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        抽象思維引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)

        2017-11-14 08:57:58陳朝陽
        關(guān)鍵詞:概念教學(xué)

        陳朝陽

        摘 要:在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中,教師應(yīng)以感知概念、形成概念、理解概念、深化概念為序,由具體到抽象,按照學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律設(shè)計教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會由具體事物到抽象概念的形式,把思維變式與反思滲透其中,提升思維品質(zhì).

        關(guān)鍵詞:抽象思維;概念教學(xué);反思提升

        數(shù)學(xué)的核心概念在教學(xué)中至關(guān)重要.在不同的教學(xué)觀指導(dǎo)下,會有不同的教學(xué)設(shè)計.一是關(guān)注數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵,教學(xué)過程中將概念的內(nèi)涵層層演繹,深入淺出地展示在學(xué)生面前,或在師生的對話交談中體驗概念的生成過程,為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識打下基礎(chǔ),但由于概念的內(nèi)涵展示強(qiáng)調(diào)過程,因而在“八股文”式的教學(xué)評估中難以實施.二是關(guān)注數(shù)學(xué)概念的外延,教學(xué)中忽視概念內(nèi)涵的挖掘,注重概念外延的深入挖掘,以提升學(xué)生的應(yīng)試能力,這一教學(xué)設(shè)計方法成為目前中學(xué)教學(xué)的常態(tài),因為它為中等水平的學(xué)生迅速提升應(yīng)試能力,參與“立竿見影”式的教學(xué)評價提供捷徑.三是既關(guān)注數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵,又關(guān)注數(shù)學(xué)概念的外延,既介紹概念生成的背景,又在數(shù)學(xué)概念的外延上進(jìn)行變式訓(xùn)練,這是在素質(zhì)培育與應(yīng)試能力訓(xùn)練的結(jié)合上尋找一種平衡,本文關(guān)于“充分條件與必要條件”的課例正是一次探索.

        人民教育出版社A版數(shù)學(xué)選修1-1,§1.2.1“充分條件與必要條件”,結(jié)合實例給出推斷符號“[?]”并引出充分條件、必要條件的概念.它們是研究命題的條件與結(jié)論之間的邏輯關(guān)系的重要工具,是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)概念之一.在“充分條件與必要條件”這節(jié)內(nèi)容前,教材安排了“命題及其關(guān)系”作為必要的知識鋪墊,并把充分、必要條件的定義安排在第一課時,第二課時學(xué)習(xí)充要條件.本節(jié)所講的充分條件、必要條件中的p、q與四種命題中的p、q內(nèi)容是一致的,即它們可以是簡單命題,也可以是“若p則q”形式的復(fù)合命題,但本節(jié)中,一般只要求p、q是簡單命題,而不作更深的討論.本節(jié)集中精力突破充分條件與必要條件,充分不必要條件,必要不充分條件概念,以及如何通過集合思想方法來判斷,因為解決了這兩個重要概念,就可以比較容易理解后面的充要條件的概念,本節(jié)課不涉及充要條件和既不充分也不必要條件,這也是教材設(shè)計者的用意之一.

        一、感知概念

        問題情境:

        ①請寫出命題“若[x>a2+b2],則[x>2ab]”的逆命題、否命題、逆否命題,并判斷它們的真假;

        ②請寫出命題“若[ab=0],則[a=0]”的逆命題、否命題、逆否命題,并判斷它們的真假.

        T:觀察學(xué)生填寫,請學(xué)生回答上述問題.

        S1:逆命題:若[x>2ab],則[x>a2+b2],為假命題;

        否命題:若x≤a2+b2,則x≤2ab,為假命題;

        逆否命題:若x≤2ab,則x≤a2+a2,為真命題.

        S2:逆命題:若[a=0],則[ab=0],為真命題;

        否命題:若ab≠0,則a≠0,為真命題;

        逆否命題:若a≠0,則ab≠0,為假命題.

        【設(shè)計說明】從具體問題出發(fā)來引出數(shù)學(xué)概念更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.問題情境①②在這里起到承上啟下的作用,既復(fù)習(xí)了前面所學(xué)知識,又找準(zhǔn)了學(xué)生知識結(jié)構(gòu)上的生長點,為后面充分條件和必要條件的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備.

        問題1:能否改變②中的條件,即增加一定的限制條件,使原命題變成真命題?

        T:數(shù)學(xué)課代表,你先來試一試!

        S3: 設(shè)b為非零實數(shù),若[ab=0],則[a=0.]

        T:學(xué)習(xí)委員,你有新的命題嗎?

