張晶

摘 要：教育的不斷改革與發(fā)展，對學生各項能力的要求越來越高，邏輯思維能力和分析表達能力是學生必不可少的兩項能力，而學生的這兩項能力并非與生俱來，而是在后天的不斷鍛煉中習得的。高中階段的數(shù)學題目邏輯性較強，教師對學生的解題能力進行培養(yǎng)有助于提高學生的各項能力，促進學生的全面發(fā)展。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學；解題技巧；數(shù)形結(jié)合

數(shù)學思想是只顯示時間的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果，是數(shù)學的精髓。教師在對學生解題能力的培養(yǎng)過程中引入各類數(shù)學思想，有利于培養(yǎng)學生的思維能力，使學生掌握各類解題技巧，不斷培養(yǎng)學生的解題能力，促進其思維能力的發(fā)展。本文著重論述“數(shù)形結(jié)合”思想在高中數(shù)學解題中的應(yīng)用。

一、以數(shù)輔形解決幾何類問題

高中階段的幾何證明題往往需要學生在圖中作輔助線，尋求平行、垂直等條件，這樣容易在尋求條件時出現(xiàn)差錯。而在解決幾何類問題時用代數(shù)方法輔助解決，有利于將幾何證明過程中復(fù)雜的一部分轉(zhuǎn)化為相對簡單的代數(shù)運算問題。例如，在教學“計算二面角的大小”的相關(guān)應(yīng)用題時，教師應(yīng)為學生指出：二面角大小的一般求法是找出兩個平面的法向量，使兩個法向量構(gòu)成一個三角形，在三角形內(nèi)找到兩個法向量對應(yīng)邊形成的夾角，并通過余弦定理計算大小，而在尋找兩個平面的法向量時，一般要作許多輔助線，從而使原圖變得混亂，不利于學生的進一步作圖。此時較為簡單的方法是，以圖中的一點為圓心，構(gòu)建一個空間直角坐標系，并假設(shè)其中一邊長度為a，列出圖中所有點對應(yīng)的坐標，由于每個面的法向量都垂直于這個平面，因此可以通過平面中兩條邊對應(yīng)向量的表達式計算出兩個平面法向量的表達式，通過幾何關(guān)系判斷出“二面角與其法向量夾角的正弦值相等”這一條件，通過關(guān)系式“■·■=A·B·cosα”算出兩平面法向量夾角的余弦值，再通過“對于任意角α，它的正弦值平方加余弦值平方和等于一”這一條件計算出兩法向量夾角的正弦值，也就計算出了二面角的正弦值，假設(shè)二面角正弦值為b，那么二面角的大小就為arcsinb。不單單是二面角問題，很多幾何類問題都可以用代數(shù)知識輔助解答，教師在教學中應(yīng)告訴學生以數(shù)輔形的思路，不斷提高學生的解題能力。

二、以形助數(shù)解決代數(shù)類問題

高中階段的代數(shù)運算問題往往步驟繁多且運算量大，對學生的計算能力要求很高，而不同學生之間的計算能力存在很大差異，因此，教師對代數(shù)運算問題不能一味依賴學生的計算能力，而要用“形”減少學生的計算量。例如，在教學“直線與圓的位置關(guān)系”一課的相關(guān)題目時，常見題型為給出含有未知數(shù)的圓和直線的表達式以及圓和直線相切的條件，讓學生判斷未知數(shù)是多少，即讓學生計算出圓和直線的表達式分別是什么。學生對相切的第一感覺往往是Δ=0，即直線方程和圓方程聯(lián)立后的函數(shù)Ax2+Bx+C=0滿足B2-4AC=0，而直線方程是一次方程，圓的方程是二次方程，學生在聯(lián)立過程中由于運算量較大，在對平方進行運算時很有可能出現(xiàn)錯誤。教師在教學過程中，應(yīng)為學生畫出直線與圓相切的圖像，讓學生通過觀察得出“當直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑”這一結(jié)論，從而利用“方程式為（x-a）2+（y-b）2=r2的圓圓心坐標為（a，b）、半徑為r”以及“點（a，b）到直線Ax+By+C=0的距離為■”兩個條件，列出“圓心到直線距離等于圓的半徑”這一條件對應(yīng)的等式，解出未知數(shù)的值。在教學計算量較大的代數(shù)問題時，教師應(yīng)讓學生畫出圖形，通過對圖形的觀察發(fā)現(xiàn)圖形的特點，從而發(fā)現(xiàn)更簡單的方法，減少運算量，避免因為運算量過大致使運算出錯的情況發(fā)生。

三、不斷培養(yǎng)學生養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的思維模式

數(shù)學思想是數(shù)學的精髓，使學生對其良好掌握和使用的目的不僅在于增強自身解題能力、提高自身數(shù)學成績，更在于學生在對其的運用過程中可以形成自身的思維模式，培養(yǎng)自身的思維能力。因此，教師在對學生引入數(shù)形結(jié)合思想的同時，相較于讓學生體會數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)勢，更應(yīng)該在解題過程中鼓勵學生不斷對數(shù)形結(jié)合思想進行運用，不斷鼓勵學生，使學生逐漸具有數(shù)形結(jié)合的思維模式。高中階段許多類型的應(yīng)用題都可以運用到數(shù)形結(jié)合思想，例如點和圓及直線和圓的位置關(guān)系、橢圓的第二定義、圓的垂徑定理等等，教師在對這些問題進行教學時，要讓學生不斷對數(shù)形結(jié)合思想進行應(yīng)用，使學生不斷熟悉這種思想，使數(shù)形結(jié)合思想成為自身解題的一種思維模式。

數(shù)學思想在教學中的引入與應(yīng)用，不僅有利于提高學生解題能力，更有利于不斷培養(yǎng)學生的邏輯分析和思維能力，在提高學生數(shù)學解題能力的同時，促進學生全面發(fā)展。本文結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想的定義及特點，從以數(shù)輔形解決幾何類問題、以形助數(shù)解決代數(shù)類問題以及不斷培養(yǎng)學生養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的思維模式三個方面，對高中數(shù)學教學中“數(shù)形結(jié)合”思想的應(yīng)用進行了探討，并提出相關(guān)建議，以促進高中生數(shù)學解題能力的不斷提高以及思維能力的不斷提升。

參考文獻：

[1]孫斌.高中數(shù)學數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的探究[J].新校園（學習），2011（12）.

[2]溫洪.高中數(shù)學中的數(shù)形結(jié)合思想：高中數(shù)學數(shù)形結(jié)合思想教學分析[J].新課程學習，2014（11）.