王炯廉

[摘 要] 數(shù)學核心素養(yǎng)是一個高度抽象的思維產(chǎn)物，它要高于數(shù)學知識、數(shù)學一般的思維方法，使人能從數(shù)學的角度看問題，有條理地進行理性思維、嚴密求證、邏輯推理和清晰準確地表達的意識與能力. 高中數(shù)學教學活動是以提升學生基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗?zāi)芰槟康牡慕虒W，因此激發(fā)學生的學習興趣，調(diào)動學習積極性和主動性，進而提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)是教學過程的關(guān)鍵.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學素養(yǎng)；微專題教案；自主探索；合作交流

數(shù)學核心素養(yǎng)，是指在眾多的數(shù)學素養(yǎng)內(nèi)那些關(guān)鍵的、處于重要位置上、使用頻率較高的素養(yǎng)，包括數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等六個方面. 數(shù)學核心素養(yǎng)是一個高度抽象的思維產(chǎn)物，它要高于數(shù)學知識、數(shù)學一般的思維方法，使人能從數(shù)學的角度看問題，有條理地進行理性思維、嚴密求證、邏輯推理和清晰準確地表達的意識與能力. 高中數(shù)學教學活動是以提升學生基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗?zāi)芰槟康牡慕虒W，因此激發(fā)學生的學習興趣，調(diào)動學習積極性和主動性，進而提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)是教學過程的關(guān)鍵. 針對高考的考情要求和本?？忌膶W情，筆者設(shè)計了一篇高三一輪復(fù)習的微專題教案，讓學生通過自主探索、合作交流等學習方式，以點帶面，有效地提高數(shù)學能力和成績.

[?] 基于高考，聚焦核心素養(yǎng)，明確教學目標

1. 研究考題，掌握考情

直線與圓的位置關(guān)系是近幾年高考和模擬考試?？嫉闹R點（在近幾年高考中，每年都有出現(xiàn)，比如2013年第17題，2014年第9題、第18題，2015年第10題，2016年第18題），本節(jié)主要通過圓心到直線的距離（幾何法），或從方程根（代數(shù)法）的角度來量化直線與圓的位置關(guān)系，考查弦長、交點、切線、距離最值等知識點，一般難度不大，但若考查其解析性質(zhì)，即通過形式上的轉(zhuǎn)化，與函數(shù)、方程、三角函數(shù)、線性規(guī)劃等知識相結(jié)合，難度就會大大提升. 數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化歸納是掌握好本節(jié)知識點的關(guān)鍵，本題常以填空題的形式進行考查，以解答題的形式進行考查時，常常與其他章節(jié)知識相關(guān)聯(lián)，用來解決實際問題，高考要求為B級.

2. 明確目標，培養(yǎng)數(shù)學能力

從知識層面上，通過本課教學使學生熟練掌握直線與圓位置關(guān)系的判斷方法，回歸課本，引導(dǎo)學生從不同角度思考問題，解決基本的弦長、交點、切線、距離等問題；從知識結(jié)構(gòu)上，通過不斷地改變問題情境，培養(yǎng)學生的觀察分析、數(shù)形結(jié)合、拓展延伸能力，總結(jié)解決直線與圓位置關(guān)系問題的通性通法，以點帶面，促進學生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)；從培養(yǎng)學生能力的角度上，通過題目內(nèi)在的聯(lián)系，培養(yǎng)學生抽象概括、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學思想以及應(yīng)用數(shù)學知識解決問題的能力.

[?] 基于課本，培育核心素養(yǎng)，優(yōu)化教學設(shè)計

1. 課前熱身，自主學習

（1）（教學與測試·鞏固練習1）圓x2+y2-4x=0在點P（1，）處的切線方程是 x-y+2=0 .

（2）（教學與測試·鞏固練習3改編）已知P（x0，y0）是圓x2+y2=a2內(nèi)異于圓心的一點，則直線x0x+y0y=a2與此圓公共點的個數(shù)是 0 .

（3）（必修2第117頁習題9）直線l：kx-y-4k+3=0與圓x2+y2-6x-8y+21=0的位置關(guān)系是 相交 .

（4）（教學與測試·鞏固練習2）動圓x2+y2-2mx-4my+6m-2=0恒過一個定點，則這個定點的坐標是 （1，1）或

，

.

