祁山國寶

摘 要：掌握數(shù)學(xué)解題思想和解題方法，能夠極大的提高學(xué)生的解題能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。本文首先討論了高中數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的解題思想，并對這些解題思想所延伸的數(shù)學(xué)解題方法進(jìn)行探究，為高中數(shù)學(xué)科目教師的教學(xué)活動的開展提供資料參考。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；解題方法；解題思想；探究

一、 高中數(shù)學(xué)常用解題思想

1. 數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)科目學(xué)習(xí)和研究的基本思想，數(shù)形結(jié)合在高中教學(xué)中的應(yīng)用，包括以形助數(shù)和以數(shù)輔形兩個方面。以形助數(shù)，是指借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的關(guān)系，并以形為手段，數(shù)為目的，來完成對數(shù)學(xué)問題更為直觀的解答。以數(shù)輔形，就是指借助于數(shù)的精確性，來闡明某些圖形的性質(zhì)，是以形為目的，以數(shù)為手段的一種數(shù)學(xué)思想。數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用的關(guān)鍵，就是弄清楚數(shù)和形的關(guān)系，并把握好以數(shù)輔形和以形助數(shù)的要點，應(yīng)用有效的技巧和方法，提高數(shù)學(xué)解題效率，并學(xué)會應(yīng)用數(shù)形結(jié)合來解決數(shù)學(xué)問題。

2. 分類討論的思想方法

分類討論是一種化整為零與歸類整理類的解題思想，分類討論法能夠幫助學(xué)生以更加系統(tǒng)的形式，掌握數(shù)學(xué)知識，還能夠讓學(xué)生認(rèn)清不同知識點之間的差別，從而幫助學(xué)生在遇到數(shù)學(xué)問題時，準(zhǔn)確、靈活的選擇方法。分類討論思想方法在教學(xué)中的應(yīng)用，主要是對于定理、概念的歸納，對公式和運(yùn)算性質(zhì)的運(yùn)用。對于一些不確定的數(shù)量、不確定的圖形形狀或位置、不確定的結(jié)論等，也都可以用分類討論的方法研究并解決。

3. 函數(shù)與方程的思想方法

函數(shù)與方程同樣是數(shù)學(xué)學(xué)科中重要的方法與思想。這種數(shù)學(xué)思想從問題的數(shù)量關(guān)系入手，通過運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，通過數(shù)學(xué)模型的推演和計算，最終解決問題。函數(shù)涉及的知識點多，更是高考的重點考點。教師在日常教學(xué)中，要教會學(xué)生使用函數(shù)思想，并能夠?qū)?shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)和方程，最終解決問題。

4. 等價轉(zhuǎn)化思想與方法

等價轉(zhuǎn)化方法，在高中數(shù)學(xué)函數(shù)、幾何等方面都有所應(yīng)用，該方法就是將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知可解的問題和模型，來解決數(shù)學(xué)問題的一種方法。教學(xué)中，教師要加強(qiáng)對學(xué)生問題轉(zhuǎn)化意識的培養(yǎng)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)變能力。讓學(xué)生學(xué)會如何在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中和解題中應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，對提高學(xué)生思維能力和解題技巧十分重要。

二、 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的解題方法

高中數(shù)學(xué)中，所有具體的解題方法，都是建立在上述數(shù)學(xué)思想之上的。教師在教學(xué)中，一定要加強(qiáng)對學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，并以此為基礎(chǔ)，讓學(xué)生能夠掌握一些有效的、科學(xué)的解題方法和技巧。在高中數(shù)學(xué)科目教學(xué)中，經(jīng)常涉及的解題方法包括配方法、換元法、待定系數(shù)法、定義法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、反證法、消去法、分析與綜合法等。

1. 配方法

配方是對數(shù)學(xué)等式或不等式進(jìn)行定向變形的方法，該方法在二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式等討論與求解中經(jīng)常用到。配方法最常用的配方依據(jù)包括二項完全平方公式、正弦、余弦定理等。

【例1】 設(shè)非零復(fù)數(shù)a、b滿足a2+ab+b2=0，求aa+b1998+ba+b1998。

該題目是一道難度較高的代數(shù)題，在該題目的解題中，可以采用替換法。解題思路為：已知a、b為非零復(fù)數(shù)，因此可以將等式a2+ab+b2=0兩邊同時除以b2，整理得到ab2+ab+1=0，將ab當(dāng)做整體帶入，得到ab3等于1，將該結(jié)果帶入算式，最終得到結(jié)果。

