錢麗談

【摘要】本文根據(jù)信息加工理論，歸納了學(xué)生在數(shù)學(xué)解題各個(gè)階段出現(xiàn)的常見思維障礙：1.在信息輸入階段有信息提取缺失和信息提取失真；2.在信息加工階段有思維定勢(shì)和思維的靈活性障礙；3.在信息輸出階段有思維的連續(xù)性障礙和思維的邏輯性障礙；4.在信息的反饋階段有思維的反思性障礙和思維的惰性障礙。并提出了克服數(shù)學(xué)解題思維障礙的對(duì)策：1.組塊策略；2.編碼策略；3.遷移策略；4.目的——手段分析策略；5.序化策略；6.元認(rèn)知策略。

【關(guān)鍵詞】信息加工 數(shù)學(xué)解題 思維障礙 突破

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）02-0120-02

數(shù)學(xué)教育家奧加涅相曾指出：“思維與解題過程的密切聯(lián)系是公認(rèn)的?！睆男睦韺W(xué)的角度來看，造成數(shù)學(xué)解題困難的主要原因在于解題思維過程的某個(gè)環(huán)節(jié)出現(xiàn)了障礙。根據(jù)信息加工理論，一個(gè)數(shù)學(xué)問題可以看成是由內(nèi)部信息（條件信息、結(jié)論信息）以及與之相關(guān)的外部信息構(gòu)成的整體系統(tǒng)。內(nèi)部信息主要包括已知數(shù)據(jù)及其特征、式子（條件和結(jié)論）的結(jié)構(gòu)形式、圖形和符號(hào)的意義等。外部信息主要包括相關(guān)的概念、定理、公理、公式、經(jīng)驗(yàn)、方法、技能等。[1]因此，數(shù)學(xué)解題過程就是在已有的相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、技能的基礎(chǔ)上，根據(jù)所確立的問題目標(biāo)，對(duì)數(shù)學(xué)問題系統(tǒng)內(nèi)外相關(guān)信息進(jìn)行加工處理，最后輸出處理結(jié)果的過程，簡(jiǎn)單地講，數(shù)學(xué)解題的過程就是數(shù)學(xué)信息的輸入、加工、輸出和反饋的過程。

1.信息輸入階段的思維障礙突破

在進(jìn)行數(shù)學(xué)解題時(shí)，通過審題提取信息是解決問題的第一步，有效信息提取得越多，越有利于問題的解決。在此階段，學(xué)生出現(xiàn)的主要思維障礙有：（1）信息提取缺失：不能從已知條件回憶起與題目有關(guān)的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)與技能，不善于挖掘已知條件和結(jié)論中隱含的重要信息，從而形成思維障礙，妨礙解題的進(jìn)一步進(jìn)行。（2）信息提取失真：對(duì)一些數(shù)學(xué)概念或方法僅僅停留在文字表象的理解上，不能很好地實(shí)現(xiàn)文字與符號(hào)、圖形三種語言之間的轉(zhuǎn)換，從而曲解題意，導(dǎo)致思維受阻。

1.1組塊策略

組塊策略就是將零散的構(gòu)件組成有意義的單元。從信息加工的角度來看，組塊是人對(duì)信息進(jìn)行組織或再編碼。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程實(shí)質(zhì)上是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)與重組的過程。為幫助學(xué)生建立良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，一方面，教師在教學(xué)時(shí)要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)一系列相關(guān)的問題，形成問題組塊，培養(yǎng)學(xué)生整體加工信息的能力；另一方面，教師要引導(dǎo)學(xué)生挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，利用組塊策略構(gòu)建知識(shí)塊，形成知識(shí)鏈，使零亂的數(shù)學(xué)信息組合成有內(nèi)在聯(lián)系的有序的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)的有效存儲(chǔ)，在數(shù)學(xué)解題時(shí)能快速提取相關(guān)的知識(shí)。

1.2編碼策略

2.信息加工階段的思維障礙突破

信息提取之后，就要對(duì)所提取的信息進(jìn)行加工處理，構(gòu)建解題方案，在此過程中需要大量積極的思維活動(dòng)。在此階段，學(xué)生出現(xiàn)的主要思維障礙有：（1）思維定勢(shì)：受思維定勢(shì)的影響，在解題時(shí)思考解決問題的線路比較單一，多數(shù)時(shí)候憑借原有的解題經(jīng)驗(yàn)，套用模式，面對(duì)新的問題情境，因循守舊、思路狹窄，不能積極調(diào)動(dòng)已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)解決問題。（2）思維的靈活性障礙：缺少靈活運(yùn)用觀察比較、歸納猜想、演繹推理等思維方法的能力，對(duì)公式、定理的逆向運(yùn)用和變形使用感知較差，不能很好把握住整體，不善于挖掘條件和結(jié)論之間存在的隱含的關(guān)系，因而難以尋找到解題方法和途徑。

