俞成

摘要：幾何證明題重點(diǎn)考察的是學(xué)生的邏輯思維能力，這類題目出法相當(dāng)靈活。安徽省中考數(shù)學(xué)卷，連續(xù)四年用此類型問題壓軸。掌握一定的分析、解決問題的方法，總結(jié)一些相對固定的幾何模型，能讓學(xué)生真正做到舉一反三，提高學(xué)生解決此類問題的能力。

關(guān)鍵詞：中考數(shù)學(xué)；壓軸題；解題方法

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）12-0117

幾何證明的主要方法有綜合法和分析法。綜合法是指由因?qū)Ч瑥囊阎獥l件出發(fā)，通過有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐步向前推進(jìn)，直到問題的解決；分析法是指執(zhí)果索因，從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實(shí)或命題條件為止。而在實(shí)際解題過程中，往往要將這兩種方法結(jié)合起來綜合運(yùn)用。下面就以2016年安徽中考數(shù)學(xué)卷壓軸題解題指導(dǎo)為例，談?wù)勅绾斡行蠼鈳缀巫C明題。

一、原題呈現(xiàn)

（2016·安徽）如圖1，A，B分別在射線OA，ON上，且∠MON為鈍角，現(xiàn)以線段OA，OB為斜邊向∠MON的外側(cè)作等腰直角三角形，分別是△OAP，△OBQ，點(diǎn)C，D，E分別是OA，OB，AB的中點(diǎn)。

（1）求證：△PCE≌△EDQ；

（2）延長PC，QD交于點(diǎn)R。

①如圖1，若∠MON=150°，求證：△ABR為等邊三角形；

②如圖3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和■的值。

二、解題指導(dǎo)

在解決幾何問題時，審題尤為重要。讀題時，要能將已知條件融于圖形中，了解圖形的建構(gòu)過程，然后從復(fù)雜的圖形中抽象出簡單的幾何模型。本題的條件較為簡單，但圖形結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜。分析已知條件：根據(jù)△OAP、△OBQ為等腰直角三角形，點(diǎn)C、D分別是OA、OB的中點(diǎn)，我們可以從圖形中得到“由等腰直角三角形及底邊中線”構(gòu)成的第一個簡單幾何模型。在這一模型中，有我們熟悉的“等腰三角形三線合一”及“直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半”兩個重要的定理。由此，可得出：PC垂直平分OA；QD垂直平分OB；PC=■OA；QD=■OB等結(jié)論。此外，根據(jù)點(diǎn)C，D，E分別是OA，OB，AB的中點(diǎn)這一條件，我們可從圖形中得到“由三角形的中位線構(gòu)造的平行四邊形”模型。在這一模型中，有我們熟識的“中位線定理”及“平行四邊形的有關(guān)性質(zhì)”。由此，可得出：CE∥■OB；DE∥■OA及平行四邊形CODE的有關(guān)性質(zhì)。審題至此，問題（1）“求證：△PCE≌△EDQ”的求解便水到渠成。

三、解題反思

幾何問題的解決，要求學(xué)生必須在牢固掌握概念、法則、定理的幾何圖形基礎(chǔ)上，能準(zhǔn)確運(yùn)用幾何語言表達(dá)出來。在具體的解題過程中，能從復(fù)雜的幾何圖形中抽象出簡單基本的幾何模型，進(jìn)而豐富已知條件，為利用綜合法解決問題提供保證。

問題（2）的第①問“求證：△ABR為等邊三角形”，可從分析法入手。證明一個三角形為等邊三角形，常用方法有四種：三條邊都相等的三角形是等邊三角形；三個角都相等的三角形是等邊三角形；有兩個角為60°的三角形是等邊三角形；有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形。結(jié)合問題（1）的證明過程，認(rèn)識到直線PR、QR分別為線段OA、OB的中垂線。此時，聯(lián)想到中垂線的性質(zhì)定理，可嘗試連接RO，簡單推理后，可得到RA=RB。接下來，結(jié)合本題補(bǔ)充條件∠MON=150°，解決問題的的思路便基本明確。接下來，需要在等腰△ABR中尋找出一個60°的角。當(dāng)我們將已知角（包括垂直產(chǎn)生的角）在圖中逐一標(biāo)注后，便能發(fā)現(xiàn)一個四邊形RCOD，它的四個內(nèi)角中已知三個內(nèi)角，由此可得，∠CRD=30°。在此基礎(chǔ)上，說明∠ARB=60°時，圖形中包含一個有關(guān)角平分線定義的典例模型：在∠ARB內(nèi)部引一條射線RO，分別作∠ARO與∠BRO的角平分線。至此，便可證得△ABR為等邊三角形。

問題解決的突破口在于輔助線RO的連接。在幾何問題的解決過程中，往往會遇到不完整的定理模型，此時需要根據(jù)定理的內(nèi)容添加一些必要的輔助線。此外，解題時，還要注意補(bǔ)充條件的價值。補(bǔ)充條件往往對于問題的解決具有很強(qiáng)的指向性，這可以讓我們在解決問題時，少走彎路。另外，在平時的習(xí)題演練中，對于一些典例模型的熟悉和掌握也是必要的。

接下來探究第②個問題時，一上來很難找到頭緒。在第3幅圖中，當(dāng)△ARB∽△PEQ時，兩個三角形都像是等腰直角三角形?；仡^觀察第2幅圖，當(dāng)我們嘗試連接PQ，會發(fā)現(xiàn)△PEQ依然保持直角三角形的形狀。在第1幅圖中，∠PEQ任保持直角形狀。此時，經(jīng)過推理，可得出∠PEQ恒為直角的結(jié)論。這時，通過前面問題的解決，想到∠MON大小可以通過180°-∠CRD得到，而∠CRD又等于∠ARB的一半。至此，∠MON的度數(shù)便可迎刃而解。通過這一問題的解決，我們可從圖中發(fā)現(xiàn)兩個全新的Rt△：Rt△APB和Rt△AQB，并且PE、QE分別為兩直角三角形斜邊上的中線，由此可得，AB=2QE。在等腰直角三角形PEQ中，PQ=■QE。至此，便可求出■的值。

我們在平時練習(xí)時，當(dāng)解完一個幾何綜合題后，還要做進(jìn)一步探究：解決問題的關(guān)鍵點(diǎn)是什么，圖形中包含有哪些簡單幾何模型，解題時用到了哪些定理，圖形中還可以尋找出哪些結(jié)論，問題還可以怎樣進(jìn)行延伸。學(xué)無止境中有法。這樣的解題反思，可以讓我們熟悉一般問題的建構(gòu)過程，掌握解決常見問題的基本策略，從而提高我們的解題能力。

（作者單位：安徽省寧國市汪溪初中 242300）