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        巧找等量關(guān)系,破解圓錐曲線求離心率類高考題

        2017-08-09 12:14:40黃昌杰
        關(guān)鍵詞:離心率圓錐曲線

        黃昌杰

        【摘要】圓錐曲線求離心率類的高考題如果能很好地抓住等量關(guān)系這一思想,解這類題思路會非常清晰,而且學(xué)生容易把握.

        【關(guān)鍵詞】圓錐曲線;離心率;等量關(guān)系

        求圓錐曲線的離心率的高考題,對一些學(xué)生特別是基礎(chǔ)中等以下的學(xué)生來說,往往比較有迷惑性,有時隨意列出幾個式子,但卻不知道能不能解出自已想要的結(jié)果來.眾所周知,我們從小學(xué)開始,“找等量關(guān)系,列方程,解應(yīng)用題”的思想就慢慢在我們的大腦中根深蒂固,這種思想曾經(jīng)在我們解應(yīng)用題時給我們帶來過極大方便.對于高中圓錐曲線的題目來說,我們同樣可以用這種思想獲得一些靈感.下面結(jié)合筆者長期的教學(xué)經(jīng)驗,主要以橢圓、雙曲線求離心率類的高考題為例,談一點教學(xué)心得,以供大家參考.

        (一)橢圓隱含有等量關(guān)系a2=b2+c2,雙曲線隱含等量關(guān)系c2=a2+b2,所以只要從這類題目中尋找到另一個等量關(guān)系建立方程,即知道a,b,c三個字母中兩個字母的等式,就可以用一個字母把另外兩個字母表示出來,從而把離心率求出來.

        例1(2016高考山東卷理)已知雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四個頂點在E上,AB,CD的中點為E的兩個焦點,且2|AB|=3|BC|,則E的離心率是.

        解析假設(shè)點A在第一象限,點B在第四象限,則Ac,b2a,Bc,-b2a,所以|AB|=2b2a,|BC|=2c,由2|AB|=3|BC|等量關(guān)系結(jié)合c2=a2+b2等量關(guān)系,得離心率e=2或e=-12(舍去),所以E的離心率為2.

        例2(2015高考山東卷理)平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線與拋物線C2:x2=2py(p>0)交于點O,A,B,若△OAB的垂心為C2的焦點,則C1的離心率為.

        解析設(shè)OA所在的直線方程為y=bax,則OB所在的直線方程為y=-bax,

        解方程組y=bax,x2=2py, 得x=2pba,y=2pb2a2,

        所以點A的坐標(biāo)為2pba,2pb2a2,

        拋物線的焦點F的坐標(biāo)為0,p2.

        因為F是△OAB的垂心,

        所以可以建立kOB·kAF=-1等量關(guān)系,

        所以-ba2pb2a2-p22pba=-1b2a2=54.

        所以e2=c2a2=1+b2a2=94e=32.

        例3(2014年浙江卷理)設(shè)直線x-3y+m=0(m≠0)與雙曲線x2a2-y2b2=1(a>b>0)兩條漸近線分別交于點A,B,若點P(m,0)滿足|PA|=|PB|,則該雙曲線的離心率是.

        解析由雙曲線的方程可知,它的漸近線方程為y=bax,與y=-bax,分別于x-3y+m=0,聯(lián)立方程組,解得A-ama-3b,-bma-3b,B-ama+3b,bma+3b,設(shè)AB的中點為Q,則Q-ama-3b+-ama+3b2,-bma-3b+bma+3b2,由|PA|=|PB|,則PQ⊥AB,所以得kPQkAB=-1等量關(guān)系,故-bma-3b+bma+3b2-ama-3b+-ama+3b2-m=-3,解得2a2=8b2=8(c2-a2),即c2a2=54,ca=52.

        (二)常見等量關(guān)系

        正弦定理、余弦定理、勾股定理、三角形相似、垂直的兩個向量之積為0、斜率存在的兩條直線斜率之積為-1等等,這些往往是建立方程的依據(jù).以上只是拋磚引玉,讀者只要仔細觀察題目,必然會發(fā)現(xiàn)出題人會在一些字眼里暗示了等量關(guān)系,此處往往為解題的突破口.同時,我們還要提高學(xué)生解復(fù)雜方程組的計算能力,這樣才能更好更快地解答此類問題.

        【參考文獻】

        [1]課程教材研究所.普通高中課程標(biāo)準實驗教科書·數(shù)學(xué)[M].北京:人民教育出版社,2007.

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