2.1遷移策略

遷移，就是一種知識(shí)、技能的學(xué)習(xí)對(duì)另一種知識(shí)、技能學(xué)習(xí)的影響。從信息加工理論來看，遷移過程本質(zhì)上就是學(xué)習(xí)者利用已有的“知識(shí)組塊”來處理新的問題，遷移分為水平遷移和垂直遷移。[2]所謂水平遷移是指心理結(jié)構(gòu)處于同一層次，在難度和復(fù)雜程度上大致一致屬于同一水平的學(xué)習(xí)間的遷移。這種策略適于解決與已有的某“知識(shí)組塊”之間存在狀態(tài)或過程相同元素的數(shù)學(xué)問題。垂直遷移是指難度的復(fù)雜程度不在同一水平的學(xué)習(xí)之間的遷移。按信息加工理論的觀點(diǎn)，垂直遷移是學(xué)習(xí)者在已有的“原問題知識(shí)組塊”上加上某一重要條件變化信息來處理一個(gè)新的問題，或從已有的知識(shí)組塊中分離出相對(duì)較小的知識(shí)組塊的信息加工過程。這種策略適用于解決與已有的“知識(shí)組塊”之間存在差異，需要對(duì)原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)或當(dāng)前問題的組成成分重新改組、轉(zhuǎn)換或聯(lián)合的數(shù)學(xué)問題。

學(xué)會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)信息的遷移加工，不僅能廣泛地調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性和主動(dòng)性，提高思維的靈活性和變通性，而且有助于克服思維定勢(shì)。

2.2目的——手段分析策略

信息加工心理學(xué)認(rèn)為問題解決是一種以目標(biāo)定向的搜尋問題空間的認(rèn)知過程。目的——手段分析策略是一種重要的問題解決策略，它經(jīng)常與子目標(biāo)策略一起運(yùn)用。子目標(biāo)策略就是把一個(gè)問題分成若干個(gè)比較小的問題，每個(gè)小問題都有自己的目標(biāo)，通過子目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)最終使問題的當(dāng)前狀態(tài)達(dá)到最后的目標(biāo)狀態(tài)。數(shù)學(xué)解題過程就是先確認(rèn)問題的當(dāng)前狀態(tài)與目標(biāo)狀態(tài)之間的差別，然后確認(rèn)要消除差別達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)所要實(shí)現(xiàn)的子目標(biāo)或者說中間狀態(tài)。一旦子目標(biāo)確立，只要應(yīng)用算子實(shí)現(xiàn)子目標(biāo)，通過運(yùn)用一系列算子，實(shí)現(xiàn)一個(gè)個(gè)子目標(biāo)，最終達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)。

該策略在問題解決中的思維操作步驟如下[3]：

①認(rèn)清問題的初始狀態(tài)和目標(biāo)狀態(tài)；

②分解問題的總目標(biāo)為若干小目標(biāo)（每個(gè)小目標(biāo)就是一個(gè)中間狀態(tài)）；

③選擇手段將初始狀態(tài)向第一個(gè)小目標(biāo)推進(jìn)；

④達(dá)到第一個(gè)小目標(biāo)后，再選擇手段向第二個(gè)小目標(biāo)推進(jìn)，依次類推；

⑤如果某一手段行不通，就退回原來狀態(tài)，重新選擇手段，直至最終達(dá)到總目標(biāo)。

3.信息輸出階段的思維障礙突破

在明確了解決問題的方法之后，就要進(jìn)行解答，即利用數(shù)學(xué)計(jì)算規(guī)則進(jìn)行一系列的數(shù)學(xué)運(yùn)算，最后求得正確的答案。在此階段，學(xué)生出現(xiàn)的主要思維障礙有：（1）思維的連續(xù)性障礙：在書寫解答過程時(shí)思維具有跳躍性，想到什么寫什么，難以形成明確、嚴(yán)謹(jǐn)、完整的解答。（2）思維的邏輯性障礙：解題的思維過程呈無序化，解題時(shí)缺乏簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確、流暢的表述能力，要么丟三落四，要么因果關(guān)系錯(cuò)位，列出一大堆多余的條件，沒有遵循一定的解題步驟，缺乏必要的邏輯性，經(jīng)常出現(xiàn)“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”的現(xiàn)象。

