董小燕

【摘要】為引導(dǎo)學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)中諸多較為抽象的概念通過直觀化演示和合理想象加深理解，在平時(shí)的練習(xí)或考試題目中增加一些圖形化相關(guān)題目是一個(gè)很好的做法。文章通過舉例的形式使學(xué)生對(duì)相關(guān)概念或定理的理解從抽象表面到具體直觀，同時(shí)也對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)此類概念及定理的方法有一定的指導(dǎo)意義。

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；圖形化檢測(cè)題目；概念定理

高等數(shù)學(xué)課程中概念、定理繁多，有些內(nèi)容較為抽象。學(xué)生對(duì)很多概念的理解往往停留在表面和抽象的層次，他們只是機(jī)械地記住了概念或定理的字面含義，而未進(jìn)一步去探究概念與定理背后的深層含義。這一方面是由于這些內(nèi)容本身很抽象和復(fù)雜，另一方面也和學(xué)生的學(xué)習(xí)方法及思維方式有一定關(guān)系。對(duì)所學(xué)的抽象概念及定理建立直觀化演示或幾何解釋可以很大程度上幫助學(xué)生加深對(duì)這些內(nèi)容的理解。若在教學(xué)中能適當(dāng)結(jié)合圖形演示，對(duì)這些內(nèi)容進(jìn)行直觀的分析說明，在考試題中增加通過觀察圖形解答問題的題目，使學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中有意識(shí)地將概念、定理等抽象內(nèi)容的學(xué)習(xí)具體化、直觀化，達(dá)到對(duì)所學(xué)知識(shí)透徹理解的目的，將對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)很有幫助。

目前，很多高校都開設(shè)了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，這是使學(xué)生把數(shù)學(xué)理論知識(shí)應(yīng)用于實(shí)踐的一種教學(xué)模式?！皵?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課教學(xué)能夠把數(shù)學(xué)直觀、形象思維與邏輯思維結(jié)合起來，能使抽象的數(shù)學(xué)公式、定理通過實(shí)驗(yàn)得到驗(yàn)證和應(yīng)用，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。”[1]在這個(gè)過程中，數(shù)學(xué)軟件的適當(dāng)應(yīng)用起了重要作用。那么，在高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，能否也充分發(fā)揮數(shù)學(xué)軟件便于復(fù)雜計(jì)算和可視化的強(qiáng)大功能，使抽象的概念定理更貼近學(xué)生，許多同行做了一些這方面的嘗試，如孔仲?gòu)?qiáng)的《基于Matlab軟件的高等數(shù)學(xué)教學(xué)可視化研究》[2]，郭國(guó)安的《可視化教學(xué)在高等數(shù)學(xué)教育中的創(chuàng)新性應(yīng)用》[3]。在高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，可利用軟件對(duì)數(shù)據(jù)的可視化功能，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象內(nèi)容形象化，變化過程可視化，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，提高教學(xué)質(zhì)量。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，將一些概念定理結(jié)論進(jìn)行直觀化演示，增加數(shù)學(xué)概念定理的幾何解釋，增加抽象概念與圖形結(jié)合的練習(xí)題目，使其越來越多地出現(xiàn)在教材和許多研究文獻(xiàn)中。如同濟(jì)大學(xué)出版的高等數(shù)學(xué)[4]教材，從早期的版本到現(xiàn)在通用的版本，就體現(xiàn)了這種變化。

為了增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生對(duì)抽象內(nèi)容更好地理解，同時(shí)將數(shù)學(xué)軟件作為教學(xué)的輔助工具，充分發(fā)揮其可視化功能和計(jì)算的作用，筆者在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行了一些嘗試。同時(shí)，為了發(fā)揮考試對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的導(dǎo)向作用，在期末考試題中，適當(dāng)增加了一些能考查學(xué)生對(duì)概念定理理解程度的圖形化檢測(cè)題目。這些題目不像傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)題目，從抽象到抽象，而是“從抽象到直觀，再?gòu)闹庇^到抽象”，它告訴學(xué)生數(shù)學(xué)概念定理是可以通過直觀化來理解和學(xué)習(xí)的，也給學(xué)生指出了概念定理學(xué)習(xí)的另一種方法。