設(shè)計意圖：問題（1）通過自主學習，掌握過圓上一點求切線的基本方法，進而復(fù)習、回顧一般性結(jié)論：過圓（x-a）2+（y-b）2=r2上一點P（x0，y0）處的切線方程為（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2；問題（2）復(fù)習了點與圓、直線與圓的位置關(guān)系，題中參量較多，學生較易混淆概念，教學中應(yīng)強調(diào)圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系；問題（3）用常規(guī)的解題思路計算量大，學生容易走進“死胡同”，數(shù)形結(jié)合從直線的特征入手，既復(fù)習了直線系，又復(fù)習了點、線、圓三者的位置關(guān)系；問題（4）的設(shè)置是問題（3）的延續(xù)，其實質(zhì)是用代數(shù)法求解交點問題.這幾個課前熱身的問題的設(shè)置是希望學生通過完成預(yù)習題型，對直線與圓的位置判斷從幾何和代數(shù)角度有一定認識.預(yù)設(shè)題型的教學用10分鐘左右的時間，讓學生交流解題方法，總結(jié)易錯點和經(jīng)常性結(jié)論，教師根據(jù)學生的回答，進行適時點撥以達到學生真正理解和掌握基本知識的目的.

2. 經(jīng)典例題，合作探索

例1：（教學與測試·例1改編）已知直線l：5x+12y+a=0，圓C：x2+y2-2x=0. 試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系.

解：圓C：（x-1）2+y2=1，圓心為（1，0），半徑為1，圓心到直線的距離為d=.

直線l與圓C相切?d=1，由=1，解得a=8或a=-18.

直線l與圓C相交?d<1，由<1，解得-18

直線l與圓C相離?d>1，由>1，解得a<-18或a>8.

變式1：若a=8，則切點坐標為

，-

；

變式2：若a=7，則直線l被圓C截得的弦長為 ；

變式3：若a=21，則圓上一點到直線l的最大距離為 3 ；

變式4：若直線l與曲線y=有一個公共點，求a的取值范圍.

解：曲線y=表示x軸上方的半圓，由其圖像可知，a=-18或-10

變式5：若點（x，y）滿足x2+y2-2x=0，求5x+12y的取值范圍.

解：令t=5x+12y，易知5x+12y∈[-8， 18].

變式6：已知圓C：x2+y2-2x=0上有且僅有一個點到直線l：5x+12y+a=0的距離為1，求實數(shù)a的取值范圍.

解：平面內(nèi)，到直線l：5x+12y+a=0的距離為1的直線是5x+12y+a±13=0，圓與此兩直線中的一條相切，另一條相離，解得a=-31或者a=21.

設(shè)計意圖：原題主要是讓學生通過（幾何法）圓心與直線的距離同半徑相比較，量化相切、相交、相離時的關(guān)系，學生通過交流討論，很容易得出答案；變式1～3是原題的延續(xù)，較之原題，把切點、弦長、距離等問題具體化，教師可按學生情況，繼續(xù)設(shè)計變式，如相交時，交點與圓心組成的三角形面積的最大值為多少等；變式4-6，題目形式上有所改變，需要學生探索其本質(zhì)含義，通過必要的轉(zhuǎn)化，變?yōu)橹本€與圓的位置關(guān)系問題，此題的設(shè)計主要是為豐富學生的知識結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學生轉(zhuǎn)化、結(jié)合的能力.

說明：數(shù)形結(jié)合是分析變式4-6的關(guān)鍵，無論是變式5的線性規(guī)劃，還是變式4的半圓方程，其本質(zhì)都是直線與圓的位置關(guān)系，分析時要將答案與圖像對應(yīng)起來，弄清其幾何意義.

例2：（教學與測試例4改編）過點M（2，4）向圓C：（x-1）2+（y+3）2=1引兩條切線，切點分別為A，B. 求：（1）切線MA，MB的方程；（2）直線AB的方程，切點弦AB的長.

解：（1）過點M（2，4）的切線斜率不存在時，x=2符合題意；切線斜率存在時，設(shè)切線為y-4=k（x-2），由d==1解得k=，所以切線為24x-7y-20=0或x=2. （2）C，A，M，.B四點在同一圓周上，CM為直徑，圓心為

，，易知其方程為x2+y2-3x-y-10=0. 又因為AB是圓C與此圓的公共弦，相減得直線AB：x+7y+19=0. 因為C到直線AB的距離d=，又圓C的半徑為1，故AB=2=.

變式1：若將原題中的點M改為在直線3x+4y-6=0上運動的動點M，則四邊形MACB面積的最小值為多少？

解：S=2S△MAC=，MC的最小值即為點M到直線3x+4y-6=0的距離，所以d==3，S≥2.

