王法巖+彭猛

[摘 要] 教學(xué)材料是師生教與學(xué)的載體，教學(xué)材料可以是教材，更應(yīng)當(dāng)是教師對(duì)教材的重新設(shè)計(jì). 教學(xué)材料的意義在于其對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的促進(jìn)，因此研究學(xué)生，讓學(xué)生在比較中學(xué)習(xí)，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行精加工，是讓教學(xué)材料變得有意義的重要途徑. 教學(xué)材料要面向?qū)W生才能彰顯其意義，而這就意味著教師在教學(xué)設(shè)計(jì)的時(shí)候要具有學(xué)生視角，要善于站在學(xué)生的角度思考問題，思考知識(shí)發(fā)生的邏輯.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；教學(xué)材料；意義

在教學(xué)中有一個(gè)很基本的行為，那就是向?qū)W生提供教學(xué)材料，實(shí)際上也正是教學(xué)材料，才將師生的教學(xué)關(guān)系緊緊聯(lián)系在了一起. 在這樣的互動(dòng)過程中，很少有人去反思材料的意義，因?yàn)榻虒W(xué)材料的提供如同人的生存需要呼吸一樣——因?yàn)楸仨毝@得日常，因?yàn)槿粘６鲆? 但如果真的去思考一下教學(xué)材料的意義，又會(huì)發(fā)現(xiàn)這無論是對(duì)課堂教學(xué)的有效性，還是對(duì)學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的提升，都有著直接且至關(guān)重要的影響，因此教師還是有必要重新認(rèn)識(shí)一下教學(xué)材料的意義的.

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教學(xué)材料的來源有兩個(gè)方面：一是包括課本在內(nèi)的書面資料；二是教師的教學(xué)設(shè)計(jì). 這些材料提供給學(xué)生之后，學(xué)生是如何有效加工的，這是本文關(guān)注的重點(diǎn). 下面分三個(gè)方面來說明.

[?] 教學(xué)材料的意義及相關(guān)研究

關(guān)于教學(xué)材料的意義，教育專家其實(shí)進(jìn)行了不少的研究，著名教育家奧蘇泊爾就曾針對(duì)當(dāng)時(shí)的教材提出了一些觀點(diǎn)與意義. 他認(rèn)為當(dāng)時(shí)的教材將一些原本有著重要聯(lián)系的知識(shí)（奧蘇泊爾稱之為觀念與問題）分成了獨(dú)立的章節(jié)，而沒有凸顯這些知識(shí)之間的重要聯(lián)系，這樣的教學(xué)必然會(huì)導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生“極大的認(rèn)知緊張與混淆”. 仔細(xì)思考奧蘇泊爾的這段描述，筆者以為還是有著很強(qiáng)的啟發(fā)意義的. 今天的高中數(shù)學(xué)教材編寫堅(jiān)持的是“一標(biāo)多本”的原則，由國(guó)家統(tǒng)一制定課程標(biāo)準(zhǔn)，然后各地區(qū)根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)編寫教材. 通過比較可以發(fā)現(xiàn)不同版本的教材在呈現(xiàn)知識(shí)的順序以及所選用的內(nèi)容上存在著較大的區(qū)別. 作為一線教師，我們不否認(rèn)這樣做的價(jià)值與意義，但需要注意的是學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律總是相似的（至少不會(huì)有明顯的地區(qū)差異），那不同編寫思路的教材如何更好地適應(yīng)學(xué)生的學(xué)習(xí)呢？筆者以為一線教師需要思考這個(gè)問題，而思考這個(gè)問題，實(shí)際上也就是在思考教學(xué)材料的意義.

