杜建軍

[摘要]類比推理作為一般的合情推理方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中被大量應(yīng)用。在經(jīng)歷類比推理的過程中，讓學(xué)生感悟運(yùn)用類比推理的價(jià)值。運(yùn)用類比推理得到的結(jié)論是或然的，但不能因?yàn)轭惐戎写嬖诨蛉滑F(xiàn)象而否定類比推理對于思維培養(yǎng)的價(jià)值。

[關(guān)鍵詞]類比推理 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 有效實(shí)施

在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生有時(shí)會對某個(gè)知識點(diǎn)有“似曾相識”的感覺。如果我們能抓住學(xué)生的這種感覺，適時(shí)啟迪學(xué)生進(jìn)行比較和聯(lián)想，往往學(xué)生能在相似思考中獲得所需的方法或結(jié)果，從而輕松地解決問題。這里其實(shí)是在運(yùn)用類比推理。

在具體教學(xué)中如何由舊知識遷移類比到新知識，如何通過恰當(dāng)?shù)膯栴}溝通新舊知識間的聯(lián)系，如何引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)類比推理、感悟推理思想呢？帶著這些困惑，筆者翻閱了近幾年的聽課筆記，結(jié)合讀書及平時(shí)的教學(xué)實(shí)踐，從中窺探一些現(xiàn)象與問題，進(jìn)行以下思考。

一、怎樣引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比推理進(jìn)行思考

數(shù)學(xué)教育家波利亞說：“類比就是一種相似?！睉?yīng)用類比的思想方法，關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)兩類事物間相似的性質(zhì)，因此，觀察、比較與聯(lián)想是類比的基礎(chǔ)。我們在運(yùn)用類比法進(jìn)行教學(xué)時(shí)，要從具體的問題情境出發(fā)，提供先行組織者材料，引導(dǎo)學(xué)生尋找相似的類比問題，通過觀察、比較、聯(lián)想，溝通新舊知識間的聯(lián)系，從而引發(fā)學(xué)生進(jìn)行類比思考并大膽猜想，再通過舉例驗(yàn)證，最后得出結(jié)論。在經(jīng)歷類比的過程中，感悟運(yùn)用同類比推理的價(jià)值。

1.引導(dǎo)回顧舊知，搜索類比對象

在涉及運(yùn)用類比推理教學(xué)時(shí)，我們首先要根據(jù)學(xué)生所學(xué)新知或所要解決問題的具體特點(diǎn)和規(guī)律，尋找與它在特征或思考方法上相類似的對象。這樣的對象須是學(xué)生已經(jīng)學(xué)會的舊知識或經(jīng)驗(yàn)。如在教學(xué)小數(shù)、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算順序及運(yùn)算律時(shí)，我們可以將整數(shù)運(yùn)算順序、運(yùn)算律作為類比對象；在教學(xué)正方形的周長或面積計(jì)算時(shí)，將剛學(xué)過的長方形的周長或面積計(jì)算作為類比對象。而在教學(xué)圓柱的體積公式推導(dǎo)時(shí)，在實(shí)驗(yàn)操作方法上可和圓的面積公式推導(dǎo)的操作方法進(jìn)行類比。同時(shí)該問題還與長方體和正方體的體積計(jì)算有一些相似點(diǎn)，這些是啟迪學(xué)生感悟圓柱體積計(jì)算的基礎(chǔ)，特別是長方體和正方體的體積計(jì)算公式“底面積×高”，對探索圓柱的體積計(jì)算方法起著重要作用。這樣就找到了學(xué)習(xí)圓柱的體積計(jì)算的合適類比對象。

尋找類比對象，可以通過創(chuàng)設(shè)一定的問題情境，讓學(xué)生在教師的啟發(fā)下進(jìn)行。隨著學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累以及他們對運(yùn)用類比法解決問題價(jià)值的體會，學(xué)生會逐漸學(xué)會自覺尋找合適的類比對象。

教學(xué)中，可以通過提出以下問題引導(dǎo)學(xué)生尋找類比對象：

（1）目前遇到的這個(gè)問題你見過嗎？你覺得解決這個(gè)問題需要用到我們以前學(xué)過的哪些知識？

（2）你覺得這個(gè)問題與以前學(xué)過的哪些問題相似？你覺得解決這個(gè)問題所用的方法與以前解決哪個(gè)問題所用的方法相似？

2.觀察比較.溝通聯(lián)系

我們經(jīng)常聽到學(xué)生說，這個(gè)問題與我們以前學(xué)過的某個(gè)問題很像，其實(shí)學(xué)生正在進(jìn)行類比聯(lián)想。有了這樣油然而生的聯(lián)想，學(xué)生能比較深入地溝通新舊知識問的聯(lián)系，在觀察、比較中區(qū)分問題屬性的異同，并找出它們類似的特征，從而使學(xué)生加深對新知識的理解。

