傅曉虹

[摘 要] 如何進(jìn)行有效的概念教學(xué)，圍繞核心概念展開(kāi)教學(xué)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的概念、思想的起源與發(fā)展及被認(rèn)識(shí)都是自然的. 本文以《數(shù)學(xué)歸納法》三節(jié)“同課異構(gòu)”為載體，談?wù)剬?duì)概念教學(xué)的反思和體會(huì).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)歸納法；同課異構(gòu)；概念教學(xué)；反思

為提高學(xué)校數(shù)學(xué)教育教學(xué)水平，促進(jìn)教師及時(shí)反思、總結(jié)教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，推動(dòng)新課程改革實(shí)施，全面推進(jìn)素質(zhì)教育，實(shí)現(xiàn)有效到高效，我校數(shù)學(xué)組開(kāi)展了一次“如何讓課堂教學(xué)更有效”同課異構(gòu)教學(xué)活動(dòng). 本次活動(dòng)分為定課題、聽(tīng)課、評(píng)課、反思過(guò)程. 筆者本人參與了上述全部過(guò)程，有幸聆聽(tīng)、參與聽(tīng)評(píng)課，其中教學(xué)的處理以及評(píng)課中存在的觀點(diǎn)分歧，引起了筆者對(duì)如何上好一節(jié)概念課的深思.

[?] 教學(xué)片段對(duì)比

1. 實(shí)例的引入

教師A：已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=（n=1，2，3，…），試求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

學(xué)生：a1=1，a2=，a3==，a4=，找規(guī)律得出an=.

教師A：從上面四項(xiàng)歸納出來(lái)對(duì)n=1，2，3，4成立，但一般情形是否成立還沒(méi)有驗(yàn)證，能否通過(guò)有限步驟代替無(wú)限步驟？請(qǐng)看多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)（教具演示）.

教師B：已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1= a-nan+1（n=1，2，3，…），求a2，a3，a4，并猜想an.

學(xué)生：先求出a2=3，a3=4，a4=5，所以an=n+1.

教師借此點(diǎn)出數(shù)學(xué)歸納法，同時(shí)結(jié)合費(fèi)馬猜想說(shuō)明上述不完全歸納不一定正確，需要證明，引到多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)（教具演示）.

教師C：已知數(shù)列{a2}滿足a1=1，an+1= a-nan+1（n=1，2，3，…），求a2012.

教師C的引例與教師B差不多，但處理不太一樣，通過(guò)問(wèn)題1“前四項(xiàng)對(duì)通項(xiàng)有什么幫助”和問(wèn)題2“有依據(jù)嗎”引到如何驗(yàn)證，啟發(fā)學(xué)生從游戲得到啟發(fā)，展示多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)（視頻）.

2. “多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)”的運(yùn)用

教師A以書本為教具演示，第一次演示能否一次性把所有依次豎立的書本倒下，如果可以并提問(wèn)分析所需的條件是什么. 師生共同得出結(jié)論：①第一本書被推倒；②前一本書倒下，導(dǎo)致后一本書倒下. 教師調(diào)整書的間隔，再次演示，提問(wèn)此時(shí)書為什么不能全部倒下，并追問(wèn)能否從第二本書開(kāi)始. 把學(xué)生引到數(shù)列通項(xiàng)的推導(dǎo)過(guò)程與推書有什么聯(lián)系的地方.

教師B依次平鋪一疊撲克牌，提問(wèn)如何把它們一次性翻過(guò)來(lái). 教師動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，學(xué)生觀察分析，只要滿足兩個(gè)條件：①第一塊撲克牌翻上來(lái)；②任意相鄰的兩張牌，前一張翻過(guò)來(lái)一定導(dǎo)致后一張翻過(guò)來(lái). 然后類比到數(shù)列引例.

教師C利用“球撞骨牌”視頻，引導(dǎo)學(xué)生思考以下問(wèn)題. 問(wèn)題1：每一張骨牌的倒下需要一張張去推倒嗎？學(xué)生：僅需推倒第一張即可. 問(wèn)題2：為什么第一張倒下會(huì)讓其他張都會(huì)倒下呢？學(xué)生：任意的兩張骨牌如果第k張倒下則第k+1張倒下，骨牌倒下具有傳遞性. 總結(jié)：全部倒下需要兩個(gè)條件，①第一張骨牌倒下；②若第k張骨牌倒下，則第k+1張骨牌也倒下. 問(wèn)題3：能否抹去條件①或條件②？學(xué)生：不能，如果去掉條件①，一張都不能倒下；如果去掉條件②，不能保證全部倒下. 問(wèn)題4：若條件①和條件②都滿足能使多少?gòu)埞桥频瓜?？由此引到歸納法概念的建立.

3. 數(shù)學(xué)歸納法概念的建立

教師A運(yùn)用多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)所得原理，證明引例，由此概括出證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題方法，即數(shù)學(xué)歸納法.

教師B的處理方法與教師A一致，都是由引例解決，引出數(shù)學(xué)歸納法的概念及其基本步驟，由特殊到一般.

