趙文才　包云霞

摘要：本文以“格林公式及其應(yīng)用”為教學(xué)案例，探索以問題為驅(qū)動(dòng)的翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式改革，鼓勵(lì)學(xué)生從實(shí)際問題出發(fā)，充分利用優(yōu)質(zhì)課程資源自主探究學(xué)習(xí)。課堂教學(xué)由教師講授轉(zhuǎn)變?yōu)閹熒餐懻摗⒁詫W(xué)生匯報(bào)交流為主，實(shí)現(xiàn)線上學(xué)習(xí)和線下研討的有機(jī)融合，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；翻轉(zhuǎn)課堂；問題驅(qū)動(dòng)；教學(xué)案例；格林公式

中圖分類號：G645 文獻(xiàn)標(biāo)示碼：A 文章編號：1674-9324（2017）49-0177-02

一、教學(xué)背景

曲線積分是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，主要研究多元函數(shù)沿曲線弧的積分。曲線積分主要包括對弧長的曲線積分和對坐標(biāo)的曲線積分。對坐標(biāo)的曲線積分是解決變力沿曲線作功等許多實(shí)際問題的重要工具，在工程技術(shù)等許多方面有重要應(yīng)用。格林（Green）公式研究閉曲線上的線積分與曲線所圍成的閉區(qū)域上的二重積分之間的關(guān)系，具有重要的理論意義與實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

二、教學(xué)目標(biāo)

課程教學(xué)目標(biāo)包括三個(gè)方面：知識(shí)目標(biāo)、能力目標(biāo)、情感目標(biāo)。

1.知識(shí)目標(biāo)。理解和掌握格林公式的內(nèi)容和意義，熟練應(yīng)用格林公式解決實(shí)際問題，了解單連通區(qū)域和復(fù)連通區(qū)域的概念，理解邊界線方向的確定方法。

2.能力目標(biāo)。通過實(shí)際問題的分析和討論，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，通過推導(dǎo)和證明，培養(yǎng)其嚴(yán)格的邏輯思維能力。

3.情感目標(biāo)。通過引入輪滑等身邊實(shí)例，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)用性，結(jié)合生動(dòng)自然的語言，激發(fā)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

三、教學(xué)策略

1.采用線上線下相融合的翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式。課前線上學(xué)習(xí)、小組討論，課上教師講解、同學(xué)匯報(bào)，師生討論、深化提高。

2.采用以問題為驅(qū)動(dòng)的教學(xué)策略。以輪滑作功問題引入，圍繞下列問題漸次展開：第一，什么是單連通區(qū)域、復(fù)連通區(qū)域？如何確定邊界曲線的正向？第二，格林公式的條件和結(jié)論，如何證明？第三，格林公式的具體應(yīng)用。

3.采用實(shí)例教學(xué)法，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。利用生活中的滑輪問題，引入力、路徑和功之間的關(guān)系，激發(fā)學(xué)生興趣；然后提出計(jì)算問題，使其認(rèn)識(shí)到探索新方法的必要性，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考和應(yīng)用格林公式。

4.采用典型例題教學(xué)法，鞏固教學(xué)重點(diǎn)。通過分析典型例題，使學(xué)生深入理解格林公式在計(jì)算第二型曲線積分中的作用。學(xué)生通過分析典型例題的求解思路和方法，融合比較分析技術(shù)，自己總結(jié)規(guī)律和技巧，掌握格林公式的應(yīng)用，同時(shí)鞏固格林公式的理論和方法。

四、教學(xué)過程

1.問題導(dǎo)入——輪滑做功問題。例1 假設(shè)在輪滑過程中前方所施拉力為=（e，+xe），滑行路線為L：（x-1）+y=1，求逆時(shí)針滑行一周前方對后方所做的功.

分析：該問題是變力沿曲線作功問題

由第二類曲線積分的計(jì)算方法，令x=1+cost，y=sint，則有

請同學(xué)們思考，如何計(jì)算該定積分？同學(xué)們討論后發(fā)現(xiàn)，積分求解困難，統(tǒng)一變量法失效，發(fā)現(xiàn)化為定積分方法的局限性。求解這樣一個(gè)閉曲線上的積分，需要尋求新的方法，這就是格林公式，從而引出本節(jié)教學(xué)內(nèi)容。

板書本節(jié)課的主要問題（后續(xù)教學(xué)緊緊圍繞這三個(gè)問題展開）。

第一，什么是單連通區(qū)域、復(fù)連通區(qū)域？如何確定邊界曲線的正向？第二，格林公式的條件和結(jié)論，如何證明？第三，格林公式的具體應(yīng)用。

2.單（復(fù)）連通區(qū)域。在討論格林公式之前，先討論關(guān)于區(qū)域的基本概念。通過平面封閉曲線圍成平面區(qū)域這一事實(shí)，引入平面區(qū)域的分類和邊界線的概念。