        S4:若[ab=0]且[ab]=0,則[a=0],…

        【設(shè)計說明】此問題有較大的思維空間,不同層次的學(xué)生都能在這個問題上同層次地施展,以此讓學(xué)生認(rèn)識到命題中的條件與結(jié)論之間應(yīng)該具備某種關(guān)系.

        T:以上兩個問題的解答可以發(fā)現(xiàn)有的命題真,有的命題假,即有的命題可以從條件推得結(jié)論,有的則不能;而另外也有命題只要結(jié)論成立,就一定不能少了命題給出的條件,但是沒有這個條件,結(jié)論不一定能成立.那么命題中的條件與結(jié)論到底有怎樣的因果關(guān)系呢?

        二、形成概念

        T:為了簡潔表達(dá)因果關(guān)系,當(dāng)“若p,則q”是真命題時,我們就說,由p可推出q,記作“[p?q]”; 當(dāng)“若p,則q”是假命題時,我們就說,由p推不出q,記作“p q”.

        請用“[?]”和“ ”符號表示“感知概念”中的①和②及其逆命題.

        S6:原命題條件推不出結(jié)論,填“ ”, 逆命題條件推出結(jié)論,填“[?]”.

        【設(shè)計說明】理解“[?]”符號的含義,為引出定義奠定知識基礎(chǔ).通過研究原命題,對建立在學(xué)生原有認(rèn)知水平上“充分”這個感性化的詞匯獲得數(shù)學(xué)意義上的認(rèn)識,引出充分條件的定義;通過研究逆否命題,又讓學(xué)生理解了q是p成立的“必須要有”的條件,引出必要條件的定義.

        定義:“p[?]q”,也就是條件p“足以”保證或“充分”保證結(jié)論q成立,這時我們說p是q的充分條件(sufficient condition);從命題的角度看,“[p?q]”,根據(jù)逆否命題與原命題的等價性,也就是如果沒有q成立,就一定沒有p成立,q成立是p成立“必須要有”的前提條件,我們說q是p的必要條件(necessary condition).

        T:“[p?q]” 稱p是q的充分條件通俗理解:要使q成立,有p成立就足夠了;稱q是p的必要條件” 通俗理解:q是p成立的必不可少的條件,若沒有q,則p一定不成立.“[p?q]且q p”表示p是q的充分而不必要條件;q是p的必要而不充分條件.

        T:請用新定義表述完成上述兩表.

        S7:∵p:[x>a2+b2][?] q:[x>2ab],∴p是q的充分條件.

        T:把原命題和逆命題合并思考,又如何表述?endprint

        S7:q:[x>2ab], p:[x>a2+b2],∴p是q的充分不必要條件.

        S8:∵p:[ab=0] q:[a=0],而q:[a=0][?]p:[ab=0],∴p是q的必要不充分條件.

        【設(shè)計說明】通過以上的實例,學(xué)生親身感知了概念的發(fā)生與形成過程,使充分、必要條件定義的引入順理成章,水到渠成,幫助學(xué)生突破難點.

        問題2:如何判斷p是q的什么條件?

        S9:p可能是q的充分條件,也可能是必要條件.故判斷能否有[p?]q或[q?p].

        例1 判斷p是q的什么條件,完成下表:

        S10:∵x=1[?][x2-4x+3=0],[x2-4x+3=0][?] x=1,∴p是q的充分不必要條件.

        S10:∵f(x)=x[?][f(x)]在[(-∞,+∞)]上為增函數(shù);反推不成立,∴p是q的充分不必要條件.

        S10:∵x=[2]時,x2為有理數(shù);“[x]為無理數(shù)” “[x2]為無理數(shù)”,反過來,我不會判斷.

        T:誰能判斷?

        S11:[x2]為無理數(shù)[?][x]為無理數(shù),否則,若x為有理數(shù),x2為有理數(shù),與[x2]為無理數(shù)矛盾,∴p是q的必要不充分條件.

        S12:∵兩個三角形全等[?]這兩個三角形面積相等,反推不成立,∴p是q的充分不必要條件.

        T:以上同學(xué)的分析和判斷正確,誰將判斷p是q的什么條件的步驟理一理?

        S13:首先認(rèn)清條件p和結(jié)論q;然后考察是否有[p?]q和q[?][p],即原命題和逆命題的真假;最后作出判斷.

        三、理解概念

        例2 下列條件中哪些是[a+b>0]的充分而不必要條件?

