原子霞

摘要：《復(fù)變函數(shù)》是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，本文基于對該課程研究型教學(xué)的探索和實踐，從教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法，以及增加課外上機(jī)操作項目等方面對復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)進(jìn)行改革探索，并給出若干具體的實踐案例。

關(guān)鍵詞：復(fù)變函數(shù)；研究型教學(xué)；教學(xué)內(nèi)容；教學(xué)方法

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）49-0092-02

一、引言

近年來，以訓(xùn)練、提高學(xué)生的創(chuàng)新能力和創(chuàng)新思維，加強(qiáng)創(chuàng)新型人才培養(yǎng)為目的的研究型教學(xué)模式在我國很多高校得到提倡和實踐。這種教學(xué)模式起源于20世紀(jì)初美國的中小學(xué)課程，1998年美國博耶委員會明確提出把研究型教學(xué)作為本科教學(xué)的要求，形成了研究型教學(xué)模式[1，2]。研究型教學(xué)的具體實施規(guī)則并不統(tǒng)一，在某種程度上取決于對“研究”的理解[1，2]。但形成普遍共識的是，研究型教學(xué)模式是以知識為依托，把能力培養(yǎng)作為主要目標(biāo)，在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，思考并解決問題，達(dá)到鍛煉思維和培養(yǎng)能力的教學(xué)模式。

復(fù)變函數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門專業(yè)基礎(chǔ)課程，在整個課程體系中有十分重要的作用。一方面，復(fù)變函數(shù)在具有承上啟下的功能。復(fù)變函數(shù)作為數(shù)學(xué)分析的后繼課程，是以實函數(shù)為基礎(chǔ)而產(chǎn)生和發(fā)展起來的，很多定義、性質(zhì)與實函數(shù)既有相似之處，但又與實函數(shù)有本質(zhì)性的區(qū)別。同時，復(fù)變函數(shù)是學(xué)習(xí)數(shù)理方程、泛函分析等課程的基礎(chǔ)。另一方面，復(fù)變函數(shù)的理論和方法滲透到多個數(shù)學(xué)分支和其他應(yīng)用學(xué)科，如物理學(xué)相關(guān)領(lǐng)域。如何讓學(xué)生學(xué)好復(fù)變函數(shù)這門基礎(chǔ)課程，是教師們都非常關(guān)心的問題。本文作者結(jié)合自己在教學(xué)中的體會，對復(fù)變函數(shù)研究型教學(xué)進(jìn)行了探討。

二、復(fù)變函數(shù)研究型教學(xué)的幾點(diǎn)嘗試

（一）學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)的“大班上課、小班研討”教學(xué)形式

教師和學(xué)生是教學(xué)過程的雙重主體。教學(xué)過程不僅僅是老師的傳道授業(yè)，更應(yīng)該針對學(xué)生主動學(xué)習(xí)而無法解決問題時的解惑。從學(xué)生來說，不思考就無法發(fā)現(xiàn)問題，不能問出有價值的問題。從教師來說，學(xué)生人數(shù)多，在有限時間內(nèi)僅能回答少量同學(xué)問題，絕大多數(shù)同學(xué)難以與教師建立直接的溝通和聯(lián)系。傳統(tǒng)的教學(xué)模式，學(xué)生只是被動地接受教師課堂灌輸?shù)拇罅坷碚摵头椒?，即使參與教學(xué)過程，也只是簡單地回答教師的問題。課堂上始終是消極的學(xué)習(xí)情緒和被動的學(xué)習(xí)地位。大部分學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和創(chuàng)造性受到了某種程度的抑制。在大學(xué)階段，同學(xué)們的思維正處于活躍和發(fā)達(dá)的階段，心智已經(jīng)成熟，具備一定的自學(xué)能力，發(fā)現(xiàn)問題和解決問題是可行的。所以作者改變以往教學(xué)模式，實行“大班上課、小班研討”的形式授課，即將學(xué)生以30人左右分為數(shù)個小班，教學(xué)內(nèi)容中的大部分、主要是理論性強(qiáng)的部分內(nèi)容由老師在課堂講授，部分簡單的教學(xué)內(nèi)容由學(xué)生在老師指導(dǎo)下自學(xué)，然后在小班課堂上進(jìn)行研討。

