鄧小宇

【摘 要】二階導數(shù)的計算是高等數(shù)學中非常重要的教學內容。由于多元復合函數(shù)和參數(shù)方程的特殊性，多元復合函數(shù)和參數(shù)方程的二階導數(shù)學生掌握起來比較困難。因此，本文簡單的談談這兩類二階導數(shù)的計算方法。

【關鍵詞】多元復合函數(shù)；參數(shù)方程；二階導數(shù)

在高等數(shù)學的教學中，二階導數(shù)的計算是教學中的一個難點。二階導數(shù)是在一階導數(shù)的基礎上再求一次導，各種類型下函數(shù)的一階導數(shù)的計算學生基本上都沒問題，但是不同類型下的二階導數(shù)的計算思路各不相同，學生掌握起來比較困難。因此，本文簡單談談多元復合函數(shù)和參數(shù)方程的二階導數(shù)的計算方法。

1 多元復合函數(shù)的二階導數(shù)

多元復合函數(shù)的類型多種多樣，這里僅以一種類型加以說明。

設z=f（u，v），u=φ（x，y），v=ψ（x，y），如果函數(shù)u=φ（x，y），v=ψ（x，y）都在點（x，y）具有對x及對y的偏導數(shù)，函數(shù)z=f（u，v）在對應點（u，v）具有連續(xù)偏導數(shù)，求，或的二階偏導數(shù)。多元復合函數(shù)的二階偏導數(shù)的計算是在一階偏導數(shù)的基礎上再求一次偏導數(shù)。必須注意的是，在第二次求導數(shù)的過程中，具有與變量z相同的函數(shù)結構，、得看成是以u、v為中間變量，x、y為自變量的復合函數(shù)。

例1、設w=f（x+y+z，xyz），f具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求。

2 由參數(shù)方程確定的函數(shù)的二階導數(shù)

設參數(shù)方程的一般形式為x=φ（t）y=ψ（t）α≤t≤β，其確定的一元函數(shù)為y=f（x）。由復合函數(shù)以及反函數(shù)的求導法則，有

如果x=φ（t）、y=ψ（t）還是二階可導的，那么從（1）式又可得到函數(shù)的二階導數(shù)。此時，（1）式兩端同時對變量x求導。右端變量t看成是變量x的函數(shù)，t的表達式看成是以t為中間變量，x為自變量的復合函數(shù)。根據(jù)復合函數(shù)的求導法則以及反函數(shù)的求導法則，即可得到參數(shù)方程的二階導數(shù)。

例2、求參數(shù)方程x=costy=sint確定的函數(shù)y=f（x）的二階導數(shù)。

由以上例題可知，只要弄清楚變量之間的關系，求解多元復合函數(shù)以及參數(shù)方程的二階導數(shù)就不再是一件困難的事情了。

【參考文獻】

[1]吳傳生.經(jīng)濟數(shù)學——微積分[M].高等教育出版社，2014.

[2]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學[M].高等教育出版社，2011.

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