2. 換元法

在解數(shù)學(xué)問題時，我們可以將數(shù)學(xué)問題中的某個式子當(dāng)做一個整體，用變量來替代，從而實現(xiàn)問題的簡化。

【例2】 △ABC的三個內(nèi)角A、B、C滿足：A+C=2B，1cosA+1cosC=-2cosB，求cosA-C2的值。

本題目可以運(yùn)用三角換元的方法解決，由已知條件可得到A+C=2B，根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180度的性質(zhì)，可以得到A+C=120°，換元，整理后可以得到cosA-C2的值。本題目在解答時，還可以用1cosA+1cosC=-22進(jìn)行均值換元，并結(jié)合三角形公式變形換算來得到答案。不同的換元方式，只要思路正確，可以用于對計算結(jié)果的驗證。這種驗證方法準(zhǔn)確度更高，教師可以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會這種驗證方式，以提高學(xué)生解題正確率。

3. 待定系數(shù)法

待定系數(shù)法能夠用于分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、在復(fù)數(shù)、解析幾何中求曲線方程等問題中，待定系數(shù)法通過運(yùn)用變量間的函數(shù)關(guān)系，并根據(jù)所給的已知條件，來解決數(shù)學(xué)問題。待定系數(shù)法在應(yīng)用時，首先要確定所求問題含有待定系數(shù)的解析式，并根據(jù)恒定條件列出含待定系數(shù)的方程，最后通過解方程組和消去待定系數(shù)，解決問題。

【例3】 設(shè)橢圓中心在（2，-1），橢圓的一個焦點與短軸兩端連線相互垂直，并且此焦點與長軸較近的端點距離為10-5，求橢圓的方程。

本題目在解題時，首先要設(shè)a、b、c的值，通過垂直關(guān)系式和勾股定理，來建立橢圓方程，并將焦點與長軸較近端點的距離轉(zhuǎn)化為a-c，最后列出第二個方程。解題思路具體為，先設(shè)方程所需要的未知數(shù)，并將幾何條件轉(zhuǎn)化為方程，最后求解，并用系數(shù)帶入方程，最后得到答案。

4. 定義法

顧名思義，定義法就是直接運(yùn)用數(shù)學(xué)定義來解題，在定義法中，包括定理、公式、性質(zhì)和法則等，都是揭示數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系的工具。定義作為數(shù)學(xué)知識的精華，更是完成數(shù)學(xué)解題活動的基礎(chǔ)。在定義法的運(yùn)用中，需要學(xué)生能夠了解定義所代表的含義和其在具體數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用方法。

【例4】 求過定點M（1，2），以x軸為準(zhǔn)線，離心率為 1/2 的橢圓定點下的軌跡方程。

本題目是一道關(guān)于橢圓和圓錐曲線的題目，在解答本題目時，只要抓住圓錐曲線的統(tǒng)一定義，就能夠得到|AF|d=12并建立方程，再運(yùn)用離心率定義構(gòu)建另外一個方程。本題目在解題過程中，需要按照曲線軌跡方程的求解步驟，分析曲線上動點所滿足的條件。在解題中需要巧妙的運(yùn)用橢圓的統(tǒng)一定義和離心率的定義。在具體的數(shù)學(xué)教學(xué)中，圓錐曲線的點、焦點、準(zhǔn)線、離心率等，通?？梢杂枚x法來解決，在解題中經(jīng)常會用到橢圓、雙曲線、拋物線等定義。

5. 數(shù)學(xué)歸納法

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)和解題中，經(jīng)常遇到的數(shù)學(xué)歸納法包括完全歸納和不完全歸納兩種方法。但不完全歸納法只適用于解題，在數(shù)學(xué)推理論證中應(yīng)用是不科學(xué)的。教師在教學(xué)中，要注意兩種歸納法的講解，并讓學(xué)生明確數(shù)學(xué)歸納法兩種不同歸納方法的特點和應(yīng)用。教師在關(guān)于代數(shù)不等式、自然數(shù)n有關(guān)的恒等式、三角不等式、數(shù)列問題、幾何問題和整除性問題的解決中，可以教學(xué)生使用數(shù)學(xué)歸納法。

綜上所述，除上述經(jīng)典的常用解題方法外，在高中數(shù)學(xué)解題中還會用到諸如參數(shù)法、反證法、消去法、分析與綜合法等解題方法，不同的解題方法適用于不同的題型。只有讓學(xué)生得到數(shù)學(xué)解題方法和數(shù)學(xué)理論思想掌握水平的雙提高，才能夠在提高學(xué)生解題速度和正確率的同時，實現(xiàn)對學(xué)生數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用能力的培養(yǎng)，最終在讓學(xué)生更自如應(yīng)對考試的同時，能夠得到數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用能力的提升。

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