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        空間第二類曲線積分計算方法

        2017-10-20 09:59:42董紅昌
        課程教育研究 2017年37期
        關鍵詞:參數(shù)方程

        【摘要】研究了空間第二類曲線積分的三種基本計算方法,并通過實例來說明每種方法的具體應用和解題時需注意的問題。

        【關鍵詞】第二類曲線積分 參數(shù)方程 斯托克斯公式

        【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089(2017)37-0151-02

        初學者對平面第二類曲線積分計算掌握比較熟練,對處理空間第二類曲線積分問題往往無從下手。本文介紹計算空間第二類曲線積分常用的三種方法,并說明具體解題時需注意的問題。

        一、參數(shù)方程法

        根據(jù)曲線參數(shù)方程計算空間第二類曲線積分是參數(shù)法計算平面曲線積分情形的推廣,也是計算空間第二類曲線積分最常用的方法之一。

        參數(shù)方程法內(nèi)容如下:設有向曲線 的參數(shù)方程為x= (t)y=?鬃(t)z=?棕(t),則 P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz= {P[ (t),?鬃(t),?棕(t)] '(t)+Q[ (t),?鬃(t),?棕(t)]?鬃'(t)+R[ (t),?鬃(t),?棕(t)]?棕'(t)]}dt.

        其中下限?琢對應 的起點,上限?茁對應 的終點。

        用參數(shù)法計算空間第二類曲線積分,關鍵是寫出曲線的參數(shù)方程。高等數(shù)學習題和考研題中,第二類曲線積分涉及的空間曲線最常見的是線段和圓兩種類型。

        下面各舉一例說明算法和需要注意問題。

        例1 計算 xdx+ydy+(2x+y-z)dz,其中 為由A(1,1,1)到B(2,3,4)的直線段。

        解 直線段AB的方程是 = = ,化為參數(shù)方程得:x=t+1,y=2t+1,z=3t+1,t從0變到1.

        所以 xdx+ydy+(2x+y-z)dz= [(t+1)+(2t+1)·2+(t+2)·3]dt=13.

        注1 當直線段垂直某個坐標軸時,則直線段對該坐標的第二類曲線積分為零。

        例2 計算 xyz d z,其中 是由平面y=z截球面x2+y2+z2=1所得曲線,從z軸正向看去,沿逆時針方向。

        解 由y=zx +y +z =1得x +2y =1,故 的參數(shù)方程可設為x=cos ty= sin tz= sin t,t從0變到2?仔. xyz d z= cos t sin tdt= ×4 cos2t(1-cos2t)dt= ( × - × × )=

        注2 曲線化為圓參數(shù)方程時,主要利用同角的正弦余弦平方和為1這個公式。

        注3 曲線化為圓參數(shù)方程時,根據(jù)曲線的方向,寫準參數(shù)的起止范圍。

        二、 斯托克斯公式法

        斯托克斯公式是格林公式的推廣,表達了曲面積分和沿曲面的邊界曲線的曲線積分之間的聯(lián)系,具體可表達為 dydz dzdx dxdy P Q R= Pdx+Qdy+Rdz,或 cos ?琢 cos ?茁 cos ?酌 P Q Rd S= Pdx+Qdy+Rdz,其中 的正向與 的側(cè)符合右手規(guī)則,{cos ?琢,cos ?茁,cos ?酌}為 在點(x,y,z)處的法向量。

        例 3 計算 (y2-z2)dx+(2z2-x2)dy+(3x2-y2)d z,其中 是平面x+y+z=2與柱面x+y=1的交線,從z軸正向看, 為逆時針方向。

        (y2-z2)dx+(2z2-x2)dy+(3x2-y2)dz= y2-z2 2z2-x2 3x2-y2 d S= (-8x-4y-6z) d S= [-8x-4y-6(2-x-y)] × dx dy= (-12-2x+2y)dx dy =-12 dxdy+0=-24.

        注4 斯托克斯公式計算曲線積分,曲面的側(cè)和曲線的正向一定要滿足右手規(guī)則。

        三、投影算法

        投影算法就是把空間曲線投影到某一個坐標面,轉(zhuǎn)化為平面曲線積分計算。

        例4 計算 (z-y)dx+(x-z)dy+(x-y)dz,其中 是曲線x2+y2=1x-y+z=2,從z軸正向看, 為逆時針方向。

        (z-y)dx+(x-z)dy+(x-y)dz= L[(2-x+y)-y]dx+[x-(2-x+y)]dy+(x-y)d(2-x+y)= L(2-2x+y)dx+(3x-2y-2)dy= (3-1)dxdy=2?仔.

        其中L為 在坐標面xOy上的投影,方向為逆時針方向,D為L圍成的閉區(qū)域,即D:x2+y2≤1.

        空間第二類曲線積分的三種基本計算方法,各有自己特點。在解題時,需根據(jù)具體問題選擇比較合適的方法來計算。

        參考文獻:

        [1]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學[M].7版.北京:高等教育出版社,2014.

        [2]周建新.曲線積分中的參數(shù)方程法[J].湖北師范學院學報,2008,28(3):94-97.

        [3]高楊,王賀元. 第二類空間曲線積分的投影算法[J]. 高等數(shù)學研究,2013,16(4):61-62.

        作者簡介:

        董紅昌(1982年1月-),男,學歷:博士研究生,主要從事數(shù)學方法論與數(shù)學教育研究。

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