變式2：（教學與測試·自我檢測5）過點M向半徑為1的圓C引兩條切線，切點分別為A，B，則·的最小值是多少？

解：設(shè)∠AMB=2θ，則·=

2·cos2θ=2sin2θ+-3≥2-3.

設(shè)計意圖：原題設(shè)計圍繞相切問題展開，目的在于變換思維角度，問題（2）焦點弦的處理可與下一課時的圓系方程聯(lián)系，調(diào)動學習的主動性. 變式1和變式2的設(shè)計在此基礎(chǔ)上加入了切線長問題，與三角函數(shù)、向量相結(jié)合，培養(yǎng)學生拓展的思維，達到完善知識體系的效果.

說明：求切線長時將切線長轉(zhuǎn)化為點到圓心的距離，實現(xiàn)未知向已知的轉(zhuǎn)化，解題時若求切點坐標，計算將非常繁雜.

例3：（蘇教版必修2第114頁例3改編）已知直線l：kx-y-k+1=0與圓O：x2+y2=4，求直線l被圓O截得的最短弦長.

解：直線與圓相交時，半徑、弦心距和半弦長構(gòu)成直角三角形，即

+d2=r2. 因為r2為定值，所以l最小時d最大.由課前預(yù)習問題（3）可知，直線l恒過定點M（1，1），所以當直線l與OM垂直時，d最大，即l最小，此時d=，所以最短弦長l=2=2.

變式1：已知圓O：x2+y2=4，過圓內(nèi)一點M（1，1），作兩條互相垂直的弦EF，GH，求EF2+GH2的值.

解：作OD1⊥EF，OD2⊥GH，設(shè)OD1=d1，OD2=d2，

EF2+GH2=4（r2-d）+4（r2-d）=8r2-4（d+d）. 因為d+d=2，所以EF2+GH2=24.

變式2：已知圓O：x2+y2=4，過圓內(nèi)一點M（1，1），作兩條互相垂直的弦EF，GH，求四邊形EGFH面積的最大值.

解：四邊形EGFH的面積S=EF·GH，由變式5EF2+GH2=24，所以S≤×=6，當且僅當EF=GH時取最大值.

變式3：已知圓O：x2+y2=4，過圓內(nèi)一點M（1，1），作兩條互相垂直的弦EF，GH，求線段EG中點Q的軌跡方程.

解：設(shè)點Q（x，y），因為EG為圓O的一條弦，所以O(shè)Q2+

=r2. 因為=MQ，所以O(shè)Q2+MQ2=r2，所以x2+y2+（x-1）2+（y-1）2=4，化簡得

x-

+

y-

=. 這是以O(shè)M中點為圓心，為半徑的圓.

變式4：已知圓O：x2+y2=4，過圓內(nèi)一點M（1，1），作兩條互相垂直的弦EF，GH，若=+，求

的最大值.

解：由=+可知，變式3中的Q為MN的中點，因為點Q的軌跡方程為

x-

+

y-

=，由相關(guān)點法可求得點N的軌跡方程為x2+y2=6. 因為點M在這個圓內(nèi)，所以

的最大值為+.

設(shè)計意圖：原題的設(shè)計圍繞相交弦長展開，是模擬考和高考中的常見題型，設(shè)計此題的目的在于培養(yǎng)學生探索問題、轉(zhuǎn)化歸納的能力. 幾個變式的難度由淺入深，依據(jù)循序漸進的教學方式，可提高學生的審題能力，激發(fā)學生的學習興趣，調(diào)動學生的學習主動性. 對于變式中的不同問題，可以嘗試不同方法，讓學生體會其中的變化.

3. 課堂反饋，動手實踐

1. （教學與測試·基礎(chǔ)訓(xùn)練2）在圓x2+y2-2x-6y=0內(nèi)，過點E（0，1）的最長弦與最短弦分別是AC與BD，則四邊形ABCD的面積是 10 .

2. （2014年江蘇高考第9題）在平面直角坐標系xOy中，直線x+2y-3=0被圓（x-2）2+（y+1）2=4截得的弦長為 .

3. （教學與測試·鞏固練習4）已知實數(shù)x，y滿足x2+y2+2x-2y=0，則的最大值是 - .

4. （2010年江蘇高考第9題）在平面直角坐標系xOy中，已知圓x2+y2=4上有且僅有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1，則實數(shù)c的取值范圍是 （-13，13） .