以下是筆者在高等數(shù)學(xué)考試中出的兩道圖形化檢測(cè)題目。

題目1：圖1、圖2、圖3、圖4分別是利用Matlab軟件繪制的某函數(shù)的圖象，自變量在區(qū)間上變化（假定該函數(shù)定義域?yàn)閷?shí)數(shù)域R，且函數(shù)在整個(gè)定義域上的變化趨勢(shì)與現(xiàn)有的有限區(qū)間上保持一致）。通過觀察圖形回答下列問題。

1. 討論的奇偶性；

2. 討論在區(qū)間的連續(xù)性；

3. 觀察當(dāng)自變量時(shí)極限是否存在？若存在是多少？

4. 觀察當(dāng)自變量時(shí)是否為無窮大？

5. 觀察當(dāng)自變量時(shí)是否無界？

6. 結(jié)合本題試敘述“函數(shù)為無窮大”與“函數(shù)無界”兩者的關(guān)系。

由圖1至圖4后面設(shè)計(jì)的6道題目來看，學(xué)生要想回答這些問題，就必然要將“奇偶性、連續(xù)性、函數(shù)在一點(diǎn)的極限、無窮大、無界量”等概念與函數(shù)圖象結(jié)合起來進(jìn)行考慮，尤其是“無窮大”和“函數(shù)無界”這兩個(gè)概念，一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。將以上概念與圖形相結(jié)合，在思考解答過程中，由圖形的直觀化演示體會(huì)數(shù)學(xué)概念與圖象之間的聯(lián)系、概念與概念之間的區(qū)別。這類題目既考查了學(xué)生對(duì)相關(guān)內(nèi)容的掌握程度，又可以使學(xué)生對(duì)這些概念的認(rèn)識(shí)進(jìn)一步加深，促使學(xué)生以圖形化的方式去思考上述概念的本質(zhì)含義，使概念的抽象度降低，易于掌握。

題目2：圖5是四個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)、、、的通項(xiàng)數(shù)列的散點(diǎn)圖（這四個(gè)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)之間的大小關(guān)系始終和圖中所示保持一致）.

通過觀察圖5判斷級(jí)數(shù)、的斂散性，并說明理由。

由圖5可以看出，要想解答這個(gè)問題，學(xué)生必須對(duì)P級(jí)數(shù)的斂散性結(jié)論熟練掌握，還要從圖形中四個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)數(shù)列的散點(diǎn)圖分析出，這個(gè)圖揭示了四個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)的大小關(guān)系，需要利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法來回答這個(gè)問題。學(xué)生一方面要知道比較判別法通俗地講就是“大通項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則小通項(xiàng)級(jí)數(shù)必收斂；小通項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散，則大通項(xiàng)級(jí)數(shù)必發(fā)散”，另一方面在圖中能分辨出哪兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)可以分為一組，得出所需結(jié)論。綜合以上幾個(gè)方面，才能正確解答這個(gè)問題。

可見，在考試中增加此類題目，既可以引導(dǎo)學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中把抽象的概念定理圖形化，加深對(duì)概念定理等的理解記憶，也可以用這種比較綜合的題目將學(xué)生學(xué)過的多個(gè)知識(shí)點(diǎn)融合在一起，和以往考查單個(gè)知識(shí)點(diǎn)的題目相比，要求學(xué)生能夠融會(huì)貫通并靈活運(yùn)用，對(duì)學(xué)生要求更高。同時(shí)，在某種意義上，考試的過程還是學(xué)生對(duì)相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行再學(xué)習(xí)的過程?？荚噷?duì)學(xué)生的日常學(xué)習(xí)具有指導(dǎo)作用，經(jīng)過一段時(shí)間，這種增加圖形化檢測(cè)題目的做法，會(huì)引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)中更注重對(duì)抽象數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和運(yùn)用。

【參考文獻(xiàn)】

[1]章棟恩.MATLAB高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京：電子工業(yè)出版社，2008.

[2]孔祥強(qiáng).基于Matlab軟件的高等數(shù)學(xué)教學(xué)可視化研究[J].長(zhǎng)春大學(xué)學(xué)報(bào)，2015，25（10）：51-54，68.

[3]郭國(guó)安.可視化教學(xué)在高等數(shù)學(xué)教育中的創(chuàng)新性應(yīng)用[J].教書育人（高教論壇），2015（10）：58-59.

[4]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)上冊(cè)（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.