(xí)慣.討論模式應(yīng)是先獨(dú)立思考，在學(xué)生有充分的自我思考以后才能進(jìn)行討論，只有這樣，才能讓學(xué)生有百思而不得其解，一言以醍醐灌頂?shù)念D悟，才能讓“四基”在討論中得到鞏固、提高、升華，才能體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，真正培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和熱情.

本課例中，學(xué)生在第一次對數(shù)量積進(jìn)行定義時，教師在學(xué)生進(jìn)行了較深入思考之后，提出了“那么a與b夾角θ的范圍是什么”這個問題，讓學(xué)生進(jìn)行討論，教師對學(xué)生可能出現(xiàn)的幾種結(jié)論進(jìn)行了有效的預(yù)設(shè)，其目的就是讓學(xué)生真切感受定義中的向量必須要是非零向量，對0與其他向量的夾角以及數(shù)量積又該如何定義. 這樣的問題提出，讓課堂出現(xiàn)了一個小高潮，學(xué)生的思維在這時得到了升華，提高了學(xué)生的思維水平，培養(yǎng)了學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.在辨析題的討論中，以第（4）、（5）小題為依托，再次明確向量運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算的區(qū)別與聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維嚴(yán)密的邏輯性，充分利用自己的“四基”水平進(jìn)行研究、解決問題，讓學(xué)生更加明確了向量的數(shù)量積是怎樣一回事.

結(jié)束語

高中數(shù)學(xué)教學(xué)主要是引導(dǎo)學(xué)生要學(xué)會數(shù)學(xué)的思考問題，尋找有效研究問題的途徑. 這就需要教師在課堂上，以提升學(xué)生基本知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗(yàn)為教學(xué)目的，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 要在尊重學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，把知識的發(fā)生、發(fā)展過程充分展現(xiàn)在學(xué)生面前，調(diào)動學(xué)生自主學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的積極性，提高學(xué)生研究數(shù)學(xué)的能力，從而為實(shí)現(xiàn)學(xué)生的終生學(xué)習(xí)打下良好的知識基礎(chǔ)和能力基礎(chǔ).