序化策略是突破以上思維障礙的一種行之有效的方法。信息加工學(xué)習(xí)理論吸取了系統(tǒng)論的有序性原理，認(rèn)為任何系統(tǒng)都是由若干相互聯(lián)系、相互作用的要素構(gòu)成的。數(shù)學(xué)問題的解決是一個(gè)系統(tǒng)過程，應(yīng)把數(shù)學(xué)問題的解決視為一個(gè)有機(jī)連續(xù)的過程而進(jìn)行信息加工。教師在解題教學(xué)中，對(duì)問題的分析可以是間斷、跳躍的，但學(xué)生對(duì)問題理解后，教師要指導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)信息按一定的邏輯聯(lián)系組織起來。為幫助學(xué)生組織起連續(xù)性的整體思維，教師對(duì)問題（尤其是證明題）分析過程的板書一定要展現(xiàn)清晰的解題思維過程，為學(xué)生的書寫提供連續(xù)性的思維線索，學(xué)生解答過程才會(huì)產(chǎn)生條理分明的效果。

4.信息反饋階段的思維障礙突破

反饋不僅是解決完一個(gè)問題后的總結(jié)與回顧，更主要的是執(zhí)行與控制，它體現(xiàn)在信息加工過程中的每一個(gè)環(huán)節(jié)。在此階段，學(xué)生出現(xiàn)的主要思維障礙有：（1）思維的反思性障礙：對(duì)解題進(jìn)程的審視程度和解題形勢(shì)的把握不夠，出現(xiàn)解題困難時(shí)，不能很快地轉(zhuǎn)換思考策略來調(diào)節(jié)解題進(jìn)程，在解題后缺乏對(duì)結(jié)論的檢驗(yàn)和對(duì)解題過程的回顧與反思；在遇到有多種解決方法和途徑的題目時(shí)不會(huì)判斷和選擇最優(yōu)解，當(dāng)遇到思路受阻或方法繁瑣時(shí)，不能及時(shí)調(diào)整方向，形成思維障礙。（2）思維的惰性障礙：由于對(duì)自己的能力缺乏信心，在碰到問題時(shí)不是選擇去解決，而是放棄，久而久之，產(chǎn)生畏難情緒，缺乏克服困難、戰(zhàn)勝自我的堅(jiān)韌意志和信心，缺乏獨(dú)立鉆研和質(zhì)疑問難的精神，一遇到計(jì)算量比較大、計(jì)算步驟比較繁瑣的題目就產(chǎn)生惰性心理，不愿動(dòng)腦筋去想辦法解決問題。

要突破以上思維障礙需要學(xué)生掌握元認(rèn)知策略。元認(rèn)知就是個(gè)體關(guān)于自己的認(rèn)知過程的知識(shí)和調(diào)節(jié)這些過程的能力。元認(rèn)知策略是一種典型的學(xué)習(xí)策略，指學(xué)生對(duì)自己整個(gè)學(xué)習(xí)過程的有效監(jiān)視及控制的策略，實(shí)現(xiàn)著對(duì)學(xué)習(xí)的信息加工的各個(gè)環(huán)節(jié)的調(diào)節(jié)和監(jiān)控。心理學(xué)研究表明，專家與新手解決問題的主要區(qū)別在元認(rèn)知監(jiān)控水平。在數(shù)學(xué)解題過程中，學(xué)會(huì)正確運(yùn)用元認(rèn)知策略能有效提高解題的效率和正確率。

解題思路沒有錯(cuò)，但是分類討論太煩，這時(shí)就要停下來思考：能否改進(jìn)解法或者有沒有更好的方法？

事實(shí)上，若能對(duì)討論的三種情況進(jìn)行整體的分析，可以看到，無論a的取值如何，g（x）的最大值只在端點(diǎn)-1或1處取到，如果能認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，本題就可以避免分類討論，改進(jìn)解法：要使g（x）≤0在x∈[1，2]上恒成立，只需g（1）≤0g（2）≤0即可。這樣就大大地提高了解題效率。

處理恒成立問題的一個(gè)重要策略是進(jìn)行變量分離，上述解法的難點(diǎn)在于求g（x）在x∈[1，2]上的最大值，如果采取變量分離的方法就可以轉(zhuǎn)化為求另一個(gè)比較簡(jiǎn)單的函數(shù)在x∈[1，2]上的最大值。

可以看到解法二相對(duì)于解法一要簡(jiǎn)潔很多，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中重視與學(xué)生一起對(duì)解法進(jìn)行細(xì)致的分析，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不同解法進(jìn)行對(duì)比、評(píng)價(jià)，有助于學(xué)生增強(qiáng)評(píng)價(jià)意識(shí)，合理地選擇解法。

總之，對(duì)學(xué)生解題思維障礙的疏導(dǎo)是一項(xiàng)長(zhǎng)期的工作，作為教師應(yīng)積極觀察和分析學(xué)生在數(shù)學(xué)解題過程中產(chǎn)生的各種思維障礙，積極探尋克服思維障礙的對(duì)策，幫助他們改進(jìn)思維方式，最終突破解題思維障礙，提高解題能力。

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