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        經(jīng)典排隊(duì)模型在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

        2018-05-09 01:44:52雷湘池
        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)建模應(yīng)用

        雷湘池

        【摘要】近些年來,人類社會(huì)正處在由工業(yè)化社會(huì)向信息化社會(huì)過渡的變革,人們對數(shù)學(xué)模型更加關(guān)注,數(shù)學(xué)模型在各個(gè)領(lǐng)域中的應(yīng)用愈加廣泛,排隊(duì)論作為數(shù)學(xué)建模中的一個(gè)經(jīng)典模型之一,在數(shù)學(xué)建模中有著廣泛應(yīng)用,也是要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模必修的一門課程。本文將概括性介紹一些經(jīng)典排隊(duì)模型在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用,希望能夠?qū)θ藗儗W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模起到幫助。

        【關(guān)鍵詞】經(jīng)典排隊(duì)模型;數(shù)學(xué)建模;應(yīng)用

        【中圖分類號(hào)】O159 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B 【文章編號(hào)】2095-3089(2017)32-0160-02

        引言

        今天,人類社會(huì)正處在飛速前進(jìn)中,并逐步過渡向信息化社會(huì)。在飛速發(fā)展中,社會(huì)進(jìn)程呈現(xiàn)出兩個(gè)重要的特點(diǎn):計(jì)算機(jī)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用;數(shù)學(xué)在各大學(xué)科中的地位逐漸提高。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的更新?lián)Q代,數(shù)據(jù)挖掘與科學(xué)計(jì)算的作用愈發(fā)引起人們的廣泛關(guān)注,并成為人們探索和研究自然界、人類社會(huì)的三大基本方法之一,而數(shù)學(xué)建模的地位也隨之上升。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模教學(xué)有助于學(xué)生形成自覺應(yīng)用知識(shí)解決問題的思維,從而培養(yǎng)我們重視應(yīng)用的意識(shí)。由于重視應(yīng)用,從而主動(dòng)獲取多方面的理論知識(shí),進(jìn)而獲得更多實(shí)踐機(jī)會(huì),更加重視應(yīng)用能力;由于善于應(yīng)用,才能聯(lián)系理論與實(shí)踐,并形成良性的促進(jìn)和循環(huán)。

        數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型解決問題的過程。主要包括:在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,分析問題、構(gòu)建模型、求解結(jié)論,驗(yàn)證結(jié)果并改進(jìn)模型,最終解決實(shí)際問題。數(shù)學(xué)建模應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的基本手段,也是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力。在數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的形成過程中,積累用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)。我們能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解模型,并嘗試基于現(xiàn)實(shí)背景驗(yàn)證模型和完善模型;能夠提升應(yīng)用能力,增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)。

        一、排隊(duì)論模型概述

        排隊(duì)可以說是在日常生活中經(jīng)常會(huì)遇到的現(xiàn)象了,上到看病、參觀博物館,下到買菜、等車之類問題,都常常要排隊(duì)。排隊(duì)的關(guān)鍵就在于等待的過程,沒有等待就構(gòu)不成排隊(duì),因此,排隊(duì)要求服務(wù)的數(shù)量大于等于服務(wù)機(jī)構(gòu)的容量。

        于是,排隊(duì)論應(yīng)運(yùn)而生了。排隊(duì)論(Queuing Theory)屬于運(yùn)籌學(xué)的一種方法,主要用來研究排隊(duì)時(shí)間和等待服務(wù)時(shí)間。通過選擇各種排隊(duì)系統(tǒng),應(yīng)用概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)科的方法,來解決相應(yīng)排隊(duì)系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)和最優(yōu)控制等等問題,屬于是數(shù)學(xué)建模優(yōu)化問題的分支。

        在排隊(duì)論里,通常把等待服務(wù)的甲方稱為“顧客”,顧客可以是人,也可以是物,而提供服務(wù)的乙方則可以被稱為“服務(wù)臺(tái)”或“服務(wù)員”。顧客與服務(wù)員共同組成了服務(wù)系統(tǒng)。首先,顧客為了獲得某種服務(wù)到達(dá)系統(tǒng),而系統(tǒng)中已有人接受服務(wù),因此顧客不能一到達(dá),就立刻獲得服務(wù),并且該系統(tǒng)是允許排隊(duì)等待的,此時(shí)顧客可以加入等待隊(duì)伍,等獲得服務(wù)之后再離開系統(tǒng),滿足上述條件,便成為了一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)。

        排隊(duì)論就是為解決上述問題應(yīng)運(yùn)而生的一門學(xué)科,本文主要研究排隊(duì)論在數(shù)學(xué)建模中應(yīng)用。

        二、排隊(duì)論基礎(chǔ)

        1.排隊(duì)系統(tǒng)的特征

        一個(gè)完整的排隊(duì)論系統(tǒng),有如下三個(gè)特征:

        (1)請求服務(wù)的人或物——顧客;

        (2)為顧客服務(wù)的人或物——服務(wù)員或服務(wù)臺(tái);

