陳家祥

【摘 要】本文論述通過一題多解、多元變換、數(shù)形結(jié)合、鏈接生活等方法，探討如何培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)發(fā)散性思維。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 發(fā)散性思維 數(shù)形結(jié)合

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2017）05B-0130-02

美國心理學(xué)家吉爾福特曾經(jīng)說過：人的創(chuàng)造力，主要依靠發(fā)散性思維，它是創(chuàng)造性思維的主要成分。由此可見，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，有利于促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造性思維的形成。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，教師必須重視學(xué)生思維方式的培養(yǎng)和鍛煉，特別是發(fā)散性思維。發(fā)散性思維相似于求異思維卻又區(qū)別于傳統(tǒng)思維，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，學(xué)生大多習(xí)慣于用傳統(tǒng)的思維模式去分析問題，然而這種思路在解決很多數(shù)學(xué)問題時(shí)，常常會(huì)受阻。因此，教師在教學(xué)過程中就要注意培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，不要拘泥于單一的傳統(tǒng)固定思維模式。下面，筆者將結(jié)合自身的經(jīng)驗(yàn)，談一些在教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的做法。

一、一題多解，觸及本質(zhì)

對(duì)于同一道題，從不同的角度去分析研究，可能會(huì)得到不同的思路與啟示，從而找到不同的解法。同時(shí)，教師也應(yīng)注意，過多的、盲目的做題會(huì)抑制學(xué)生思維的發(fā)展，容易使其感到疲勞，喪失對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。因此，教師在教學(xué)過程中，應(yīng)該注意精選題目，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一題多解，不僅有助于拓展和解放學(xué)生的思維，也更容易觸及問題的本質(zhì)，從而鞏固學(xué)生的知識(shí)，調(diào)動(dòng)思維的積極性，有效培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。

比如筆者在對(duì)“等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和”這部分內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時(shí)，對(duì)下面道例題采取了一題多解的策略進(jìn)行教學(xué)。

已知 {an} 為等差數(shù)列，其前 10 項(xiàng)的和 S10=100，前 100 項(xiàng)的和 S100=10，求前 110 項(xiàng)的和 S110。

筆者向?qū)W生提問：“這道題同學(xué)們能探索出幾種解法呢？”然后留給學(xué)生充分的時(shí)間去思考和探究。學(xué)生最快想到的解題方法是通過利用等差數(shù)列的表達(dá)式列方程求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)而利用求和公式求解，即利用方程思想求解。

設(shè)該數(shù)列首項(xiàng)為 a1，公差為 d，，解得 a1=10.99，d=-0.22。進(jìn)而求出 ，由此得到正確答案。但是僅僅用這一種方法解題并不夠，接下來，筆者再給學(xué)生一個(gè)提示：利用函數(shù)思想或者利用等差數(shù)列的性質(zhì)還可以有不同的解答方法。函數(shù)思想即為待定系數(shù)法，設(shè)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為 Sn=An2+Bn，則 100A+10B=100，10000A+100B=10，解得 A=-0.11，B=11.1，進(jìn)而求出 S110=A×1102+B110=-110。第三種解題方法是利用等差數(shù)列的性質(zhì)：S100-S10=-90=，而 a11+a100= a1+a110=-2，所以 S110==-110。

在上述教學(xué)活動(dòng)中，筆者注意引導(dǎo)學(xué)生從不同角度、不同思路解決同一道問題，通過這種一題多解的訓(xùn)練，不但鞏固了學(xué)生對(duì)于這部分的知識(shí)，還能復(fù)習(xí)其他內(nèi)容的知識(shí)，學(xué)生的發(fā)散性思維就能夠在這種一題多解的練習(xí)中逐漸培養(yǎng)起來。

二、多元變換，建構(gòu)體系

一題多解是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維的好方法，同時(shí)，一題多變也有利于訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散性思維，因?yàn)檫@種訓(xùn)練能夠幫助學(xué)生熟練運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，建構(gòu)和完善知識(shí)體系，學(xué)生的解題靈活性也能得到提高。采用這種方法時(shí)，教師可以對(duì)問題進(jìn)行多元變換，也可以改變條件、改變圖形、改變問題等等，可以是由淺入深的變化，讓學(xué)生理解的層次不斷加深。

比如筆者對(duì)“三角函數(shù)”這部分知識(shí)進(jìn)行教學(xué)時(shí)，為了培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)靈活轉(zhuǎn)化三角函數(shù)和熟練利用三角函數(shù)公式，采取了一題多變的教學(xué)策略。以下面這道例題為例：已知 ，且 a 是第二象限角，求 tana?？吹竭@道題，學(xué)生首先利用所學(xué)的知識(shí)解答：因?yàn)?a 為第二象限角，因此由已知條件得，。接下來筆者對(duì)這一例題進(jìn)行了變換。變式一：若已知求 tana。變式二：已知 sina=m（m>0），求tana。變式三： 求 tana。這三個(gè)變式的難度由淺入深，學(xué)生通過對(duì)這三個(gè)變式的練習(xí)，就能逐漸掌握正弦值在不同情況下轉(zhuǎn)化為正切值的方法：當(dāng) a 的正弦值 m 為 1 或 -1 時(shí)，正切值不存在；當(dāng) m=0 時(shí)，正切值也為 0；當(dāng) a 為一、四象限角時(shí)，；當(dāng) a 為二、三象限角時(shí)，。

