陳盾初

摘 要：數(shù)列求和是高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的一個(gè)重點(diǎn)，也是高考重要考點(diǎn)之一，所以掌握數(shù)列求和的方法非常重要，需要對(duì)各種題型，各種解題策略融會(huì)貫通，能夠?qū)⒏鱾€(gè)知識(shí)點(diǎn)全部擊破，從而提高數(shù)學(xué)成績(jī)?；诖?，對(duì)數(shù)列求和的各種方法做出詳細(xì)講解，希望能夠幫助學(xué)生對(duì)數(shù)列求和方法有更深刻地掌握，能夠?qū)Ω鞣N題型得心應(yīng)手，從而提高數(shù)學(xué)成績(jī)。

關(guān)鍵詞：數(shù)列；數(shù)列求和；高中數(shù)學(xué)

中圖分類號(hào)：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9132（2017）33-0047-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.33.024

數(shù)列的求和問(wèn)題一直是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn)，像一些簡(jiǎn)單的等差數(shù)列、等比數(shù)列的解題方法比較簡(jiǎn)單，有一些較為淺薄的題目可以直接用等差數(shù)列公式、等比數(shù)列公式解答出題目的答案，但是像一些非等差數(shù)列和非等比數(shù)列就需要改變解題方法，這樣的數(shù)列問(wèn)題存在綜合性的特點(diǎn)，需要對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)有較好地掌握才能夠解答出正確答案，下面我針對(duì)一般的數(shù)列求和方法通過(guò)例題簡(jiǎn)單的講解。

一、對(duì)數(shù)列求和方法的認(rèn)識(shí)

我們?cè)谶M(jìn)行數(shù)列求和的時(shí)候通常會(huì)用到這幾個(gè)方法，首先是直接法，直接法用起來(lái)簡(jiǎn)單快捷，非常高效，在做非常簡(jiǎn)單的題目的時(shí)候我們可以用這種方法，另外是公式法，通過(guò)前人已經(jīng)總結(jié)出來(lái)的規(guī)律，我們只需要通過(guò)對(duì)問(wèn)題的簡(jiǎn)單觀察，查看是否符合公式要求，可以直接套用公式得出問(wèn)題的答案，但是這個(gè)方法需要我們對(duì)有關(guān)公式要能夠準(zhǔn)確記憶，如果不經(jīng)常運(yùn)用可能很快就忘記公式，從而不能在遇到問(wèn)題的時(shí)候有效解決，另外除了能夠運(yùn)用之外還需要有深刻的理解，可以在題目多變的時(shí)候靈活運(yùn)用公式，不能夠只是死板的將公式記住而不知道變通，所以綜合來(lái)說(shuō)，通過(guò)公式法來(lái)解決數(shù)列求和，可以節(jié)省我們的解題時(shí)間，而且使我們的解題方法更加有效準(zhǔn)確。其次是錯(cuò)位相減法，這種方法我們?cè)谧鲇嘘P(guān)數(shù)列求和問(wèn)題的時(shí)候是我們經(jīng)常使用的一種方法，在運(yùn)用這種方法的時(shí)候，要對(duì)題目仔細(xì)分析，再三反思，確定審題正確，而且在寫的時(shí)候要更加注意，以免出現(xiàn)寫錯(cuò)的情況，究其原因是因?yàn)橐话阌玫藉e(cuò)位相減法的題目項(xiàng)數(shù)是非常多的，所以如果沒(méi)有仔細(xì)細(xì)心的態(tài)度，就很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。最后是裂項(xiàng)相消法，這個(gè)方法顧名思義，是把一項(xiàng)進(jìn)行分裂，將其從一項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)、三項(xiàng)甚至是多項(xiàng)、然后用消除的方法求出前面項(xiàng)的和，這種方法適合的題型非常多，例如：等差型，三角函數(shù)型等。這些題型都可以運(yùn)用這種裂項(xiàng)相消法，因?yàn)榭梢赃\(yùn)用的題型非常多，所以對(duì)這種方法我們要有具體的了解，將其徹底掌握，從而能夠在遇到各種題型的時(shí)候，能夠靈活地將這種方法運(yùn)用上去，提高解題效率，下面我針對(duì)這幾種方法做具體講解與分析。

