徐曉蓉+施俊進

[摘 要] 數(shù)學(xué)教學(xué)中，在學(xué)生已有的知識經(jīng)驗和教材原有知識結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，應(yīng)盡力讓學(xué)生充分經(jīng)歷實踐、體驗、內(nèi)化、表達的過程. 在這樣的過程中，師生互動，生生互動，深度交流，引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)，自我完善“用方程表示實際問題中的數(shù)量關(guān)系”的方法和能力，甚至直達數(shù)學(xué)本質(zhì)的自覺生成，從而優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì).

[關(guān)鍵詞] 生生互動；自主建構(gòu)；自我完善；自覺生成；思維品質(zhì)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）指出：數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上. 有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純地依賴模仿和記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式. 2016年10月14日，在首屆全國基礎(chǔ)教育國家級成果一等獎《初中數(shù)學(xué)“自學(xué)·議論·引導(dǎo)”教學(xué)法》研修與推廣中心成立暨第一期推廣活動中，筆者聆聽了施俊進老師執(zhí)教的“從算式到方程（一）”（人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級上冊）一課. 施老師在認真分析了學(xué)生已有的知識經(jīng)驗和教材原有知識結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，以發(fā)展的觀點，以學(xué)定教，引導(dǎo)學(xué)生直達數(shù)學(xué)本質(zhì)的自主建構(gòu)、自我完善、自覺生成，力圖體現(xiàn)“自學(xué)·議論·引導(dǎo)”教學(xué)法的基本理念和價值追求. 現(xiàn)將教學(xué)設(shè)計、課堂生成，以及反思啟示整理成文，與各位同行交流.

教學(xué)過程簡錄

（一）通過引例研究，初步認識從算式到方程是數(shù)學(xué)的進步

1. 引例研究

引例 快、慢兩車同時從A地出發(fā)沿同一公路同方向行駛，快車的行駛速度是70 km/h，慢車的行駛速度是60 km/h，快車比慢車早1 h到B地. A，B兩地間的路程是多少？

（1）引導(dǎo)學(xué)生認真讀題，分析題意，說出問題中已知什么，求什么，它們之間有怎樣的關(guān)系.

（2）引導(dǎo)學(xué)生列出算式進行求解.

（3）引導(dǎo)學(xué)生用方程來求解.

師：還有什么方法可用于求解？

（部分）生：用方程.

師：什么叫方程？

生1：含有未知數(shù)的等式叫方程.

師：方程含有未知數(shù)，那么本題怎么設(shè)未知數(shù)？方程還是一個等式，等式表示一個相等的關(guān)系，那么本題中的相等關(guān)系是什么？

生2：我設(shè)慢車走完全程所花的時間為x小時，則快車走完全程所花的時間為（x-1）小時. 相等關(guān)系是“慢車走的路程=快車走的路程”，由此得到方程60x=70（x-1）.

師：如果求得x的值，問題能得以解決了嗎？

生（齊）：不能，還要進一步求A，B兩地之間的路程.

師：還有什么方法？

生3：我設(shè)A，B兩地之間的路程為x km，由相等關(guān)系“慢車走完全程所花的時間-快車走完全程所花的時間=1”，

師：剛才我們用兩種方法列出了方程，那么用方程表示實際問題中的數(shù)量關(guān)系的一般步驟（或方法）是什么？列方程的關(guān)鍵是什么？

生4：列方程的步驟是設(shè)未知數(shù)、找相等關(guān)系、列方程. 最關(guān)鍵的是找相等關(guān)系.

師：根據(jù)問題中的數(shù)量關(guān)系，我們分別列出算式和方程來求解，請大家比較一下，算式和方程各有什么特點？

生5：方程是一個等式，等號兩邊分別是一個整式，而算式是一個整式.

生6：列算式時只能用已知數(shù)，是逆向思考；而列方程時是順著思考，既含有已知數(shù)，又含有未知數(shù). 我覺得列方程比較簡便，也容易想到.