設(shè)計意圖：課堂的及時反饋，是教師掌握學生課堂學習效果與質(zhì)量的重要環(huán)節(jié). 設(shè)計的幾個題型圍繞例題展開，目的在于一方面讓學生感受高考題，熟悉其設(shè)計思路；另一方面，希望在學生實踐活動的基礎(chǔ)上，及時總結(jié)歸納，反思得失.

4. 復(fù)習鞏固，課后反思

1. （2013年蘇錫常鎮(zhèn)模擬題第10題）已知圓C：（x-a）2+（y-a）2=1（a>0）與直線y=3x相交于P，Q兩點，若∠PCQ=90°，則實數(shù)a= .

2. （2014年南通三模第12題）在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x2+y2-4x=0. 若直線y=k（x+1）上存在點P，使過P所作的圓的兩條切線相互垂直，則實數(shù)k的取值范圍是 [-2，2] .

3. （2014年蘇錫常鎮(zhèn)一模第14題）在平面直角坐標系xOy中，已知點P（3，0）在圓C：x2+y2-2mx-4y+m2-28=0內(nèi)，動直線AB過點P且交圓C于A，B兩點. 若△ABC的面積的最大值為16，則實數(shù)m的取值范圍為 [3+2，3+2）∪（3-2，3-2] .

4. （2016年江蘇高考第18題）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓x2+y2-12x-14y+60=0及其上的一點A（2，4）.

（1）設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x=6上，求圓N的標準方程.

（2）設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點，且BC=OA，求直線l的方程.

（3）設(shè)點T（t，0）滿足：存在圓M上的兩點P，Q，使得+=，求實數(shù)t的取值范圍.

解：（1）因為兩圓外切，r-7=r+5，所以r=1，圓N的標準方程為（x-6）2+（y-1）2=1.

（2）設(shè)平直線l的方程為y=2x+b，BC=OA=2，所以圓心M到直線l的距離為=2，解得b=5或b=-15，所以直線l的方程為y=2x+5或y=2x-15.

（3）要使得+=，則四邊形ATPQ為平行四邊形，PQ=AT∈[4，10]，即16≤（t-2）2+42≤100，解得t∈[2-2，2+2].

設(shè)計意圖：設(shè)計高考、模擬考題型的訓(xùn)練，幫助學生及時鞏固所學知識，體會考點要求，查漏補缺.

[?] 基于現(xiàn)實，提升核心素養(yǎng)，總結(jié)方法經(jīng)驗

數(shù)學核心素養(yǎng)的載體是課堂教學與設(shè)計，有效提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，關(guān)鍵在于高效的課堂教學和設(shè)計.

首先，在高三復(fù)習的教學設(shè)計時，應(yīng)當充分重視課本基礎(chǔ)題的訓(xùn)練，高考題在設(shè)計時往往都是以課本例題為藍本，以此為基，通過變式訓(xùn)練，依次遞增難度，培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力和探究能力，進而逐步形成“觀察→抽象→探究→猜測→論證”的思維習慣，學會用數(shù)學的思維去分析社會，思考和解決生活中的問題，有效地提高自身的素養(yǎng).

其次，有效提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，要求培養(yǎng)學生的科學精神，勤于思考，善于實踐，勇于質(zhì)疑.從問題中來，實事求是，科學地分析問題；到問題中去，拓展思維，用發(fā)展的眼光看待問題.還要求培養(yǎng)學生不同角度、不同深度、不同緯度思考問題的思維方式. 因此，教學設(shè)計時要注重知識點的相關(guān)性，通過題型的轉(zhuǎn)化和化歸，把學生分散的、孤立的知識點整合在一起，不但掌握“表面”上的共同點，還要理解“本質(zhì)”的相互聯(lián)系，逐步地建立起一套完善的數(shù)學體系，有效地提高學生的思維方式.

最后，有效提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，是一個循序漸進、逐步完善的過程. 課堂學習中要以學生為本，圍繞學生的所思所想設(shè)計課程，并讓學生不斷地進行反思：①解題中應(yīng)用了哪些知識點——想相關(guān)的知識點；②怎樣做出來的——想解題的方法；③為什么這樣做——想解題的依據(jù)；④有無其他方法——想一題多解，培養(yǎng)求異思維；⑤能否變通一下而變成另一習題——想一題多變，促使思維發(fā)散.充分發(fā)揮學生自主學習的積極性和主動性，從本質(zhì)上提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，讓學生能用數(shù)學的思維方式觀察生活，解決實際問題.