教師C記“骨牌倒下”為命題p，則骨牌實(shí)驗(yàn)原理可以敘述為：①n=1時(shí)，命題p成立；②若n=k（k∈N*，k≥n0）命題p成立，則n=k+1時(shí)，命題也成立. 即若①②同時(shí)成立，則命題p對(duì)所有的n∈N*都成立. 由第一步的奠基和第二步的傳遞，把無(wú)限的遞推轉(zhuǎn)化為有限步驟，實(shí)現(xiàn)了對(duì)任意n∈N*命題的證明，由此回歸到引例證明，給出數(shù)學(xué)歸納法的概念.

4. 基本步驟的熟悉

教師A選用了教科書（選修2-2）中的例1：用數(shù)學(xué)歸納法證明12+22+32=（n∈N*）. 教師板書示范并給出兩道練習(xí)題：

（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+3+5+…+（2n-1）=n2（n∈N*）.

（2）已知f（n）=++…+（n∈N*），則f（k+1）=______.

教師B的選例是求證：1+++…+<2-（n∈N*，n≥2）. 教師講解板書并布置課堂練習(xí)：教科書（選修2-2）例1（同上）.

教師C的選例：教科書（選修2-2）例1（同上）. 師生共同完成.

[?] 評(píng)課反思

評(píng)課交流主要集中在三個(gè)問(wèn)題上：一是這節(jié)課的引例實(shí)驗(yàn)如何合理地利用；二是數(shù)學(xué)歸納法是選修內(nèi)容，教科書僅要求對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的概念進(jìn)行了解，教學(xué)重點(diǎn)是放在概念的理解上還是在了解概念后基本步驟的落實(shí)上；三是教科書規(guī)定的是一個(gè)課時(shí)，這一個(gè)課時(shí)如何選題，選哪些題. 筆者反思如下：

1. 引例≠引入

三位教師都從數(shù)列問(wèn)題引入，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，然后引到問(wèn)題論證，尋找證明原理. 教學(xué)遵循的是“沖突→原理（方法）尋找→問(wèn)題解決”. 用引例引入課題，但不能僅僅滿足于引例的“引入”功能，應(yīng)該充分發(fā)揮引例的潛在功能，給足學(xué)生思考的時(shí)間和空間，讓學(xué)生意識(shí)到這是一個(gè)有關(guān)正整數(shù)n（n∈N*）恒成立的命題，讓學(xué)生體會(huì)到該命題與通常命題的區(qū)別，從而為尋求證明的過(guò)程打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 針對(duì)多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)，為了更好地運(yùn)用實(shí)驗(yàn)原理，可運(yùn)用表格作如下改進(jìn)：

[多米諾骨牌

2. 了解概念≠過(guò)程淡化

三種不同設(shè)計(jì)體現(xiàn)了對(duì)這節(jié)課的不同理解和處理. 教師A側(cè)重對(duì)數(shù)學(xué)歸納法基本步驟的掌握；教師B對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的概念建立（包括基本思想滲透）和基本步驟的掌握時(shí)間各占一半，體現(xiàn)了既注重概念又注重運(yùn)用；教師C正好選擇重概念的建構(gòu)和基本思想的滲透，把數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用當(dāng)作是對(duì)概念理解的載體. 這些處理的不同是基于他們對(duì)教學(xué)用書的理解和教材的處理不同，正如教師A在課后交流中提到，教師教學(xué)用書對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的基本思想僅要求了解，而對(duì)基本步驟要求掌握，所以教學(xué)目標(biāo)只要學(xué)生了解數(shù)學(xué)歸納法，能掌握數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟去證明有關(guān)自然數(shù)的命題即可. 而教師B則認(rèn)為，數(shù)學(xué)歸納法的步驟是重要的，學(xué)習(xí)了當(dāng)然希望學(xué)生會(huì)證明，但對(duì)歸納法不理解，運(yùn)用肯定會(huì)有困難，故不能淡化對(duì)概念的理解. 教師C則認(rèn)為，雖然教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生掌握基本步驟，以致能證明一些有關(guān)自然數(shù)的命題，但是對(duì)歸納法的基本概念及思想要是不理解就談不上運(yùn)用，所以把重點(diǎn)放在了概念的建構(gòu)和思想的滲透上. 在交流時(shí)，大家的意見(jiàn)基本上分為兩種，一種是淡化概念，注重步驟能操作處理問(wèn)題就可以了；另一種就是肯定教師C的上課法，注重概念. 到底哪種更好，從課堂學(xué)生練習(xí)效果來(lái)看，反而是教師C的學(xué)生普遍做得到位.