師：思路清晰，表達清楚！大家既能從思維上比較它們的不同點，還能從形式上比較它們的不同點. 列方程和列算式都是依據(jù)問題中的數(shù)量關(guān)系，算式表示用算術(shù)方法進行計算的程序（或者是運算順序），它只含有已知數(shù)；而方程中既含有已知數(shù)，又含有未知數(shù)，打破了列算式時只能用已知數(shù)的限制，這為我們解決許多問題帶來了方便. 一般來說，列方程比列算式有更多的優(yōu)越性. 通過以后的學(xué)習(xí)，我們將會逐步認識到方程是刻畫現(xiàn)實世界的一種有效數(shù)學(xué)模型，從算式到方程是數(shù)學(xué)的進步，這就是我們今天要研究的課題——從算式到方程.

點評 引導(dǎo)學(xué)生分別用算式、方程表示問題中的數(shù)量關(guān)系并作比較，突出了方程的根本特征，使學(xué)生認識到從算式到方程使我們有了更加有力、更加方便的數(shù)學(xué)工具，進而認識到從算術(shù)方法到代數(shù)方法是一個進步，從而調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)“用方程表示問題中的數(shù)量關(guān)系”的積極性.

2. “方程”史話

中國人對方程的研究有著悠久的歷史. 兩千年前，《九章算術(shù)》中有專門研究“方程”的一章，記載了用一組方程解決實際問題的方法. 這不但是我國古代數(shù)學(xué)的偉大成就，而且是世界數(shù)學(xué)史上一份非常寶貴的遺產(chǎn). 法國數(shù)學(xué)家笛卡爾最早用x，y，z等字母表示未知數(shù)，方程才逐漸演變成現(xiàn)在的表達形式.

點評 了解方程的發(fā)展文化，能直接感受到中華民族的文化成就，產(chǎn)生民族自豪感，更重要的是，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)方程、學(xué)好方程的情感.

（二）通過例題研究，初步掌握用方程表示實際問題中的數(shù)量關(guān)系的方法

例1 根據(jù)下列問題，設(shè)未知數(shù)并列出方程.

（1）一臺計算機已使用1700 h，預(yù)計每月再使用150 h，經(jīng)過多少月這臺計算機的使用時間達到規(guī)定的檢修時間2450 h？

方式：學(xué)生代表讀題，同時學(xué)生審題、思考，并說出問題中的“已知”“求”“相等關(guān)系”分別是什么，接著獨立思考設(shè)未知數(shù)列方程，然后展示交流. 最后，教師投影解題過程.

（2）某校女生占全體學(xué)生人數(shù)的52%，比男生多80人，這個學(xué)校有多少學(xué)生？

師：請大家自己讀題、審題，思考并說出問題中的“已知”“求”和“相等關(guān)系”分別是什么.

生1：已知女生占全體學(xué)生人數(shù)的百分比，女生比男生多的人數(shù)；求學(xué)?？?cè)藬?shù)；相等關(guān)系是“女生人數(shù)-男生人數(shù)=80”.

師：還有什么要補充的嗎？

生2：相等關(guān)系還有“女生人數(shù)=學(xué)?？?cè)藬?shù)×52%”.

師：下面請同學(xué)們先獨立設(shè)未知數(shù)、列方程，然后小組交流（交流的內(nèi)容為你是怎么思考的？還有什么方法），比一比哪個小組思路最清晰、方法最多.

（獨立思考2分鐘、小組交流3分鐘）

生3：我們小組有三種方法，分別為設(shè)這個學(xué)校的學(xué)生共有x人，則女生有52%x人，男生有（1-52%）x人，根據(jù)相等關(guān)系“女生人數(shù)比男生人數(shù)多80人”得52%x-（1-52%）x=80或（1-52%）x+80=52%x；第三種方法是設(shè)男生有x人，但方程還沒列好.

師：設(shè)這個學(xué)校的學(xué)生共有x人，列出的方程怎么會有兩個？

生4：一樣的.

師：兩個方程形式不同，但是依據(jù)的相等關(guān)系一樣，它們之間可以相互轉(zhuǎn)化. 若設(shè)男生有x人，則根據(jù)哪個相等關(guān)系可列出怎樣的方程？

生5：如果設(shè)男生有x人，那么女生有（x+80）人，根據(jù)相等關(guān)系“女生人數(shù)=學(xué)?？?cè)藬?shù)×52%”得x+80=52%（x+x+80）.