二、直接法

對(duì)數(shù)列的求和可以直接進(jìn)行求和。

例1：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+...+100的和。

分析：這個(gè)題目幾乎是在小學(xué)一年級(jí)的時(shí)候就經(jīng)常是被老師問(wèn)到的問(wèn)題，但是當(dāng)時(shí)只是涉及求和問(wèn)題，并沒(méi)有引進(jìn)數(shù)列的概念。而這個(gè)題目明顯是一個(gè)等差數(shù)列，針對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，我們可以直接通過(guò)高斯求和公式進(jìn)行求和。

高斯公式：和=（第一項(xiàng)的值 + 最后一項(xiàng)的值）×項(xiàng)數(shù) / 2

解：第一項(xiàng)是1，最后一項(xiàng)是100，所以（1+100）×100 / 2，所以這個(gè)題目的最后結(jié)果是5050。

三、公式法

（一）等差公式

等差數(shù)列是常見(jiàn)數(shù)列的一種，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示。

例如：1，3，5，7，9...2n-1。

通項(xiàng)公式為：an = a1+（n-1）×d。首項(xiàng)a1=1，公差d=2。

前n項(xiàng)和公式為：Sn = na1 + n（n-1）d/2 = n（a1 + an） / 2

例題：假設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，而且S2 = 12，S4 = 0，求：{an}的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)的和Sn

分析：從這個(gè)題目可以看出這是遞減等差數(shù)列，可以直接通等差公式進(jìn)行解題。

解：假設(shè)等差數(shù)列的第一項(xiàng)是a1，數(shù)列公差為d，那么可以得到2a1 + d = 12 和 4a1 + 6d = 0，通過(guò)運(yùn)算，可以知道a1 = 9， d = -6，所以通過(guò)an= a1 + （n-1）d可以得出an= 9 - 6 （n- 1） = - 6n + 15，而Sn = na1 + n（n-1）d/2，將a1 帶入到其中去可以得到Sn = -3n2+12n。

（二）等比公式

公式：當(dāng)q=1的時(shí)候，Sn=na1，當(dāng)q≠1的時(shí)候，

Sn=a1（1 - qn）/1-q性質(zhì)：（1） an = amqn-m

（2）若 m + n = p +q ，則 am × an = aq × ap

例題：已知log2x = 1，求x + x2 + x3 +...+xn的前n項(xiàng)和。

分析：從這個(gè)題目中可以很快地看出這是等比數(shù)列，所以可以直接將等比公式的公式運(yùn)用在上面。

解：因?yàn)閘og2x = 1，所以x = 2，所以通過(guò)求和公式Sn = x + x2 + x3 +...+xn = 2（1-2n） / （1-2）= 2n+1 - 2。

四、錯(cuò)位相減法

例題：求和Sn = 1/2 + 3/22 + ... +（2n - 1）/2n 。

分析：從這個(gè)題目可以看到被除數(shù)是等差數(shù)列，除數(shù)是等比數(shù)列，所以這個(gè)題目可以運(yùn)用錯(cuò)位相減法。

解：Sn = 1/2 + 3/22 + ... + （2n - 1） /2n ，將這個(gè)等式兩邊同時(shí)乘以1/2，得到（1/2） Sn = 1/22 + 3/23 + ... + 2n -3 / 2n + （2n-1） / 2n+1然后將兩個(gè)等式相減，就可以得到Sn = 3 - （2n+3） / 2n

五、裂項(xiàng)相消法

通過(guò)上文對(duì)數(shù)列求和方法的簡(jiǎn)單介紹與例題結(jié)合，分析了常用的數(shù)列求和方法，但是在數(shù)列求和上可以用的方法并不僅限于這幾種，其他的方法本文就不一一介紹了，希望可以對(duì)學(xué)生在做數(shù)列求和的時(shí)候有所幫助。

參考文獻(xiàn)：

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