王路

摘 要：數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)重要的思想方法，其實(shí)質(zhì)就是把“數(shù)”與“形”聯(lián)系起來(lái)，以形助數(shù)，以數(shù)輔形，使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象的問(wèn)題具體化，達(dá)到揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)的目的。本文結(jié)合幾道典型的題目淺談數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)集合中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；高中數(shù)學(xué)；集合；思想方法

數(shù)形結(jié)合作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的每個(gè)模塊，在新課標(biāo)下的高中數(shù)學(xué)教材中，大部分章節(jié)都滲透了這種思想，如集合、三角函數(shù)、圓錐曲線、不等式、平面幾何及立體幾何等。它可以使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象的問(wèn)題具體化?！皵?shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法可以深刻揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)。筆者認(rèn)為在教學(xué)過(guò)程中教師要在潛移默化中逐漸滲透數(shù)形結(jié)合思想方法，把“無(wú)形的”思想貫穿在“有形的”數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生才能全面發(fā)展。本文結(jié)合高中數(shù)學(xué)第一章集合模塊的知識(shí)和題型分類，談一談這種方法的靈活應(yīng)用。

一、研究意義

集合是高一新生入學(xué)學(xué)習(xí)的第一章內(nèi)容，是非?；A(chǔ)和重要的，而本章集合的學(xué)習(xí)，抽象度較高，學(xué)生理解起來(lái)較為困難。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決集合問(wèn)題，可以使集合的并、交、補(bǔ)關(guān)系直觀形象地顯示出來(lái)，并且有利于運(yùn)算。本章中數(shù)形結(jié)合主要體現(xiàn)在用Venn圖及數(shù)軸解決有關(guān)問(wèn)題。Venn圖經(jīng)常用來(lái)處理較為具體的集合問(wèn)題，即集合中的元素已經(jīng)明確標(biāo)出。而數(shù)軸用來(lái)處理以不等式表示的集合問(wèn)題，可以將兩個(gè)集合的關(guān)系標(biāo)示在數(shù)軸上，將集合之間的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為不等式之間的運(yùn)算。

二、數(shù)形結(jié)合解決集合問(wèn)題

1.利用Venn圖解決集合問(wèn)題

例1 （北師大版數(shù)學(xué)必修一習(xí)題1-3B組2）某學(xué)校先后舉辦了多個(gè)學(xué)科的實(shí)踐活動(dòng)，高一（1）班有50名同學(xué)，其中30名同學(xué)參加了數(shù)學(xué)活動(dòng)，26名同學(xué)參加了物理活動(dòng)，15名同學(xué)同時(shí)參加了數(shù)學(xué)、物理兩個(gè)學(xué)科的活動(dòng)，這個(gè)班有多少同學(xué)既沒(méi)有參加數(shù)學(xué)活動(dòng)，也沒(méi)有參加物理活動(dòng)？

解法一：參加了數(shù)學(xué)活動(dòng)沒(méi)有參加物理活動(dòng)的人數(shù)有30-15=15（人）。

參加了物理活動(dòng)沒(méi)有參加數(shù)學(xué)活動(dòng)的人數(shù)有26-15=11（人）。

所以，參加活動(dòng)的人數(shù)有15+11+15=41（人）。

所以，這個(gè)班既沒(méi)有參加數(shù)學(xué)活動(dòng)也沒(méi)有參加物理活動(dòng)的人數(shù)有50-41=9（人）。

解法二：設(shè)集合U={高一（1）班全體學(xué)生}，集合A={參加數(shù)學(xué)活動(dòng)的人}，集合B={參加物理活動(dòng)的同學(xué)}，用對(duì)應(yīng)小寫字母表示該區(qū)域集合中元素的個(gè)數(shù)，如圖1所示，

解得：a=15，b=11，c=15，

則參加活動(dòng)的人數(shù)有15+11+15=41（人），

所以，這個(gè)班既沒(méi)有參加數(shù)學(xué)活動(dòng)，也沒(méi)有參加物理活動(dòng)有50-41=9（人）。

題后感悟：對(duì)于第一種解法，數(shù)量關(guān)系較為復(fù)雜，很難理清其中的思路。如果活動(dòng)數(shù)目從兩種活動(dòng)增加到三種甚至更多時(shí)，這種方法就更為困難。而解法二中分別把參加數(shù)學(xué)、物理活動(dòng)的人看成一個(gè)集合，用Venn圖表示這些集合，我們可以很容易地從圖中得到一些等量關(guān)系，通過(guò)解方程得到答案。

2.利用數(shù)軸解決由不等式標(biāo)出的集合間的交集、并集、補(bǔ)集問(wèn)題

題后感悟：對(duì)于這種由不等式表出的集合，把它們表示在數(shù)軸上，能更加直觀地刻畫集合之間的關(guān)系，使我們解題更加快速準(zhǔn)確。

三、反思

數(shù)形結(jié)合思想方法除了可以解決集合方面的問(wèn)題，還可以解決三角函數(shù)、圓錐曲線、不等式等問(wèn)題，至于較為復(fù)雜的解析幾何及立體幾何問(wèn)題，則是將數(shù)形結(jié)合問(wèn)題更加直接利用，使學(xué)生更加容易理解立體幾何問(wèn)題。而伴隨著新課改的新要求，高考數(shù)學(xué)命題越來(lái)越傾向于考查知識(shí)的多變性、深刻性與豐富性，注重考查學(xué)生的創(chuàng)造性與發(fā)散性思維，在題目的設(shè)計(jì)上更具開(kāi)放性。數(shù)形結(jié)合思想在解決高考數(shù)學(xué)題目時(shí)是一種常用方法和技巧，特別是在解決選擇題及填空題時(shí)，因?yàn)檫@些題目不要求解題步驟，數(shù)形結(jié)合運(yùn)用得好可以達(dá)到事半功倍的效果。而數(shù)形結(jié)合也成為每年高考必考方法之一。因此，在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)與題目訓(xùn)練中，筆者認(rèn)為教師應(yīng)該認(rèn)真分析數(shù)形結(jié)合與高中數(shù)學(xué)的結(jié)合點(diǎn)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合方法引導(dǎo)學(xué)生思維方式由靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的變化，幫助學(xué)生分析數(shù)形結(jié)合常見(jiàn)使用和分類，做到舉一反三，達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果，更進(jìn)一步地提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，使學(xué)生做到“腦中有圖，見(jiàn)數(shù)想圖，看圖得數(shù)”，進(jìn)而提升學(xué)生的抽象思維能力。如果在考場(chǎng)上可以做到“能從數(shù)量關(guān)系中發(fā)現(xiàn)圖形特征，能從圖形特征中得到數(shù)量關(guān)系”，那么就可以大大節(jié)省時(shí)間，一些題目也可以得到迅速而精確的解答。

參考文獻(xiàn)：

1.徐國(guó)央.數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].寧波教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2009（11）.

2.任樟輝.數(shù)學(xué)思維理論[M].西寧：廣西教育出版社，2001.

（作者單位：陜西省西安市八一民族中學(xué)）endprint