師：還有不同的方法或思路嗎？

生6：我也設(shè)這個學(xué)校的學(xué)生共有x人，根據(jù)“男生人數(shù)=男生人數(shù)”來列方程. （眾生笑）

生6：因為這個學(xué)校的學(xué)生共有x人，由“女生人數(shù)=學(xué)?？?cè)藬?shù)×52%”可以知道女生有52%x和男生人數(shù)=學(xué)校總?cè)藬?shù)×48%，那么男生人數(shù)有48%x人，又根據(jù)相等關(guān)系“女生人數(shù)比男生人數(shù)多80人”知道男生人數(shù)為（52%x-80）. 這樣，48%x和（52%x-80）都表示男生人數(shù)，從而可得方程48%x=52%x-80.

師：非常好！生6同時根據(jù)兩個相等關(guān)系，分別用不同的式子表示相同的量，即男生的人數(shù)，從而列出方程，為我們列方程提供了一個新的思路.

在這個問題的解決中，我們可以發(fā)現(xiàn)：如果求什么設(shè)什么，那是直接設(shè)元，可以直接求出問題的結(jié)果；但是間接設(shè)元則不能直接求出問題的結(jié)果，需要進一步計算.

（3）甲種鉛筆每支0.3 元，乙種鉛筆每支0.6 元，用9元錢買了兩種鉛筆共20支，兩種鉛筆各買了多少支？

方式：師生共同分析，學(xué)生形成兩種思路.

思路一：設(shè)甲種鉛筆買了x支，則乙種鉛筆買了（20-x）支，根據(jù)相等關(guān)系“甲種鉛筆用的錢數(shù)+乙種鉛筆用的錢數(shù)=9”可列出方程0.3x+0.6（20-x）=9.

思路二：設(shè)甲種鉛筆用的錢數(shù)為x元，則乙種鉛筆用的錢數(shù)為（9-x）元，根據(jù)相等關(guān)系“甲種鉛筆的支數(shù)+乙種鉛筆的支數(shù)=20”

追問：問題（2）和問題（3）都有兩個相等關(guān)系，應(yīng)如何處理？

教師強調(diào)：當(dāng)問題中出現(xiàn)兩個相等關(guān)系時，可以用其中一個相等關(guān)系表示兩個未知數(shù)，再根據(jù)另外一個相等關(guān)系列方程；列方程的關(guān)鍵是找相等關(guān)系.

點評 設(shè)置這樣三個由淺入深的例題，讓學(xué)生自主找相等關(guān)系、設(shè)未知數(shù)、列方程，這樣符合學(xué)生的認知規(guī)律，分散了列方程這一教學(xué)難點，化整為零地培養(yǎng)學(xué)生的建模能力. 同時為學(xué)生自主建構(gòu)一元一次方程及其相關(guān)概念作準(zhǔn)備. 整個過程中，交替靈活地使用“個人學(xué)習(xí)、小組學(xué)習(xí)、全班學(xué)習(xí)”三結(jié)合的形式，讓學(xué)生充分經(jīng)歷實踐（思維或操作）、體驗（發(fā)現(xiàn)、歸納、論證、概括）、內(nèi)化（掌握了什么？為什么？）、表達（說出來，用起來）的過程. 在這個過程中，師生互動，生生互動，深度交流，達到知識、技能、方法、經(jīng)驗、能力、情感、態(tài)度以及價值觀的自主建構(gòu)、自覺生成. 注重了學(xué)生讀題審題能力及分析問題、解決問題能力的培養(yǎng)；鼓勵學(xué)生用不同方法體驗解決問題策略的多樣性，優(yōu)化了學(xué)生的發(fā)散性思維品質(zhì). 引導(dǎo)學(xué)生自覺地先找相等關(guān)系，再列方程，讓學(xué)生明確找相等關(guān)系是列方程的關(guān)鍵，滲透數(shù)學(xué)建模思想，讓學(xué)生從現(xiàn)實表述到符號表述的情境中深刻理解方程的意義，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性和發(fā)散性思維.

（三）在列方程的基礎(chǔ)上，自主建立一元一次方程及其相關(guān)概念

師：觀察以上列出的方程，它們有什么共同的特征？

生1：只含有一個未知數(shù)；未知數(shù)的次數(shù)都是1.

生2：等號兩邊都是整式.