例如：在講授留數(shù)定理和留數(shù)的求法時，我們只介紹了留數(shù)的定義，而把留數(shù)定理的證明和留數(shù)計算公式的推導(dǎo)這些工作提前布置給學(xué)生，讓學(xué)生自愿報名在研討課上講授，結(jié)果發(fā)現(xiàn)教學(xué)效果良好。表現(xiàn)在以下三個方面：第一，課堂氣氛輕松活躍。因為是學(xué)生自己在課堂上講授，其他同學(xué)沒有距離感，不會感覺學(xué)習(xí)枯燥乏味，而是像參加活動一樣輕松愉快地去接受和聆聽。第二，加深了對知識的情景記憶。多位講課的學(xué)生輪流上臺講解時，其講解風(fēng)格都有鮮明的個人特征，使其他學(xué)生把相應(yīng)部分知識與講解人的言談舉止聯(lián)系起來，有情景記憶的因素在內(nèi)，加深了對知識的理解和記憶。第三，鍛煉了學(xué)生的探索能力和表達(dá)能力。

（二）加強(qiáng)經(jīng)典理論的歷史性教學(xué)，傳播數(shù)學(xué)文化

英國數(shù)學(xué)家J.Fauvel認(rèn)為數(shù)學(xué)史可以改變學(xué)生的學(xué)習(xí)觀、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，對于數(shù)學(xué)教學(xué)有較為重要的提升作用[3]。滲透了數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)教學(xué)，學(xué)生獲得的不僅是數(shù)學(xué)知識，還有過程、方法的體驗及情感、科研態(tài)度、價值觀的教育。數(shù)學(xué)專業(yè)復(fù)變函數(shù)課程中理論較多，只介紹書上的內(nèi)容就很容易讓學(xué)生感覺枯燥無趣。為此，本文作者在復(fù)變函數(shù)教學(xué)中經(jīng)常針對各節(jié)要講授的經(jīng)典定理，介紹相關(guān)數(shù)學(xué)家百折不撓的毅力和孜孜不倦的探索精神與無與倫比的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)，學(xué)生可以從前人對科學(xué)的探索中汲取營養(yǎng)，獲得鼓勵，增強(qiáng)對科學(xué)研究的向往之情。譬如，在講授冪級數(shù)收斂的Abel定理[4]時，我們在課堂上簡單介紹了數(shù)學(xué)家Able的生平遭遇和他對數(shù)學(xué)發(fā)展的重大貢獻(xiàn)，激發(fā)了學(xué)生對分析學(xué)的研究興趣，也了解了數(shù)學(xué)史的一段發(fā)展過程，感受到數(shù)學(xué)文化的魅力。

（三）“承前啟后”，對比式教學(xué)

復(fù)變函數(shù)是數(shù)學(xué)分析的后繼課程，復(fù)變函數(shù)中的許多概念與數(shù)學(xué)分析中的內(nèi)容類似，但又有區(qū)別，我們把二者進(jìn)行對比，指出差別，有助于學(xué)生理解所學(xué)內(nèi)容。例如復(fù)變函數(shù)中函數(shù)在一點(diǎn)處極限的定義和數(shù)學(xué)分析中一元函數(shù)極限的定義在形式上是一致的，但復(fù)變函數(shù)極限的定義要求更苛刻。這導(dǎo)致了復(fù)變函數(shù)有許多獨(dú)有的性質(zhì)和定理，這些性質(zhì)和定理就是復(fù)變函數(shù)與數(shù)學(xué)分析的不同之處，是復(fù)變函數(shù)自己獨(dú)有的魅力，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