這里不妨以蘇教版高中數(shù)學(xué)必修1中的“函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I”的教材編寫為例，來分析一下教學(xué)材料的意義. 這一章被分為6個(gè)小節(jié)，分別是：函數(shù)的概念和圖像、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、函數(shù)與方程、函數(shù)模型及應(yīng)用. 從知識(shí)發(fā)生的邏輯角度來看，通過函數(shù)概念與圖像的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，然后學(xué)習(xí)三個(gè)基本函數(shù)；再在此基礎(chǔ)上比較函數(shù)與方程，進(jìn)而構(gòu)建一個(gè)比較全面的函數(shù)模型并研究其運(yùn)用，顯然是一個(gè)符合知識(shí)發(fā)生邏輯的思路，從這個(gè)角度講其是有意義的. 但是需要注意的是，這只是宏觀角度的知識(shí)發(fā)生順序，而一個(gè)更為細(xì)致的知識(shí)比如說函數(shù)的概念的構(gòu)建需要什么樣的材料來加工，函數(shù)模型的建立又需要哪些材料來加工，這些教學(xué)材料的意義才直接決定著學(xué)生學(xué)習(xí)的有效性. 于是可以將研究的視角轉(zhuǎn)向具體的教學(xué)內(nèi)容，如在建構(gòu)函數(shù)的概念的時(shí)候，教材給出的是三個(gè)例子：一是人口數(shù)量變化趨勢(shì)；二是一個(gè)物體自由下落時(shí)下落距離與時(shí)間的關(guān)系；三是某市一天24小時(shí)的氣溫變化圖. 這三個(gè)例子呈現(xiàn)給學(xué)生的時(shí)候，最為關(guān)鍵的是什么？顯然是讓學(xué)生通過對(duì)三個(gè)例子的分析與綜合，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)這三個(gè)例子中都存在著兩個(gè)變量，且一個(gè)變量的取值確定后，另一個(gè)變量的值也確定而且是唯一的. 那么，學(xué)生能不能做到這一點(diǎn)？或者說學(xué)生在具體的學(xué)習(xí)中他們的思維會(huì)是怎樣的？

根據(jù)筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，絕大部分學(xué)生在此知識(shí)的學(xué)習(xí)中可以形成上述的因果對(duì)應(yīng)關(guān)系，也就是說學(xué)生可以順利地發(fā)現(xiàn)兩個(gè)變量及其唯一對(duì)應(yīng)關(guān)系，這說明這一教學(xué)材料對(duì)他們來說是有意義的；但對(duì)于另外少數(shù)學(xué)生來說會(huì)出現(xiàn)一種情形，他們?cè)谘芯坎牧系倪^程中不能發(fā)現(xiàn)變量，更加難以發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)關(guān)系. 尤其是對(duì)于第一個(gè)例子而言，在他們的固有觀念中，國(guó)家的人口數(shù)量與年份之間不應(yīng)該有著影響關(guān)系，用有些學(xué)生的話說，哪一年多少人口與這一年有什么關(guān)系呢？這明顯不存在影響關(guān)系啊. 這種在教師看起來無法理解的邏輯就是在學(xué)生那里頑固地存在著，而這個(gè)問題不解決，他們就無法順利接受教師所強(qiáng)調(diào)的變量及其對(duì)應(yīng)關(guān)系. 即使教師再作重復(fù)與強(qiáng)調(diào)，他們也會(huì)心存芥蒂. 這個(gè)時(shí)候，這一教學(xué)材料對(duì)他們這少部分學(xué)生來說，其實(shí)就是無意義的，或者說意義是沒有顯露出來的，還需要教師針對(duì)他們的思維特點(diǎn)做出修改，以使教學(xué)材料的意義顯露出來.

由此可見，數(shù)學(xué)教學(xué)中教學(xué)材料有意義與否，固然要本著以本為本的思路去實(shí)施教學(xué)，即認(rèn)為教材的材料存在著有意義的前提，但真正的意義其實(shí)是顯示在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中的，因此又需要教師針對(duì)學(xué)生的實(shí)際去發(fā)掘、發(fā)現(xiàn)意義的途徑，而這也是教師備課的價(jià)值所在.

使教學(xué)材料變得有意義

那么，如何讓教學(xué)材料變得更有意義呢？

第一，就是研究學(xué)生. 研究學(xué)生的什么？研究學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律. 說得更具體一點(diǎn)，就是研究學(xué)生在構(gòu)建一個(gè)數(shù)學(xué)概念的時(shí)候，他可能會(huì)怎么想，可能會(huì)遇到哪些障礙，又如何克服這種障礙？比如說上面對(duì)于少部分學(xué)生而言的函數(shù)概念的構(gòu)建，筆者以為最好的選擇，就是幫他們梳理好人口數(shù)量與年份的關(guān)系，要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到這里并不是說每年的人口數(shù)量與年份之間存在著互相影響的關(guān)系，而是根據(jù)每一年的人口數(shù)量來判斷“人口數(shù)量的變化趨勢(shì)”——這才是本教學(xué)材料中的一個(gè)關(guān)鍵詞，也是化解學(xué)生理解障礙的一個(gè)突破口（實(shí)際上部分建構(gòu)順利的學(xué)生也并沒有意識(shí)到這個(gè)問題，他們只是更多的在教師的講授之下完成了一個(gè)同化的過程而已）.