平面圖形和立體圖形有很多的相似點(diǎn)。平面圖形的邊和立體圖形的面可以進(jìn)行比較，平面圖形的面積和立體圖形的體積也可進(jìn)行比較。比如，在教學(xué)體積單位時(shí)，我們可以這樣引導(dǎo)：為了便于比較不同物體表面或圖形的大小，我們統(tǒng)一了面積單位。那么，為了比較不同物體或立體圖形的大小，我們應(yīng)該怎么辦呢？讓學(xué)生在類比思考下明白同樣需要對體積單位進(jìn)行統(tǒng)一，這種共同的需要便是它們的聯(lián)系點(diǎn)。再如，1平方厘米與1立方厘米，它們都是以長度單位1厘米為基礎(chǔ)，這樣就可以將面積單位和體積單位聯(lián)系起來，進(jìn)一步找到它們的聯(lián)系點(diǎn)。在教學(xué)長方體的體積計(jì)算公式推導(dǎo)時(shí)，可以與長方形的面積計(jì)算公式進(jìn)行類比。另外，在同一類圖形中，也有很多相似點(diǎn)。如我們在教學(xué)正方體的認(rèn)識時(shí)，就可以直接引導(dǎo)學(xué)生溝通正方體與長方體之間的聯(lián)系，正方體是特殊的長方體，它們在面、棱及頂點(diǎn)的數(shù)量及特征上相同或相似。通過這些聯(lián)系點(diǎn)，就能很好地將兩個(gè)問題聯(lián)系起來，在觀察、比較的基礎(chǔ)上逐步弄清問題的實(shí)質(zhì)。教學(xué)時(shí)，我們一般可以提出如下問題：

你覺得要解決的問題與已解決的原問題在哪些方面相似？它們的共同點(diǎn)是什么？

3.類比推理，形成猜想

有了以上對類比問題的確定及對兩個(gè)問題間相似點(diǎn)的把握，我們便可引導(dǎo)學(xué)生在聯(lián)想的基礎(chǔ)上進(jìn)行大膽猜想，實(shí)現(xiàn)知識的遷移，初步得出結(jié)論，這是類比推理過程中極為重要的一步。類比聯(lián)想是引發(fā)類比推理的動力，盡管此時(shí)得出的結(jié)論不一定正確，但學(xué)生在這個(gè)過程中進(jìn)一步溝通了新舊知識間的聯(lián)系，促進(jìn)了學(xué)生推理能力的發(fā)展和思維品質(zhì)的提升。此時(shí)我們應(yīng)鼓勵學(xué)生大膽地將猜想的結(jié)果在組內(nèi)或全班表達(dá)出來，不能因?yàn)橛行W(xué)生的猜想結(jié)果與正確結(jié)論不一致而否定學(xué)生的思維方法。其實(shí)，在這個(gè)過程中，學(xué)生真正在開動腦筋積極思考、在類比思考中提出猜想，這恰好反映了他們對解決問題所做的努力。因此，我們?nèi)詰?yīng)對學(xué)生通過類比提出猜想而給予鼓勵。

比如，在教學(xué)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)時(shí)，可以直接引導(dǎo)學(xué)生回顧分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系及除法中商不變的性質(zhì)，讓學(xué)生根據(jù)商不變的性質(zhì)，直接類比猜想出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。由于分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)與商不變的性質(zhì)在本質(zhì)上是一致的，因此沒有必要再花大量時(shí)間重新去探索其性質(zhì)。

在進(jìn)行這一步教學(xué)時(shí)，我們一般可以提出如下問題：

通過類比，你覺得今天所學(xué)的新問題有哪些特點(diǎn)（或性質(zhì)）？你覺得可以用怎樣的方法來解決這個(gè)問題？請你們大膽地猜想一下。

4.舉例驗(yàn)證，明確結(jié)論

如在教學(xué)小數(shù)、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算順序、運(yùn)算律時(shí)，我們先直接引導(dǎo)學(xué)生猜想：整數(shù)運(yùn)算順序、運(yùn)算律在小數(shù)、分?jǐn)?shù)中能否直接應(yīng)用？不同意的同學(xué)，請舉出反例，同意的請舉例驗(yàn)證。學(xué)生在這樣的過程中逐漸明白整數(shù)運(yùn)算順序、運(yùn)算律在小數(shù)、分?jǐn)?shù)計(jì)算中也同樣適用，從而驗(yàn)證了結(jié)論的正確性。

通過舉例驗(yàn)證，還為學(xué)生創(chuàng)造了回顧與反思的機(jī)會，讓他們重新審視學(xué)習(xí)過程。如果通過驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是錯誤的，恰好引導(dǎo)學(xué)生將所給問題引向新的思考，進(jìn)一步修正猜想。這些過程都是學(xué)習(xí)中難能可貴的體驗(yàn)。

進(jìn)行這一步教學(xué)時(shí)，一般可以通過提出如下問題引導(dǎo)學(xué)生思考：

（1）為了驗(yàn)證我們的猜想是否正確，同學(xué)們能找出相反的例子嗎？如果找不到反例，請大家再舉例驗(yàn)證一下。

（2）我們剛才是如何解決這個(gè)問題的？你是通過和什么進(jìn)行類比的？

（3）在剛才解決問題的過程中，你覺得我們要注意什么？

二、怎樣看待類比推理中的或然現(xiàn)象

類比推理是一種合情推理，采用類比推理出的結(jié)論可能不一定正確。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，有以下幾個(gè)例子值得注意。

