張明華

摘 要：具象思維是學生獨特的思維方式。在數(shù)學教學中，教師要充分運用學生的具象思維，包括實物具象、替代物具象、圖形具象以及符號具象等。借助于具象，能夠將隱性的數(shù)學知識變成顯性，將無形的數(shù)學思想變得有形，將抽象的數(shù)學知識變得直觀，將復雜的數(shù)量關系變得簡單。從具象到抽象，能夠賦予兒童思維自然生長的力量。

關鍵詞：具象思維；抽象思維；自然生長

兒童數(shù)學思維是感性、具體的。在數(shù)學教學中，教師要充分運用具象材料，引導兒童在頭腦中形成表象，逐步抽象，進而形成兒童思維自然生長的力量。所謂“具象”，是指“具體的形象”（參見《現(xiàn)代漢語詞典》2015年第6版），所謂“具象思維”，是指借助具體的物象、具體的形象而展開的思維。具象給了兒童數(shù)學思維有力的支撐，能夠讓兒童的數(shù)學思維軟著陸。

一、借助“實物具象”，化隱性為顯性

所謂“實物具象”，是指借助實物材料而進行的思維活動，這里的實物材料包括一切實物形態(tài)的學具、教具和其他用具。由于實物具象具有可觀可感的特性，因此能夠將問題中隱性的數(shù)學特征彰顯出來。教學中，教師要巧妙地運用實物教具、學具，或者進行直觀演示，或者引導學生主動操作、構建、運演、判別，進而有效地夯實學生的思維根基。實物具象是學生數(shù)學思維的重要媒介，它既不是表象，也不是言語符號，而是一種感知本身。教學中教師要引導學生開發(fā)實物具象資源。

例如教學《三角形的面積》（蘇教版小學數(shù)學教材第9冊），學生對于“等底等高”或者“同底等高”的三角形面積相等難以理解。為此，筆者讓學生拿出釘子板學具，用橡皮筋圍成了一個底是7，高是4的三角形，學生計算出三角形面積為14。在此基礎上，筆者讓學生拉著三角形的頂點不斷向右移動1格、2格、3格……學生剛開始仍然動筆計算。當算了三個三角形的面積后，學生不再計算而是直接報出了答案。這時，有學生說，只要三角形的頂點在一條直線上移動，三角形的面積就相等；有學生說，不僅三角形的頂點要在同一條直線上移動，而且三角形的底邊要保持不變等。這時，筆者啟發(fā)學生，“這些三角形的頂點在同一條直線上移動，三角形的底邊保持不變，誰能用數(shù)學語言概括一下？”學生漸漸地悟出了原來三角形的面積相等是因為三角形同底等高或者等底等高。并且學生直觀地看到，同底等高或者等底等高的三角形因為傾斜度不同而有無數(shù)個。

教師借助學生結構性學具，通過學生的操作和教師的點撥、追問，展開主動觀察、思考、表達。學生在三角形的形狀變化中直觀感受到三角形的底和高沒有變化，因此三角形的面積不變。學生將具體學習素材內(nèi)化為頭腦中的表象，主動將三角形的底和高這兩個元素從三角形中凸顯、剝離出來，由此領悟到盡管三角形的形狀在不斷變化，但三角形的底、三角形的高以及三角形的面積卻保持不變。借助學具操作，學生的數(shù)學理解得到深化。

二、借助“替代物具象”，化抽象為直觀

如上所述，在數(shù)學教學中，借助實物具象能夠助推學生的數(shù)學理解。但在教學實踐中我們發(fā)現(xiàn)，并不是任何知識點都可以在生活中找到相應的材料、相應的實物。很多時候，我們還必須借助“替代物”，運用“替代物具象”發(fā)展學生的“具象思維”，是具象教學的又一方式。借助“替代物具象”，能夠為相關的數(shù)學概念提供生動的表征、例證，進而拓寬學生的問題理解、問題解決通路，引導學生跨越從具象到抽象的思維障礙，讓學生感受到數(shù)學學習的樂趣，抵達概念形成的酣暢之境。

例如教學《認識平行》（蘇教版小學數(shù)學教材第8冊），一般教師教學時總是借助教室的墻壁，讓學生理解“同一平面”的概念。但是由于教室的墻壁是已成之物，因此學生只能感受到兩條在同一平面內(nèi)直線的平行，而對于兩條異面直線，學生難以理解既不平行也不相交的內(nèi)在道理。究其根本，是因為學生沒有通過兩條直線成功或者失敗建構一個可能存在的平面。在教學中，筆者借助魔方，做了一個“替代物具象”的對比實驗，讓學生在兩個魔方的一個面上分別畫出兩條平行線，這兩條平行線中的一條直線畫在魔方上面的三個棱塊上，另一條直線畫在下面的三個棱塊上。然后將其中一個魔方的一條直線所在的三個棱塊所在的另一個面按照同一個方向旋轉兩個90°，將另一個魔方中的一條直線所在的三個棱塊所在的另一個面先按照一個方向旋轉90°，再按照另一個方向旋轉90°。接著分別讓學生判斷魔方中原來兩條平行的直線現(xiàn)在是否平行。就在學生猶疑不決時，筆者手拿兩張卡片，讓學生分別插入兩條直線所在的面。孩子們發(fā)現(xiàn)，按照同一個方向旋轉90°的兩條直線可以插入卡片，而先按照一個方向旋轉90°再按照另一個方向旋轉90°的魔方的兩條直線不能插入卡片。由此，學生理解了平行、相交、既不平行也不相交的直線的位置關系。