請同學(xué)們匯報(bào)網(wǎng)上學(xué)習(xí)的情況。有同學(xué)主動(dòng)要求匯報(bào)，學(xué)生在黑板上畫圖并通過圖形敘述了單（復(fù)）連通區(qū)域的概念以及邊界曲線正向的確定方法。

教師對學(xué)生匯報(bào)情況加以肯定，強(qiáng)調(diào)復(fù)連通區(qū)域內(nèi)外邊界線方向的不同，并進(jìn)一步拓展為內(nèi)部有多個(gè)“洞”的情況。

3.格林公式。我們知道平面區(qū)域?qū)?yīng)著二重積分，而其邊界線對應(yīng)著曲線積分，這兩類積分之間有什么關(guān)系呢？

請同學(xué)根據(jù)線上學(xué)習(xí)情況匯報(bào)。有同學(xué)帶事先準(zhǔn)備好的講稿主動(dòng)要求到講臺(tái)講解。先板書定理內(nèi)容，然后畫圖，結(jié)合圖形分析證明思路。要求學(xué)生僅針對區(qū)域既是X型又是Y型的情況進(jìn)行證明。利用積分區(qū)域的可加性，其他情況可以類似證明。

教師提問：定理的條件為什么要求被積函數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)呢？

學(xué)生討論后發(fā)現(xiàn)：定理證明過程中用到了偏導(dǎo)數(shù)的二重積分，因而要求連續(xù)。

教師提問：格林公式對復(fù)連通區(qū)域成立嗎？

師生共同討論：通過給一個(gè)具體區(qū)域形狀，根據(jù)分割方法，將一般區(qū)域問題化為幾個(gè)簡單問題。利用對坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)，可以證明，格林公式同樣成立。

為了便于記憶，我們把格林公式的條件歸納為：“封閉”、“正向”、“具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)”。

4.格林公式的具體應(yīng)用——典型例題分析。（1）直接用格林公式來計(jì)算。例1 輪滑做功問題求解，讓學(xué)生體會(huì)格林公式的作用，回應(yīng)問題引入。

（2）間接用格林公式來計(jì)算。例2 計(jì)算對坐標(biāo)的曲線積分（esiny+my）dx+（ecosy-m）dy，其中L是上半圓周（x-a）2+y2=a2，y≥0，沿逆時(shí)針方向。

教師提問：能否直接使用統(tǒng)一變量法？若不能，能否利用格林公式？

學(xué)生回答：不滿足格林公式的條件。

教師進(jìn)一步啟發(fā)：能否創(chuàng)造條件，使之滿足定理的條件？

通過師生共同分析：采取補(bǔ)邊的辦法。

（3）被積函數(shù)含有奇點(diǎn)情形。例3 計(jì)算曲線積分

其中L為一條無重點(diǎn)、分段光滑且不經(jīng)過原點(diǎn)的連續(xù)閉曲線，取逆時(shí)針方向。

分析：為一條抽象的連續(xù)閉曲線，其內(nèi)部可能包含原點(diǎn)，也可能不包含原點(diǎn)。若包含原點(diǎn)在內(nèi)，則原點(diǎn)為被積函數(shù)的奇點(diǎn)，不能直接使用格林公式。

師生共同探討：采取“挖去”奇點(diǎn)的辦法解決。

5.內(nèi)容總結(jié)。課堂總結(jié)復(fù)習(xí)，回顧格林公式的內(nèi)容和求閉曲線上的線積分的基本方法。布置課后作業(yè)，掌握格林公式的應(yīng)用。重點(diǎn)復(fù)習(xí)格林公式的理解和應(yīng)用。

五、教學(xué)反思

課題教學(xué)從實(shí)際問題出發(fā)，導(dǎo)出問題，分析問題，圍繞問題展開討論。采用了線上線下相融合的翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式，學(xué)生通過課前線上學(xué)習(xí)，課堂匯報(bào)，充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位，發(fā)揮了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。課堂教學(xué)運(yùn)用了問題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方法，層層遞進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣，知識(shí)內(nèi)容一氣呵成。重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)了公式的條件和應(yīng)用方法。但在學(xué)生匯報(bào)環(huán)節(jié)，個(gè)別學(xué)生參與度不夠，體現(xiàn)出線上學(xué)習(xí)不夠深入。

參考文獻(xiàn)：

[1]趙文才，劉洪霞，趙義軍.類比推理方法在翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)改革中的應(yīng)用[J].大學(xué)教育，2016，（10）：122-124.

[2]劉洪霞，周紹偉，卓相來.基于微課的翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐[J].統(tǒng)計(jì)與管理，2017，（5）：117-119.endprint