如平行四邊形面積計(jì)算公式推導(dǎo)的教學(xué)。平行四邊形面積計(jì)算的教學(xué)是在學(xué)生掌握了長方形、正方形面積計(jì)算的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，長方形的面積=底×高，因此學(xué)生在學(xué)習(xí)平行四邊形計(jì)算時(shí)經(jīng)常將此類比過來，認(rèn)為平行四邊形的面積等于底與其鄰邊相乘的積。在課堂上出現(xiàn)這種現(xiàn)象時(shí)，大多數(shù)教師往往是簡單地對學(xué)生的猜想進(jìn)行否定，甚至批評學(xué)生不應(yīng)該這樣猜想。我認(rèn)為，猜想本來就是無所謂對錯的，要允許學(xué)生在猜想的過程中出現(xiàn)與正確結(jié)論不一致的情況，我們要看到學(xué)生在這個(gè)過程中思維活動的閃光點(diǎn)，這正是讓學(xué)生正確、全面認(rèn)識類比推理的一個(gè)好機(jī)會。

教學(xué)中出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象時(shí)，我們可以嘗試作如下引導(dǎo)：同學(xué)們剛才猜想平行四邊形的面積等于底與鄰邊相乘，大家能大膽地與長方形的面積計(jì)算方法進(jìn)行類比，可是，這樣猜想出的結(jié)論一定正確嗎？你能運(yùn)用我們所學(xué)的知識進(jìn)行驗(yàn)證嗎？

這時(shí)有些同學(xué)會想起用數(shù)方格的方法進(jìn)行驗(yàn)證，也可能會有同學(xué)用能活動的平行四邊形學(xué)具通過改變平行四邊形的高發(fā)現(xiàn)在變化的過程中其面積也在隨著變化，從而發(fā)現(xiàn)剛才猜想的結(jié)論不正確。到這里，我們可以進(jìn)一步作如下引導(dǎo)，出示兩個(gè)不規(guī)則的圖形（如下圖）：

讓學(xué)生思考如何通過測量求出這兩個(gè)圖形的面積。這時(shí)他們?nèi)菀紫氲竭\(yùn)用割補(bǔ)法將兩個(gè)圖形分別轉(zhuǎn)化為長方形來計(jì)算面積。有了這樣的鋪墊，接著再引導(dǎo)學(xué)生思考：大家覺得平行四邊形的面積計(jì)算能否運(yùn)用類似的方法呢？從而再次將學(xué)生引導(dǎo)到轉(zhuǎn)化方法的類比上。學(xué)生就會容易想到通過割補(bǔ)轉(zhuǎn)化的方法，進(jìn)一步將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，并引導(dǎo)學(xué)生猜想是否所有的平行四邊形都能運(yùn)用割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化為長方形來計(jì)算其面積。接著引導(dǎo)學(xué)生通過動手操作進(jìn)行驗(yàn)證，得到平行四邊形的面積=底×高，從而實(shí)現(xiàn)思考方法的正遷移。在這個(gè)過程中，學(xué)生會逐漸明白為什么不能用底與鄰邊相乘來計(jì)算平行四邊形的面積，并感受到運(yùn)用類比推理要選擇好類比對象，對運(yùn)用類比法解決問題的一般過程有了比較清楚的認(rèn)識。

又如3的倍數(shù)的特征這部分內(nèi)容教學(xué)。這部分內(nèi)容是在剛剛進(jìn)行2、5的倍數(shù)的特征教學(xué)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。2、5的倍數(shù)的特征都是通過看個(gè)位上數(shù)的特征得到的。因此，學(xué)生會很自然地通過類比進(jìn)行猜想：3的倍數(shù)的特征可通過看個(gè)位上的數(shù)是否為3的倍數(shù)得到。這里我們也要讓學(xué)生經(jīng)過舉例驗(yàn)證說明這個(gè)結(jié)論是不成立的。并進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、歸納探索出3的倍數(shù)的特征。

通過以上分析，我們發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用類比推理得到的結(jié)論是或然的，必須等待我們通過進(jìn)一步舉例或證明來進(jìn)行驗(yàn)證。因此，我們有必要從整體上把握各年級教材的編排體系，熟悉教學(xué)內(nèi)容的前后聯(lián)系，清楚哪些內(nèi)容可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比推理進(jìn)行進(jìn)一步學(xué)習(xí)，正確看待類比推理中的或然現(xiàn)象，不能因?yàn)轭惐戎写嬖诨蛉滑F(xiàn)象而否定類比推理的思維培養(yǎng)價(jià)值。

類比推理是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種良好的思維方式。引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比推理時(shí)，重在溝通新舊知識間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行大膽猜想，在活動過程中提升學(xué)生的思維能力。類比推理是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它能誘發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)、激發(fā)靈感，激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生體驗(yàn)到發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新的快樂。