師：我國古代用“天元、地元、人元、物元”等表示未知數(shù)，因此我們把同時具備以上三個特征的方程叫做一元一次方程. 你能用自己的語言說說什么叫一元一次方程嗎？

生3：只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，等號兩邊都是整式，這樣的方程叫做一元一次方程.

生6：使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解.

師：求出方程的解的過程叫解方程. 一般地，要檢驗?zāi)硞€值是不是方程的解，怎么辦？

生7：用這個值代替方程中的未知數(shù)，看方程左右兩邊的值是否相等. 如果相等，那么這個值是方程的解；如果不相等，那么這個值不是方程的解.

師：那么如何把方程 有根有據(jù)地化為x=420的形式呢？這是我們下一節(jié)課要研究的內(nèi)容——方程的解法.

點評 通過具體問題，引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)相關(guān)概念，是學(xué)生原有基礎(chǔ)上的自然提高，符合學(xué)生從特殊到一般、具體到抽象的認識過程；同時有利于歸納、概括能力的提高.

（四）師生共同總結(jié)

引導(dǎo)學(xué)生圍繞以下問題進行思考、交流：

（1）怎么認識“從算式到方程”是數(shù)學(xué)的進步？

（2）如何用方程表示實際問題中的數(shù)量關(guān)系？

（3）通過今天的學(xué)習(xí)，你覺得最大的收獲是什么？還有什么疑問或想法？

師：用方程表示實際問題中的數(shù)量關(guān)系，為我們解決問題提供了更多的方法和途徑；從算式到方程使我們有了更有力、更加方便的數(shù)學(xué)工具，從算術(shù)方法到代數(shù)方法是數(shù)學(xué)的進步，如果學(xué)會了正確地解方程，那么解決問題的能力就更強了.

點評 “問題化”引領(lǐng)學(xué)生自主總結(jié)，有利于發(fā)揮學(xué)生的主體作用，有利于學(xué)生歸納、整理和表達能力的提高，有利于增強學(xué)生自主反思學(xué)習(xí)過程的意識和能力. 通過學(xué)生的自主反思，使得學(xué)生自主建構(gòu)自己的經(jīng)驗世界和認知結(jié)構(gòu)，自覺地達到知識、方法、技能、情感、態(tài)度和價值觀的生成.

（五）課后作業(yè)

必做題：書P83～84的5～9；選做題：書P84的10、11.

附板書設(shè)計： 如圖1.

點評 根據(jù)學(xué)生已有“列算式和方程”解決實際問題的經(jīng)驗構(gòu)建本課的知識框圖，有利于整體把握有關(guān)知識和方法，有利于能力的提高和素質(zhì)的發(fā)展. 同時，以知識結(jié)構(gòu)框圖的形式展現(xiàn)給學(xué)生，新穎、系統(tǒng)、醒目，且突出了知識的生成過程和包含關(guān)系，學(xué)生看了一目了然，便于整體理解和記憶.

反思和啟示

1. 鼓勵解法多樣化，強化“數(shù)學(xué)建模思想”

學(xué)生在小學(xué)階段已學(xué)習(xí)了用簡易方程解決實際問題，學(xué)生已經(jīng)對方程有了初步的認識，積累了一些用方程表示簡單情境中的數(shù)量關(guān)系的經(jīng)驗（但根據(jù)相等關(guān)系列方程的意識不夠強烈）. 即學(xué)生在學(xué)習(xí)之前，習(xí)慣于算術(shù)方法解決實際問題以及模糊的方程意識. 為強化“數(shù)學(xué)建模思想”，在教學(xué)過程中，對每個實際問題，都提出相同的問題：“本題的相等關(guān)系是什么或它們之間有什么關(guān)系？”看似“牽著學(xué)生走”，實質(zhì)是突出教學(xué)重點、分散教學(xué)難點. “用方程表示實際問題中的數(shù)量關(guān)系，體會建立數(shù)學(xué)模型思想”，對后繼內(nèi)容的學(xué)習(xí)具有重要的基礎(chǔ)作用. 為強化“先找問題中的相等關(guān)系，再設(shè)未知數(shù)，利用相等關(guān)系列出方程”的意識和能力，應(yīng)鼓勵學(xué)生用不同的方法解決各個問題. 在這樣的過程中，通過對話、追問、啟發(fā)、思辨等，能自主思考、表達、操作、發(fā)現(xiàn)并修正自身的不足乃至錯誤. 民主、開放的課堂氛圍讓學(xué)生身心愉悅，能帶給學(xué)生深入細致的思考、無拘無束的交流，使得人人都能積極參與、積極思考. 學(xué)生自主探究多種方法后的展示、交流、評價、互糾，教師綜合評價，不僅能讓學(xué)生積累相互協(xié)作、相互啟發(fā)、用方程表示數(shù)量關(guān)系的方法和經(jīng)驗，還能提高其數(shù)學(xué)表達和分享交流的能力，這無疑有利于學(xué)生思維品質(zhì)的提升.

