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        一道模考題引發(fā)的思考

        2017-09-01 14:18:56劉在云
        關(guān)鍵詞:參數(shù)方程坐標(biāo)系

        劉在云

        [摘 要] 教師在平時(shí)的教學(xué)之余,對習(xí)題的整理、加工與反思對學(xué)生解決復(fù)雜問題有舉一反三的作用,讓學(xué)生從一道習(xí)題的“一斑”窺數(shù)學(xué)解題中一類問題之“全豹”. 通過一道模考試題對《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》的研究可以讓學(xué)生解決這一類問題.

        [關(guān)鍵詞] 坐標(biāo)系;參數(shù)方程;極坐標(biāo)方程

        筆者近日在整理教學(xué)資料時(shí),偶然發(fā)現(xiàn)一道好題,這是2016年蘇錫常鎮(zhèn)高三三模的一道考查《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》的附加題,回味之余,有些隨想,寫下來,與讀者共勉.

        題目:在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l過點(diǎn)M(1,2),傾斜角為,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C:ρ=6cosθ,若直線l與圓C相交于A,B兩點(diǎn),求MA·MB的值.

        本題主要考查了直線的點(diǎn)斜式方程、曲線的普通方程與極坐標(biāo)方程的互化、直線的參數(shù)方程、直線與圓的位置關(guān)系、弦長的求法、點(diǎn)到直線的距離公式、方程組的思想方法等主干知識,涉及知識面廣,解題方法多元化,全面考查了學(xué)生分析問題及解決問題的綜合能力,對提高學(xué)生的綜合發(fā)散思維能力及數(shù)學(xué)素養(yǎng)有很大幫助.

        要解決本題,學(xué)生必須認(rèn)真讀題、審題,了解該題所涉及知識點(diǎn),并能夠正確地回憶出相關(guān)概念、公式:

        (1)直線的點(diǎn)斜式方程. 直線方程是江蘇高考的八個(gè)C級考點(diǎn)之一,教材中學(xué)習(xí)了五種直線方程的基本形式,其中,直線的點(diǎn)斜式方程是其他四種方程之根本,學(xué)生如若對直線方程的點(diǎn)斜式不能正確寫出,那么此題的后續(xù)解答就無法進(jìn)行下去.

        (2)曲線的普通方程與極坐標(biāo)方程的互化.普通方程與極坐標(biāo)方程的互化,其實(shí)就是將平面直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)與極坐標(biāo)系的極點(diǎn)重合,將極軸與x軸的正半軸重合,在相同的長度單位下,將直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化,進(jìn)而將曲線的方程進(jìn)行互化. 準(zhǔn)確地進(jìn)行方程的轉(zhuǎn)化,是解決與極坐標(biāo)有關(guān)問題的關(guān)鍵.

        (3)相關(guān)重要公式. 涉及直線與圓相交的問題,大多數(shù)情況下會與點(diǎn)到直線距離公式、弦長的求法關(guān)聯(lián)在一起,數(shù)形結(jié)合思想在此種題型中應(yīng)用也非常廣泛. 這就要求學(xué)生平時(shí)在解題時(shí)必須養(yǎng)成作簡圖的好習(xí)慣,輔助解題,對半徑、弦、弦心距構(gòu)成的直角三角形要牢記于心.

        (4)直線的參數(shù)方程. 學(xué)生在學(xué)習(xí)參數(shù)方程時(shí),往往忽視在已知條件下寫直線參數(shù)方程的鍛煉,而習(xí)慣于根據(jù)直線的參數(shù)方程,消去參數(shù),寫出直線的普通方程. 一旦出題者顛覆思維定式,讓題目在普通方程下求解變得計(jì)算量非常大時(shí),考生就會被卡住,失去此題的分?jǐn)?shù).

        另外,若如題目意圖就是想讓考生利用直線參數(shù)方程去解答,那么參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義必定考查,這點(diǎn)一定切記.

        學(xué)生只有對上述知識點(diǎn)有了清晰的認(rèn)識與掌握之后,才能進(jìn)入后續(xù)的解題,當(dāng)然,解題思路與方法的選擇與學(xué)生個(gè)人對相關(guān)知識的掌握和熟練程度有關(guān).下面給出了三個(gè)學(xué)生考試時(shí)的解答過程.

        學(xué)生甲:由題意,可得直線l的普通方程:y-2=(x-1),即x-y+2-=0.

        將圓C:ρ=6cosθ化成普通方程為:

        x2+y2-6x=0,聯(lián)立方程組

        x-y+2-=0,

        x2+y2-6x=0,將直線方程代入圓的方程,有4x2+(4-12)x+7-4=0,……

        點(diǎn)評:再往后,學(xué)生甲解不下去了,可以預(yù)見,如若繼續(xù)解下去,要求出交點(diǎn)A,B的坐標(biāo),再用兩點(diǎn)距離公式求MA,MB,計(jì)算量是多么巨大,在考試所限時(shí)間之內(nèi)根本無法解得出來.

        學(xué)生乙:由題意,可得直線l的普通方程:y-2=(x-1),即x-y+2-=0.

        將圓C:ρ=6cosθ化成普通方程為:(x-3)2+y2=9,圓心C(3,0),半徑r=3,所以C到直線l的距離CH==+1.

        因?yàn)镃M=2,所以HM=-1,

        而AH==,

        所以MA·MB=(+-1)[-(-1)]=5-2-4+2=1.

        [l][C][A][H][M][B]

        圖1

        點(diǎn)評:學(xué)生乙的解法巧妙地運(yùn)用了求弦長的策略,在學(xué)生甲解法的基礎(chǔ)上提升不少,雖解出了正確答案,但在數(shù)據(jù)的處理上需要不少的技巧.

        學(xué)生丙:由題意,將圓C:ρ=6cosθ化成普通方程為:x2+y2-6x=0,寫出直線l的參數(shù)方程:x=1+t

        cos,

        y=2+t

        sin, (t為參數(shù)),即

        x=1+t,

        y=2+t,(t為參數(shù)),將直線l的參數(shù)方程代入圓C:x2+y2-6x=0中,整理,有t2+2(-2)t-1=0,所以t1·t2=-1,所以MA·MB=

        t1·t2

        =1.

        點(diǎn)評:不難看出,學(xué)生丙的解法比學(xué)生甲、學(xué)生乙更勝一籌,由于運(yùn)用了直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義,減少了計(jì)算量,所以因計(jì)算帶來失誤的概率會大大降低,解題所需時(shí)間會大大減少.

        坐標(biāo)系與參數(shù)方程的題目,是附加題第21題選做題的第3題,屬于容易題. 學(xué)生能否拿到滿分,主要取決于學(xué)生對基本概念、公式的掌握程度,解題時(shí)能否將平時(shí)所學(xué)的零碎的知識有效地整合在一起,轉(zhuǎn)化成解題能力,能否正確、規(guī)范地書寫解題過程.

        在高三三輪復(fù)習(xí)教學(xué)中,教師應(yīng)通過典型的考題,引導(dǎo)學(xué)生回顧、整合以前所學(xué)知識,要求學(xué)生在解題后進(jìn)行反思,透過題目表象,看清出題者的意圖,長此以往,定能幫助學(xué)生達(dá)到“解一道題,會一類題”的高度.

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