        A.[a>0,b>0] B. [a<0,b<0]

        C. [a>0,b<0]且[|a|>|b|]

        D.[a=3,b=-2] E.[a>-b] F.且[|a|>|b|]

        引導(dǎo):A,B,C,D,E,F(xiàn)中,誰能推出[?][a+b>0],但反過來,推不出.

        S14:∵[a>0,b>0],[a>0,b<0]且[|a|>|b|],[a=3,b=-2]能推出[a+b>0],反過來,推不出,∴選A,C,D.

        【設(shè)計說明】加強(qiáng)學(xué)生思維的靈活性、分析問題的深刻性.

        體驗:請同學(xué)們自己編寫一個“充分而不必要條件、必要而不充分條件”的數(shù)學(xué)命題.

        S15:若x>y>0,則x2>y2.

        S16:在空間,兩直線無公共點,則兩直線為異面直線……

        【設(shè)計說明】給學(xué)生提供活動的時(思維時間)空(思維空間),讓主體主動構(gòu)建自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu),幫助學(xué)生深化理解并運用定義,同時讓學(xué)生在這一過程中獲得成功的喜悅.

        四、深化概念

        T:如果[p][?]q,但q [p],那么[p]是q的充分不必要條件,q是[p]的必要不充分條件.

        另外還可以表述為:q的充分不必要條件是p,p的必要不充分條件是q.

        例3 寫出[|x|>1]的一個必要不充分條件

        .

        思考:尋找結(jié)論q,使得[|x|>1][?]q,但q [?][|x|>1].

        S17:x∈R

        S18:x≠0,…

        問題3:如果p表示某元素x屬于集合P,q表示該元素屬于集合Q,如何用集合間的關(guān)系理解“[p][?]q”的含義?

        結(jié)論:“[p][?]q”即:[x∈P?x∈Q],則[P?Q.]

        T:若[P?Q],則p是q的充分條件;若[Q?P],則P是Q的必要條件.

        例4 設(shè)f(x)=x2-4x(x∈R),則f(x)>0的一個必要不充分條件是( )

        A. x>0 B. x<0或x>4

        C. x>2 或x<0 D. x>5或x<-1

        S19:選擇D.

        提示:從A,B,C,D,尋找結(jié)論q,使得 f(x)>0[?]q,但q f(x)>0.

        從集合角度思考就是由P=(-∞,0)(4,+∞)尋找一個集合Q,使得[P?Q].

        T:物理課代表,你試一試!

        S20:選擇C.

        【設(shè)計說明】強(qiáng)化認(rèn)清條件和結(jié)論的重要性,使學(xué)生學(xué)習(xí)用集合的思想進(jìn)行判斷,更直觀、快捷.

        高考體驗:(選擇近幾年高考中充分條件與必要條件的8個題,略)

        【設(shè)計說明】8個高考題強(qiáng)化基礎(chǔ),促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成正確的思維習(xí)慣,幫助學(xué)生突破難點.學(xué)生做全對的占20%,做對7個以上占50%,做對6個以上占85%以上.

        T:通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),你主要有哪些收獲?

        S21:我知道了什么是充分條件、必要條件,什么是充分不必要條件、必要不充分條件.

        知道了判斷充分條件、必要條件的三個步驟以及如何通過集合工具來判斷,但在判斷時,對于例3、例4的表述方式判斷有些不習(xí)慣.

        T:由S21的回顧,本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容我們可以概括為:

        二概念:充分條件,必要條件.

        三步驟:①找出p,q;②判斷p[?]q與p[?]q的真假;③下結(jié)論.

        一思想:用集合思想判斷命題因果關(guān)系.

        課例研究之一是關(guān)注課堂文化,營造課堂文化的主體是學(xué)生、教師、教材與教學(xué)設(shè)備.

        從學(xué)生角度來看,上述課例的教學(xué)對象是數(shù)學(xué)思維層次較低的學(xué)生,對于充分條件、必要條件的數(shù)學(xué)本質(zhì),將不具備“形”的邏輯關(guān)系轉(zhuǎn)化為“表格”式的直接能力,教師的引導(dǎo)、注意與點評語言給學(xué)生指明了探索的方向.

        從教師角度來看,上述課例中的問題是教材與教師設(shè)計與構(gòu)造的,學(xué)生是否能主動地提出幾個問題,或者是學(xué)生根據(jù)自己學(xué)習(xí)中的困惑提出一些問題來,這也從另一個側(cè)面反映我們的課堂中學(xué)生主動提出問題的氛圍沒有形成,這與新課程教育理念相差較遠(yuǎn),值得進(jìn)一步思考與研究.endprint

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