另一方面，復(fù)變函數(shù)又是數(shù)理方程的先修課程，復(fù)變函數(shù)和數(shù)理方程中有相似的結(jié)論和定理。例如復(fù)變函數(shù)中有解析函數(shù)的柯西積分表達(dá)式和劉維爾定理，在數(shù)理方程中調(diào)和函數(shù)也有類似的性質(zhì)。講授這部分內(nèi)容時，可以引導(dǎo)學(xué)生將教材中的定理和結(jié)論進(jìn)行引申推廣，這是一個發(fā)現(xiàn)的過程，更是一個收獲驚喜的過程，既可以培養(yǎng)學(xué)生的研究意識和研究能力，又可以讓學(xué)生對后續(xù)課程中的內(nèi)容有預(yù)先的了解，認(rèn)識各門課程內(nèi)容之間的聯(lián)系和差異。

（四）增加課外上機(jī)操作，將應(yīng)用融入課程教學(xué)

眾所周知，學(xué)以致用是激發(fā)學(xué)生學(xué)好一門課程的動力。雖然數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的皇冠，但是基礎(chǔ)課程教材涉及到的應(yīng)用實例相對較少，因為教材本身更側(cè)重于理論的闡述。因此同學(xué)費(fèi)盡心力學(xué)習(xí)了理論、熟悉了定理及公式的推導(dǎo)過程，卻不知該如何應(yīng)用，會使學(xué)生對這門課程感覺枯燥乏味，逐步喪失學(xué)習(xí)興趣。在復(fù)變函數(shù)這門課程中重視應(yīng)用教學(xué)是非常必要的。Matlab軟件具有強(qiáng)大的數(shù)值計算和圖形處理能力，且易學(xué)易用，借助Matlab軟件進(jìn)行復(fù)變函數(shù)運(yùn)算[5]，把數(shù)學(xué)實驗融入復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)是一種新的教學(xué)模式。例如，在計算復(fù)數(shù)的實部、虛部或輻角時，用Matlab數(shù)學(xué)軟件計算時，只需調(diào)用real（）、image（）或angle（）等簡單函數(shù)命令即可，極大縮短運(yùn)算時間。又比如，復(fù)變函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為初等函數(shù)，利用Matlab軟件進(jìn)行三維曲面繪圖，直觀觀察函數(shù)圖形，幫助理解函數(shù)的性質(zhì)，加深了對理論知識的理解。

（五）適當(dāng)運(yùn)用多媒體提高教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量

當(dāng)前，多媒體教學(xué)已經(jīng)成為高校課堂的主流。但復(fù)變函數(shù)這門課程，理論性強(qiáng)、概念抽象、證明復(fù)雜，如果過度利用多媒體演示證明和推導(dǎo)，給學(xué)生思考和回味的時間就會很少。那么多媒體教學(xué)就不適合復(fù)變函數(shù)嗎？當(dāng)然不是。對于有些內(nèi)容，比如復(fù)球面的建立這一節(jié)，利用多媒體演示動態(tài)的測地投影圖形，用直觀的圖形演示遠(yuǎn)比只是在黑板上用粉筆演示要更有趣和容易理解。

三、結(jié)束語

通過數(shù)年的復(fù)變函數(shù)研究型教學(xué)實踐，我們也深刻認(rèn)識到，研究型教學(xué)確實是一種全方位、立體式的教學(xué)方式，不能僅靠幾點(diǎn)教學(xué)改革實踐就能完全做好。復(fù)變函數(shù)的研究型教學(xué)改革是一個需要不斷探索的過程，需要教師全身心的投入，在教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法上認(rèn)真琢磨、合理安排，在培養(yǎng)學(xué)生的推理、歸納、演繹和創(chuàng)新能力上下功夫，讓學(xué)生感受到復(fù)變函數(shù)課程的魅力。復(fù)變函數(shù)的研究型教學(xué)的探索仍需要不斷的深入。

參考文獻(xiàn)：

[1]汪霞.大學(xué)研究型教學(xué)中的研究[J].教育發(fā)展研究，2007，（22）：43-46.

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[3]李文嫻.淺析大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)存在的問題及對策[J].中國成人教育，2014，（18）：182-184.

[4]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論[M].北京：高等教育出版社，2004.

[5]石辛民，翁智.復(fù)變函數(shù)及其應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2012.endprint