3. 好題≠典例

教師A選用的練習(xí)“已知f（n）=++…+（n∈N*），則f（k+1）=____”.在這節(jié)課不是很合理，本節(jié)重要的是在概念理解的基礎(chǔ)上對(duì)步驟的落實(shí)，而這一練習(xí)無(wú)形中增加了教學(xué)難點(diǎn). 又如教師B的選例“求證：1+++…+<2-（n∈N*，n≥2）”，初看是一道好題，結(jié)合了不等式以及放縮證明的技巧，但是教學(xué)中轉(zhuǎn)移了學(xué)生的注意力，不利于學(xué)生對(duì)主干知識(shí)的掌握. 教學(xué)中我們經(jīng)常困惑，那么多的好題、類型題，該如何選擇，總是難于舍棄. 其實(shí)關(guān)鍵在于一節(jié)課教學(xué)目標(biāo)的定位和教師對(duì)學(xué)生的認(rèn)知需求的一種理解. “學(xué)生有學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，教師不能代替學(xué)生的認(rèn)知，應(yīng)該給學(xué)生認(rèn)識(shí)的空間，否則再好的電影，學(xué)生看來(lái)要是沒(méi)有感覺(jué)，放過(guò)就沒(méi)有印象了”.

[?] 對(duì)今后概念教學(xué)的啟示

1. 數(shù)學(xué)的引例實(shí)驗(yàn)——為概念的理解鋪路

三節(jié)課都是以數(shù)列題引入，但教師A的引例“已知數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=（n=1，2，3，…），試求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式”，對(duì)部分學(xué)生可能缺少驅(qū)動(dòng)力，因?yàn)閷W(xué)生容易用數(shù)列知識(shí)解決此題：=+，可得

為等差數(shù)列，給學(xué)生的懸念沒(méi)有另外兩個(gè)教師的引例強(qiáng).另外兩個(gè)教師給出的兩道題都具備了從不完全歸納到完全歸納猜測(cè)驗(yàn)證的功能，都具有了本節(jié)核心概念的特例功能. 對(duì)多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)，三位教師都運(yùn)用了類比，但在對(duì)實(shí)驗(yàn)的運(yùn)用上還欠缺挖掘，很多時(shí)候都是傳達(dá)一種遞推的事實(shí)，而沒(méi)有很好地為概念的建立服務(wù). 應(yīng)該讓學(xué)生觀察或動(dòng)手“能全部倒下”“只能部分倒下”和“一張都不能倒下”的情形，上述實(shí)驗(yàn)只需調(diào)整骨牌間的距離，就能實(shí)現(xiàn). 其實(shí)多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)也可以用傳遞信息游戲取代.

2. 數(shù)學(xué)概念的教學(xué)——重概念的形成過(guò)程

本節(jié)的核心概念是數(shù)學(xué)歸納法，這個(gè)概念滲透著歸納遞推思想，雖然對(duì)思想只需了解，但是它是基本步驟能否掌握的關(guān)鍵，所以除了通過(guò)游戲或?qū)嶒?yàn)直觀引起學(xué)生認(rèn)識(shí)原理外，還要對(duì)概念進(jìn)行深層次理解，這也是本節(jié)教學(xué)的難點(diǎn)、疑點(diǎn)所在. 學(xué)生可能對(duì)數(shù)學(xué)歸納法步驟2中假設(shè)n=k時(shí)p（k）成立產(chǎn)生疑惑，而對(duì)于步驟2是證明了什么一知半解. 教學(xué)中，教師應(yīng)該幫助學(xué)生建立這種假設(shè)性的推理概念，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，在第二步我們實(shí)質(zhì)上是證明了一個(gè)延續(xù)遞推規(guī)則，這里并不涉及p（k）或p（k+1）的真假，只是證明了“p（k）為真，則p（k+1）也為真”這樣的一個(gè)條件命題成立. 這一點(diǎn)上，三位教師都不夠重視.

3. 數(shù)學(xué)習(xí)例的演練——為概念的鞏固服務(wù)

教學(xué)中例習(xí)題的選擇，經(jīng)常困擾著我們的教師，因?yàn)槲覀兪诸^經(jīng)常有一些“好題”，難以取舍或割舍不下. 到底什么樣的題才是課堂真正需要的好題呢？筆者認(rèn)為要滿足兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：一是對(duì)本節(jié)核心概念具有鞏固作用，二是要滿足學(xué)生學(xué)習(xí)就近發(fā)展區(qū)，否則再典型也會(huì)起不到作用. 如果預(yù)設(shè)生成不了，可能還會(huì)增加學(xué)生學(xué)習(xí)的困難，轉(zhuǎn)移學(xué)生的注意力，使得課堂“翹一翹”反而成為敗筆. 本節(jié)課例習(xí)題的作用是讓學(xué)生鞏固數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟，課本給的例習(xí)題比較適合.

當(dāng)前的數(shù)學(xué)課堂中，以解題教學(xué)代替概念教學(xué)現(xiàn)象時(shí)有發(fā)生，在概念教學(xué)的引入、概念過(guò)程的經(jīng)歷體驗(yàn)上給學(xué)生的時(shí)間和空間不夠，以致教師教完了，學(xué)生對(duì)內(nèi)容、方法和思想知之甚少. 所以必須重視概念教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程，正如李邦河院士所認(rèn)為“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也”那樣，我們教學(xué)要聚焦概念教學(xué)，探索概念教學(xué)的方法和基本規(guī)律.