李杰

【摘要】在近幾年中考中，等腰三角形、直角三角形、平行四邊形、相似三角形等存在性問題經(jīng)常出現(xiàn)在各地的中考題甚至是壓軸題中，這類題型往往涉及相關(guān)幾何的定義、性質(zhì)、判定以外，往往又綜合在函數(shù)背景下結(jié)合方程、不等式等代數(shù)模型，運用分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生空間想象、幾何模型、作圖能力等基本技能，需要學(xué)生全面的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，成為近幾年來熱門的考題類型.以下是“直角三角形的存在性問題”的課堂實錄.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；復(fù)習(xí)；直角三角形

【導(dǎo)語】之前我們已經(jīng)學(xué)過了兩類特殊三角形——等腰三角形和直角三角形，今天我們就來共同探索直角三角形的存在性問題.

探索1如圖是一個6×6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點都是格點，其中點A、點B的位置如圖所示，若Rt△ABC的頂點都在格點上，則點C可能的位置共有（）.

A.9個B.8個

C.7個D.6個

分析此題的難點在于不重不漏地找到滿足條件的點C，學(xué)生如果只關(guān)注直角本身散漫找尋，不僅很花時間，而且不容易找全.找尋的關(guān)鍵在于，首先，直角三角形要按角或邊進行分類，若按直角頂點分，分別以點A，B，C為直角頂點可分成三類；其次，確定直角頂點畫出直角，分別過點A，B作線段AB的垂線，及作以AB為直徑的圓，利用直徑所對的圓周角是直角，找到相應(yīng)的格點C；最后，需要通過計算來驗證點C符合題意，將感性認知上升至理性思考.

【教學(xué)過程】

師：同學(xué)們找到了幾個點C？

生：4個…6個…7個…9個.

師：你是如何思考找到這些點的？

生1：我是嘗試找?guī)讉€點，連接起來判斷是否是直角三角形.

師：你有良好的圖形感知，但直觀的感知容易缺乏嚴謹性，也容易遺漏或重復(fù).有沒有改進的方法？

生2：我是借助直角三角尺來找直角的.

生3：我是借助畫圓，利用直徑所對圓周角是直角的性質(zhì)找直角的.

師：你們想到了用兩種不同的作圖方法找到直角，一種是作垂線，一種是作圓.那么具體什么情況下要作垂線或作圓呢？

生4：當(dāng)以A或B為直角頂點時，分別過點A或B作AB的垂線；當(dāng)以C為直角頂點時，作以AB為直徑的圓.

師：在這個作圖過程中，你很好地融入了分類討論，這樣使得作圖變得更加有的放矢，直觀而有序.

生4：老師，通過作圖我發(fā)現(xiàn)能找到9個點C，但是這些點C一定就落在格點上嗎？

師：你的問題正好也是大家的疑惑，作圖直觀但不精確，它有助于我們發(fā)現(xiàn)猜想結(jié)論，但嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)思維還需要通過驗證證明這些點C落在格點上.你有什么方法判斷直角三角形？

生1：我以一個格點C為例，通過計算三角形三邊長，驗證是否滿足勾股定理逆定理，以此判定直角三角形.

生2：我通過一線三直角模型，證明兩個直角三角形相似，轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系后可證明直角.

師：同學(xué)們想到了兩個證明直角的方法，通過計算驗證了猜想，證明了結(jié)論.請同學(xué)們自行歸納出解決直角三角形存在問題的一般步驟.

生：找直角三角形，可按照這樣的步驟進行：1.分類（依據(jù)角或邊）；2.作圖（作垂線和作圓）；3.計算（驗證猜想）.

師：（書寫板書）很好，用這三個步驟我們自己來嘗試解決練習(xí)1的問題.

評析題目出示后，學(xué)生先自主探索，由于起點較低，每名學(xué)生都能動手找到幾個滿足條件的點C，提高了學(xué)生快速進入課堂的注意力，也激發(fā)學(xué)生思考，并產(chǎn)生疑惑如何才能找全而不重不漏.這為進一步引出解題策略，尋找通法解法，讓學(xué)生做了充分的思想準備和心理期待.緊接著提出本節(jié)課解決直角三角形存在性問題的3個基本步驟變得順理成章，水到渠成.

練習(xí)1在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，1），點B的坐標為（11，1），點C到直線AB的距離為4，若以點A，B，C為頂點的三角形是直角三角形時，則滿足條件的點C有個.此時，點C的坐標為.

分析首先，“點C到直線AB的距離為4”的條件轉(zhuǎn)化為“C點是落在距離AB為4的直線上，且這樣的直線有兩條”；其次，通過分類、作圖直觀找到點C.本題的難點在于判斷落在以AB為直徑的圓上的點C的個數(shù)及相應(yīng)的坐標，需要通過計算獲得.