在上述教學(xué)活動(dòng)中，筆者正是通過對(duì)一道題進(jìn)行多元變換，使學(xué)生建構(gòu)了關(guān)于“轉(zhuǎn)化三角函數(shù)和熟練利用三角函數(shù)公式”這部分內(nèi)容的知識(shí)體系。學(xué)生的發(fā)散性思維在這樣的練習(xí)中得到不斷的提升。

三、數(shù)形結(jié)合，學(xué)會(huì)聯(lián)想

數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)四大思想之一，它兼具了數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)與形的直觀之長，通過數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題，能夠使復(fù)雜的問題簡單化、抽象問題具體化。由此可見，數(shù)形結(jié)合思想對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)來說是一種非常重要且實(shí)用的思想方法。因此教師在教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)不斷滲透數(shù)形結(jié)合思想，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)聯(lián)想，通過數(shù)形結(jié)合快速準(zhǔn)確地求解問題，從而發(fā)展學(xué)生的發(fā)散性思維。

比如筆者在對(duì)“不等式”這一章節(jié)的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時(shí)，對(duì)于下面這道例題就采用了數(shù)形結(jié)合的思想來解：已知的解集為，求實(shí)數(shù) a 的值。

首先，筆者先引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用解方程的思想解決這道題：從已知條件可知 x=-4 與 x=-2 是方程的兩個(gè)根，將其代入方程中可得到或，進(jìn)行檢驗(yàn)后，滿足已知條件，所以是這道題的正確答案。

用這種方法求解該問題需要進(jìn)行大量的計(jì)算，耗時(shí)較長。接下來筆者引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的思想求解，體會(huì)這種方法的優(yōu)點(diǎn)。

設(shè)，設(shè)，在同一直角坐標(biāo)系中分別畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象。則的圖象意義為函數(shù) y1 的圖象在函數(shù) y2 圖象上方時(shí) x 的取值范圍。觀察圖象可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直線通過（-2，2）這一坐標(biāo)時(shí)，滿足 y1≥y2 的 x 取值范圍為[-4，-2]，將點(diǎn)（-2，2）代入 中，就能得出 。

在上述教學(xué)，筆者通過將數(shù)形結(jié)合求解問題的方法與常規(guī)方法進(jìn)行對(duì)比，使學(xué)生更為直觀地感受到數(shù)形結(jié)合思想在解答數(shù)學(xué)題時(shí)的快速與便捷，促進(jìn)學(xué)生在解題時(shí)更多地使用數(shù)形結(jié)合思想去分析問題，從而打開解題思路。學(xué)生的發(fā)散性思維通過數(shù)形結(jié)合的訓(xùn)練得到了發(fā)展。

四、鏈接生活，引導(dǎo)應(yīng)用

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)，教學(xué)要生活化，必須將課本知識(shí)與實(shí)際生活緊密結(jié)合。因此教師在教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)努力使數(shù)學(xué)教學(xué)更為生活化，通過將課本上的知識(shí)鏈接到生活中來，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的數(shù)學(xué)問題，這樣不但有利于提高學(xué)生的創(chuàng)新能力，發(fā)展創(chuàng)造性思維，也有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。

比如筆者在對(duì)“正弦定理和余弦定理”這一節(jié)的課本內(nèi)容教學(xué)完后，為了強(qiáng)化學(xué)生對(duì)該知識(shí)的應(yīng)用，筆者聯(lián)系生活設(shè)計(jì)了一道探究題：如圖所示，在一條江的兩岸有 A、B 兩點(diǎn)，試設(shè)計(jì)出一種測(cè)量方法測(cè)出 A、B 兩點(diǎn)之間的距離。學(xué)生通過思考、分析與討論，最后設(shè)計(jì)出一種應(yīng)用正弦定理求出距離的方法：在測(cè)量者同側(cè)另選一點(diǎn) C，然后分別測(cè)出 AC 的距離和∠BAC和∠ACB 的大小。進(jìn)而由正弦定理可得，，代入測(cè)量數(shù)據(jù)即可求出 A、B 兩點(diǎn)之間的距離。緊接著筆者又提問道：“為什么選擇利用正弦定理而不是余弦定理呢？”學(xué)生立即回答：“因?yàn)?BC 的距離不能直接測(cè)量，所以余弦定理無法應(yīng)用?！庇纱丝梢?，學(xué)生對(duì)正弦定理和余弦定理已經(jīng)有了深刻的認(rèn)知，并且能夠在生活中靈活應(yīng)用正余弦定理的公式。

在上述教學(xué)活動(dòng)中，筆者通過將知識(shí)鏈接到生活，引導(dǎo)學(xué)生自主利用所學(xué)知識(shí)探究出問題的答案，不但活躍了學(xué)生的思維，還有助于加強(qiáng)學(xué)生的發(fā)散性思維，而教師的教學(xué)目標(biāo)也能高效完成。

通過上述的實(shí)踐探究，筆者發(fā)現(xiàn)，只要教師在教學(xué)中通過采取一題多解、多元變換、數(shù)形結(jié)合、鏈接生活等策略，就能夠有效地培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，打開學(xué)生的解題思路，使其體會(huì)到思考的樂趣、數(shù)學(xué)的樂趣。

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（責(zé)編 韋 力）