在學生的數(shù)學學習中，教師首先要鼓勵學生運用自己的方式來展開探究。在學生百思不得其解，想盡辦法都得不出結論的時候，教師可以借助“替代物具象”，引導學生走出思維的沼澤地，幫助學生進行思維突圍，讓學生突破思維障礙，擺脫思維定式、思維慣習，如此，往往會起到柳暗花明的效果。

三、借助“圖形具象”，化無形為有形

圖形是數(shù)學中最常見、最普遍的具象材料，借助圖形、以形助數(shù)是數(shù)學教學常用的手段、方法。在數(shù)學學習過程中，學生借助圖形，不僅可以較好地理解數(shù)學知識的本質，促進自我思維的發(fā)展，而且還能探析未知的真理，開墾未知的疆域。許多隱性、無形的數(shù)學思想方法往往能夠在“圖形具象”下，化無形為有形，化抽象為具體、直觀。借助圖形具象，學生的問題解決思路更為簡便、更為巧妙、更為明晰。

例如教學《平移和旋轉》（蘇教版小學數(shù)學教材第5冊），一位教師巧妙地讓學生在數(shù)軸圖上原點的右方平移點，學生驚奇地發(fā)現(xiàn)，往右移，用加法，往左移用減法；越往右移數(shù)越大，越往左移數(shù)越??；往右跳，用乘法，往左跳，用除法等。加減乘除四則運算竟然都可以通過平移數(shù)軸上的點得到。不僅如此，這位教師還讓學生借助平移，自主推導“1-3”“1-5”等算式的結果。盡管學生從數(shù)軸原點向左平移時有點猶疑，但他們借助先前的操作經(jīng)驗，還是果斷地將點向原點的左邊移動。其中，個別數(shù)學知識豐富的學生喊道，可以得到負二、負四。盡管學生還沒有負數(shù)的概念，但借助數(shù)軸向原點的左方平移點，已經(jīng)在學生的內(nèi)心深處種下了懵懂的負數(shù)種子。endprint

“數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休?！保ㄈA羅庚語）抽象、繁雜的數(shù)學公式、定理等讓學生內(nèi)心生厭，而借助圖形進行具象，則可以將無形的數(shù)學知識變得有形。“一圖抵百語”，圖形具象，不僅能夠讓學生將無形的數(shù)理、算理有形地表示出來，而且更為重要的是，圖形具象能夠發(fā)展學生的幾何直觀能力，實現(xiàn)圖文互補、圖數(shù)互釋，并且“圖、文、數(shù)”共同作用于學生的視覺器官，通過視覺影響學生，這正是數(shù)學教學的基本路徑。通過視覺思維，學生對數(shù)學知識的理解能夠達到爐火純青的境界。

四、借助“符號具象”，化復雜為簡單

學生能夠用數(shù)學語言說話、說數(shù)學話，能夠借助數(shù)學符號進行思考、探究是數(shù)學教學的終極歸宿。作為一種抽象化的具象材料，數(shù)學符號是學生進行數(shù)學學習的有效載體。從某種意義上說，學生學習數(shù)學的過程就是符號化的過程。借助符號具象，能夠將數(shù)學問題化復雜為簡單，進而培養(yǎng)學生的抽象、概括思維能力和數(shù)學符號感。

例如教學《三位數(shù)乘兩位數(shù)》（蘇教版小學數(shù)學教材第8冊），有這樣一道題：一道兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法算式，其中一個乘數(shù)是29。把兩個乘數(shù)和乘得的積相加得839。另一個乘數(shù)是多少？學生初遇這樣的問題，不知道從哪里開始思考，用什么來進行思考。顯然，用文字語言來表述比較復雜。基于此，筆者引導學生借助符號來表示題中的條件和問題。

師：同學們，在這個問題中，我們已經(jīng)知曉了哪些條件？

生1：題目中已經(jīng)告訴我們一個乘數(shù)，卻不知道另一個乘數(shù)。

生2：也不知道兩個乘數(shù)的乘積。

師：這兩個未知條件之間有沒有什么關聯(lián)呢？

生沉默片刻。

生3（興奮地發(fā)現(xiàn)）：這個乘積應該是另一個乘數(shù)的29倍。

師（追問）：為什么？

生3：因為一個乘數(shù)是29。

師：如果我們把一個乘數(shù)看成符號a的話，乘積可以怎樣表示呢？

生4：29×a。

師：現(xiàn)在，你能用含有字母的式子表示839嗎？

生5：29+a+29×a=839。

……

在上述教學片段中，學生借助具象化的符號a，抓住問題中的關鍵詞進行提取、講解，將復雜的問題、復雜的數(shù)量關系簡約地表示出來。學生在運用具象符號進行問題表征的過程中，積累了運用符號解決問題的經(jīng)驗，發(fā)展了符號意識，增強了符號感。

“具象”作為一種教學方式，無論是實物具象、替代物具象還是圖形具象、符號具象，都能促進學生的思維發(fā)展。通過具象思維，遵循學生從“具象”到“形象”再到“抽象”的學習心理規(guī)律，引導學生實現(xiàn)從感性到理性的跨越，從具象到抽象的提升。這是數(shù)學教學的應然追求，也是兒童思維發(fā)展的現(xiàn)實路徑。通過具象思維，學生能夠獲得積極的情感體驗，學生的思維品質與個體精神生命將獲得同步成長。endprint