評析本題的目的是對引例解題步驟的及時鞏固，尤其是條件轉(zhuǎn)化過程中的分類討論，以及驗證點的個數(shù)需要通過進一步計算等環(huán)節(jié)，加深對難點的突破和提升.而方程思想、模型思想的運用，使學(xué)生更加明晰解題的一般策略，也加深了對“數(shù)形結(jié)合萬般好”的理解.

練習(xí)2如圖，矩形ABCG和矩形CDEF全等，點B，C，D在同一直線上.已知BC=a，AB=b（a≥b），點P是線段BD上的動點，使∠APE為直角的點P個數(shù)是個.此時，線段BP的長為（用含a，b的代數(shù)式表示）.

分析本題明確了直角頂點P，因此，作以AP為直徑的圓與BD的交點即為點P.但由于矩形的邊長不定，線段BD與圓的位置關(guān)系也不能只簡單通過作圖來確定，需要進一步通過計算加以確定點P的個數(shù).線段BP長的計算可通過建立方程加以解決，同時，解決了在相應(yīng)條件下點P個數(shù)的問題.

評析此題的重點突出計算在驗證交點個數(shù)的必要性，難點在于點P個數(shù)的不同情形討論，學(xué)生如果單純通過作圖容易忽略點P只有1個時的情形.比起直接分情形作圖，建立方程討論根的情況，由此分類，自然就能想到兩種不同情形及相應(yīng)的條件，再作圖也就顯得更加有理有據(jù).學(xué)生經(jīng)歷了分類—作圖—計算—再分類—再作圖這樣一個過程，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性和互補性，在這個過程中也培養(yǎng)了學(xué)生回顧的習(xí)慣，樹立嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)思維方式.

探索2如圖，在平面直角坐標系中，點A（-4，0），B（2，0）.若直線l經(jīng)過點E（4，0），M為直線l上的動點，當(dāng)以A，B，M為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l的解析式.

分析“所作的直角三角形有且只有三個”明確了各個頂點作為直角頂點的情形有且只有一種，解題的突破口在于當(dāng)M為直角頂點唯一時，作以AB為直徑的圓與直線l相切，此時過點E的切線l有兩條.

【教學(xué)過程】

師：條件“所作的直角三角形有且只有三個”如何理解和轉(zhuǎn)化？

生：存在直角三角形，且只有三種情況.根據(jù)直角三角形分類，每個頂點作為直角頂點的情形各有一種.

師：那直線l的位置能大致確定了嗎？

生：能，直角頂點M唯一時，說明以AB為直徑的圓與直線l相切.

師：多數(shù)同學(xué)都作了一條經(jīng)過第一、二、四象限的直線l.該如何求解析式呢？

生1：除了點E外，再求一個點M的坐標，用待定系數(shù)法求解析式.連圓心、切點作半徑，利用△EBM3∽△EM2I∽△EAM1（A形相似）求出點M1或M2坐標.

生2：除了相似三角形，也可用∠M2EA的正切值做等量關(guān)系求點M坐標.

師：只有這一條k<0的切線嗎？

生：還有一條k>0，且關(guān)于x軸對稱的切線.

師：確實，需要注意圓的軸對稱性或者直線的k的正負性，這樣的切線能作兩條.所以，解題要注意反思，分類情況是否齊全.

評析本題的意圖在于鍛煉學(xué)生對題目關(guān)鍵條件的理解與轉(zhuǎn)化，尋找突破口；思維方式與探索1形成逆向關(guān)系，由之前分類引導(dǎo)作圖找尋交點個數(shù)，轉(zhuǎn)變?yōu)橐阎稽c個數(shù)結(jié)合分類引導(dǎo)作圖，使學(xué)生對解題步驟的掌握上有理有序，又不失靈活.本題還意圖培養(yǎng)學(xué)生回顧反思的習(xí)慣，避免受慣性思維影響而忽略當(dāng)k>0時切線l的情形.

【本課總評】整節(jié)課緊扣主題，以分類、作圖、計算三個基本技能為主線，將分散的題目與知識點串聯(lián)起來，由淺入深將分類討論、化歸類比、數(shù)形結(jié)合、方程思想、模型思想等數(shù)學(xué)的思想方法貫穿其中.讓學(xué)生學(xué)知識重聽講，畫圖形可操作，練計算活思維，?；仡櫱诜此?培養(yǎng)學(xué)生的感性認知與理性思考，按照步驟有據(jù)可循，條理清晰觸類旁通，使學(xué)生有效掌握直角三角形的存在性問題通法的同時，自然地將解題觸角延伸到其他幾何的存在性問題，形成方法上的類比與思維方式的提升，引導(dǎo)學(xué)生課后自行研究，激發(fā)獨立探索的欲望，將興趣點從課堂延伸至課后，對于初三學(xué)生在總復(fù)習(xí)階段良好自學(xué)氛圍的形成也有一定促進作用.