2. 基于經(jīng)驗，自主構(gòu)建、自覺生成

所謂“生成”，是指學(xué)生知識、能力的自主生長，逐漸生成（即“產(chǎn)生、生長、成型”等意思；絕不止于教師預(yù)設(shè)之外、出乎意料的課堂學(xué)習(xí)情態(tài)）. 生成的過程，是智慧，是一段獨特的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，是學(xué)生“生產(chǎn)知識”（郭思樂語）的一種形態(tài). 教學(xué)中，從學(xué)生已有經(jīng)驗出發(fā)展開學(xué)習(xí)，方程模型的建立及相關(guān)方法、概念的得出都是在教師的引導(dǎo)下，自主構(gòu)建、自我完善、自覺生成. 通過“算式和方程各有什么特點”，幫助所有學(xué)生自主生成“一般地，列方程比列算式更方便，從算式到方程是數(shù)學(xué)的進步”. 通過“如何用方程表示實際問題中的數(shù)量關(guān)系”“觀察列出的方程，它們有什么共同的特征”“問題中含有兩個相等關(guān)系，如何來處理”等，引領(lǐng)學(xué)生自主建構(gòu)、自覺生成認知結(jié)構(gòu)和經(jīng)驗世界. 尤其在例題教學(xué)中，通過先獨立、再交流的方式，引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)“用方程表示問題中數(shù)量關(guān)系”的經(jīng)驗，使得學(xué)生獲得自覺利用方程模型解決問題（模型思想）的意識和能力，從而使學(xué)生的邏輯思維從經(jīng)驗型逐步走向理論型. 通過不斷追問“你還有其他方法或思路嗎”，引導(dǎo)學(xué)生自覺地探究不同的設(shè)元方法，拓展了例題的教學(xué)功能，讓學(xué)生通過做一題，學(xué)會如何處理含有“兩個相等關(guān)系”的一類實際問題.

3. 關(guān)注教學(xué)的“后半段”，主動建構(gòu)

心理學(xué)家波斯納認為，沒有反思的經(jīng)驗是狹隘的經(jīng)驗，至多只能形成膚淺的認識. 有效引導(dǎo)學(xué)生進行自我反思，有利于學(xué)生學(xué)習(xí)力的自主提升. 為此，“后半段”的教學(xué)應(yīng)該是“生長”在學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”上進行的，使得學(xué)生在教師的有效引導(dǎo)下不斷地在“原有認知基礎(chǔ)上主動建構(gòu)”，不斷完善知識結(jié)構(gòu)體系，提升思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)習(xí)力. 本課中，教師就任何一個相對獨立的教學(xué)階段，通過“問題”引領(lǐng)，有效引導(dǎo)學(xué)生進行自我反思，盡力發(fā)揮“后半段”教學(xué)的有效性. 通過“算式和方程各有什么特點”，引導(dǎo)所有學(xué)生感知“一般地，列方程比列算式更方便”. 通過問題（含課堂總結(jié)等），引領(lǐng)學(xué)生自主建構(gòu)、自覺生成認知結(jié)構(gòu)和經(jīng)驗世界，反思、鞏固知識與技能，體會數(shù)學(xué)思想與方法，形成基本的活動經(jīng)驗；通過“自評、互評”，引導(dǎo)學(xué)生積極參與，增進師生、生生之間的多向交流，取長補短，有利于激勵學(xué)生不斷認識掌握，完善學(xué)習(xí)；同時又關(guān)注了個體差異，真正保護不同層次學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，使得不同的學(xué)生都可以在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上獲得不同程度的成功感.