        (3)整個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)也是隨機(jī)的。

        2.排隊(duì)系統(tǒng)的基本組成部分

        一個(gè)完整的排隊(duì)系統(tǒng)應(yīng)該有如下三個(gè)部分:輸入過程、服務(wù)規(guī)則、服務(wù)臺(tái)。

        要求服務(wù)的顧客按什么規(guī)律到達(dá)相應(yīng)的排隊(duì)系統(tǒng)的過程指輸入過程,也可以稱其為顧客流。

        通常情況下,我們可以從以下三個(gè)方面來描述一個(gè)輸入過程。

        (1)顧客總體數(shù)。也可以被稱為是輸入源或顧客源。顧客總體數(shù)既可以是有限的,又可以是無限的。舉例來說,十字路口等紅燈的車輛總數(shù)可以認(rèn)為是無限的,而有限的例子有,某個(gè)手機(jī)店因故障待修的手機(jī)。

        (2)顧客的到達(dá)方式。

        (3)顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔的分布或者是顧客流的概率分布。顧客流的概率分布一般下面幾種,定長分布、二項(xiàng)分布、Poisson分布(最簡單流)以及Erlang分布等等。

        服務(wù)規(guī)則:通常情況下,可分為損失制、等待制、混合制。

        服務(wù)臺(tái):從三個(gè)方面來描述:

        (1)服務(wù)臺(tái)數(shù)量及構(gòu)成形式從數(shù)量上來看,服務(wù)臺(tái)有單服務(wù)臺(tái)和多服務(wù)臺(tái)之分.從構(gòu)成形式上來看,服務(wù)臺(tái)有:

        ①單隊(duì)——單服務(wù)臺(tái)式;

        ②單隊(duì)——多服務(wù)臺(tái)并聯(lián)式;

        ③多隊(duì)——多服務(wù)臺(tái)并聯(lián)式;

        ④單隊(duì)——多服務(wù)臺(tái)串聯(lián)式;

        ⑤單隊(duì)——多服務(wù)臺(tái)并串聯(lián)混合式

        以及多隊(duì)——多服務(wù)臺(tái)并串聯(lián)混合式等等。

        (2)服務(wù)方式:在某一時(shí)刻接受服務(wù)的顧客數(shù),它有單個(gè)服務(wù)和成批服務(wù)兩種。

        (3)服務(wù)時(shí)間的分布:一般情況下,對每一個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間是一種隨機(jī)變量。

        三、排隊(duì)模型在數(shù)學(xué)建模中的三種應(yīng)用模式

        一般情況下,排隊(duì)系統(tǒng)的一般決策過程有如下三種:

        ①根據(jù)已知條件繪制狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度圖;

        ②依據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度圖,寫出各穩(wěn)態(tài)概率之間的關(guān)系;

        ③求出P0及Pn;

        ④計(jì)算各項(xiàng)運(yùn)行指標(biāo);

        ⑤用系統(tǒng)運(yùn)行指標(biāo),來構(gòu)造一個(gè)目標(biāo)函數(shù),從而對系統(tǒng)優(yōu)化.

        排隊(duì)論模型主要有以下幾種:

        (1)M/M/n/n排隊(duì)模型

        顧客到達(dá)的間隔時(shí)間呈現(xiàn)負(fù)指數(shù)分布,設(shè)參數(shù)為λ;

        顧客接受服務(wù)的時(shí)間呈現(xiàn)負(fù)指數(shù)分布,設(shè)參數(shù)為μ;

        系統(tǒng)有n個(gè)服務(wù)臺(tái);

        系統(tǒng)最多容納n個(gè)顧客;

        系統(tǒng)的狀態(tài)空間

        (2)M/M/n排隊(duì)模型

        顧客到達(dá)的間隔時(shí)間呈現(xiàn)負(fù)指數(shù)分布,設(shè)參數(shù)為λ;

        顧客接受服務(wù)的時(shí)間呈現(xiàn)負(fù)指數(shù)分布,設(shè)參數(shù)為μ;

        系統(tǒng)有n個(gè)服務(wù)臺(tái);

        系統(tǒng)容量沒有限制;

        系統(tǒng)的狀態(tài)空間

        (3)M/M/n/m(m>n)排隊(duì)模型

        顧客到達(dá)的間隔時(shí)間呈現(xiàn)負(fù)指數(shù)分布,設(shè)參數(shù)為λ;

        顧客接受服務(wù)的時(shí)間呈現(xiàn)負(fù)指數(shù)分布,設(shè)參數(shù)為μ;

        系統(tǒng)有n個(gè)服務(wù)臺(tái);

        系統(tǒng)最多容納m個(gè)顧客;