第二，讓學(xué)生在比較中學(xué)習(xí). 一個(gè)好的教學(xué)材料，一定是可以順利地讓學(xué)生進(jìn)行比較的，比較的對(duì)象就是學(xué)生已經(jīng)掌握的或已經(jīng)學(xué)過（與已經(jīng)掌握有所區(qū)別）的，只要學(xué)生在學(xué)習(xí)中有比較的機(jī)會(huì)，那新知識(shí)的構(gòu)建往往就比較順利. 比如說在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的時(shí)候，就可以設(shè)計(jì)讓學(xué)生通過其與此前已經(jīng)學(xué)過的正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等進(jìn)行比較，以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)一個(gè)新的函數(shù)要從哪些方面進(jìn)行，而新的函數(shù)與已有函數(shù)又存在哪些區(qū)別，這些都是比較的結(jié)果. 又比如說在函數(shù)模型的建立中，一個(gè)重要的工作就是讓學(xué)生去比較指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)這三個(gè)基本的初等函數(shù)，并尋找它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，一旦學(xué)生認(rèn)識(shí)到函數(shù)就是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，是研究變量之間依賴關(guān)系的有效工具，那函數(shù)模型就基本建立了. 筆者以為，如果在教學(xué)中，教師能夠大膽地將這個(gè)比較的過程交由學(xué)生自主完成，那這樣的教學(xué)過程必定是有效的，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)也會(huì)迅速形成.

第三，讓學(xué)生進(jìn)行精加工. 精加工是一個(gè)淺顯易懂的教學(xué)概念，就是指學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，能夠?qū)δ硞€(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行詳盡的思考，思考的對(duì)象是明確的，思考的范圍是全面的，思考的角度是深入的. 精加工的最大好處，是發(fā)現(xiàn)教學(xué)材料對(duì)促進(jìn)學(xué)習(xí)的作用（當(dāng)然學(xué)生不需要理解這一點(diǎn)，精加工對(duì)學(xué)生的意義就是能夠讓他們?cè)谏疃人伎贾邪l(fā)現(xiàn)知識(shí)的意義）. 精加工的過程有時(shí)候也是復(fù)雜的，還很有可能遇到精加工無法遇到的問題，而這些問題如果能得到解決，實(shí)際上也是精加工成功的標(biāo)志. 精加工的方式是多樣的，上面提到的比較其實(shí)也是一種精加工，一題多變、一題多解也是一種精加工——有經(jīng)驗(yàn)的教師應(yīng)當(dāng)發(fā)現(xiàn)，這樣的精加工往往可以讓學(xué)生對(duì)這一習(xí)題的印象更加深刻，而基于此進(jìn)行發(fā)散教學(xué)，往往可以讓學(xué)生更好地形成知識(shí)組塊.

讓教學(xué)材料更好地面向?qū)W生

教學(xué)材料的意義性，嚴(yán)格來說是面向?qū)W生時(shí)表現(xiàn)出來的意義性，好的教學(xué)材料一定是由教師精心設(shè)計(jì)出來的——無論是過去所說的“備教材”，還是現(xiàn)在流行的“用教材教”，其實(shí)都是指向這一點(diǎn)的；而教學(xué)材料有意義與否，還需要經(jīng)過學(xué)生的學(xué)習(xí)過程來檢驗(yàn)，這里所說的面向?qū)W生就是這個(gè)意思.

這里需要建立一個(gè)觀念，那就是從“教材”向“學(xué)材”的轉(zhuǎn)變，教學(xué)材料固然是師生共用的，但教本身就是服務(wù)于學(xué)生的學(xué)的，因此教材變成學(xué)材才能讓學(xué)生在對(duì)教學(xué)材料的有效加工中獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu). 而要做到這一點(diǎn)，也不是十分困難的事情，一個(gè)重要的前提就是建立學(xué)生視角，從學(xué)生的角度去考慮問題. 比如建構(gòu)函數(shù)的模型，教師就要思考經(jīng)過此階段的學(xué)生，學(xué)生已經(jīng)掌握了函數(shù)的哪些知識(shí)，這些知識(shí)能否幫他們形成對(duì)函數(shù)的整體認(rèn)識(shí)——只有在整體認(rèn)識(shí)之后才能將這些知識(shí)概括上升為模型.

總之，有意義的教學(xué)材料一定是能夠促進(jìn)學(xué)生順利構(gòu)建知識(shí)的材料，也只有一切從學(xué)生的學(xué)習(xí)角度出發(fā)時(shí)，才能讓教學(xué)材料的意義更為彰顯.