        系統(tǒng)的狀態(tài)空間

        四、以醫(yī)院系統(tǒng)為例分析排隊(duì)論的應(yīng)用

        醫(yī)院是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)?;颊叩介T診就診、等待住院等,都有可能碰到需要排隊(duì)等待接受服務(wù)的情況。尤其是遇到病人需要住院動(dòng)手術(shù)的情況,醫(yī)院就得根據(jù)醫(yī)院已有的病床,考慮安排病人做于術(shù)的時(shí)間、入院的時(shí)間、出院的時(shí)間等等;若病人較多時(shí),還得考慮安排哪種類型的病人做手術(shù)、人院、出院等;同時(shí)還得根據(jù)醫(yī)院的各方面條件,考慮安排多少個(gè)病人做手術(shù)、人院、出院等。若醫(yī)院病床安排的比較合理,則在醫(yī)院的病人不會(huì)顯得擁擠,病人等待的時(shí)間也不會(huì)過長,接受服務(wù)也比較快,病人會(huì)比較滿意;若安排的不合理,則在醫(yī)院的病人就會(huì)顯得擁擠,病人等待的時(shí)間過快,病人會(huì)比較滿意;若安排的不合理,則在醫(yī)院的病人就會(huì)顯得擁擠,病人等待的時(shí)間過長,接受服務(wù)較慢,病人會(huì)滿腹怨言,從而影響醫(yī)院的效益。

        我們可把醫(yī)院的病床位看成并聯(lián)的服務(wù)窗口,查詢資料知服務(wù)時(shí)間的概率分布服從負(fù)指數(shù)分布,單位時(shí)問內(nèi)到達(dá)數(shù)的概率分布服從泊松分布,則醫(yī)院服務(wù)系統(tǒng)近似為多服務(wù)窗等待制排隊(duì)模型M/M/系統(tǒng),因此可以用該模型的指標(biāo)對各種策略模型進(jìn)行評價(jià)。

        這樣就可以運(yùn)用排隊(duì)論對某一醫(yī)院的病床安排情況進(jìn)行評價(jià),并對該醫(yī)院病床數(shù)配備進(jìn)行模擬,得到較合適的病床配備數(shù)。對于一般的醫(yī)院,可依照上述方法,根據(jù)每個(gè)醫(yī)院病床安排的具體情況運(yùn)用排隊(duì)系統(tǒng)的主要指標(biāo)對其進(jìn)行評價(jià),并對病床數(shù)進(jìn)行合理的配置。

        該模型的優(yōu)點(diǎn)在于,人流進(jìn)入測試系統(tǒng)的速度在一定程度上達(dá)到了最大,其中,模型中的對排隊(duì)型的設(shè)置(包括班級(jí)排隊(duì)對型)使得系統(tǒng)在運(yùn)行速度達(dá)到了最大,使得人員等待的時(shí)間達(dá)到最小。

        五、結(jié)語

        排隊(duì)是生常生活中常見的現(xiàn)象之一,例如上下班搭乘公交車;顧客到超市購買物品;生病到醫(yī)院就醫(yī);乘客到售票處購買車票等。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展日益迅猛,特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展。排隊(duì)論的科學(xué)研究更是日新月異,應(yīng)用領(lǐng)域也不斷擴(kuò)大。

        排隊(duì)論,又稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論,它是研究服務(wù)系統(tǒng)中排隊(duì)現(xiàn)象隨機(jī)規(guī)律的學(xué)科,廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、生產(chǎn)、運(yùn)輸、庫存等隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)。將數(shù)理邏輯的理論應(yīng)用于排隊(duì)論中,可以解決生產(chǎn)實(shí)踐中的很多相關(guān)問題。

        排隊(duì)論屬于運(yùn)籌學(xué)的范圍,當(dāng)今社會(huì)資源優(yōu)化配置問題一直是有關(guān)部門和人員關(guān)注的焦點(diǎn),無論是有形的還是無形的資源都在我們生活中占有很重要的地位,如何合理地利用有限資源來實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)最高效率越來越受到人們的重視??梢哉f在這個(gè)快節(jié)奏的社會(huì),運(yùn)籌學(xué)的應(yīng)用無處不在。數(shù)學(xué)建模因此,學(xué)好經(jīng)典排隊(duì)模型,對數(shù)學(xué)建模有很大幫助。

        而數(shù)學(xué)建??梢耘囵B(yǎng)我們從根源入手分析解決問題的正向思維和從結(jié)果入手剖析問題的逆向思維,這種“雙向思維”為應(yīng)用型人才提供了知識(shí)基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)建模需要用數(shù)學(xué)語言將實(shí)際問題抽象概括為數(shù)學(xué)問題和模型,還需用專業(yè)知識(shí)來解釋數(shù)學(xué)模型的解。上述兩方面,特別是后者的逆向思維和分析能力,對我們實(shí)際工作能力的提高有很大幫助。這種雙向思維的訓(xùn)練,使我們緊緊抓住實(shí)際問題中的“變”與“不變”,即:實(shí)際問題的背景和論域是多變的,但數(shù)學(xué)知識(shí)是“不變”的。經(jīng)過這種思維訓(xùn)練的人,往往能將困難轉(zhuǎn)變?yōu)闄C(jī)會(huì),變壓力為動(dòng)力,擁有更多的創(chuàng)新能力和機(jī)會(huì)。

        綜上,學(xué)好經(jīng)典排隊(duì)模型對我們有很大幫助。

        參考文獻(xiàn)

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