梁禮華

【摘要】 數(shù)學(xué)解題能力是一種綜合的能力，是指綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法和邏輯思維規(guī)律，整體發(fā)揮數(shù)學(xué)的基本能力和思維水平，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行分析、解決的能力.因此，在教學(xué)中，要提高學(xué)生的解題能力，不僅要抓住基礎(chǔ)知識(shí)、基本能力的學(xué)習(xí)，更重要的是要進(jìn)行解題實(shí)踐，即遵循科學(xué)的解題程序，有目的、有計(jì)劃地引導(dǎo)學(xué)生“在游泳中學(xué)會(huì)游泳”，在親自參與的解題實(shí)踐過(guò)程中，學(xué)會(huì)解題，從中獲得能力.

【關(guān)鍵詞】 高中數(shù)學(xué)；解題能力；培養(yǎng)

“問(wèn)題”是數(shù)學(xué)的心臟，美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯認(rèn)為，“數(shù)學(xué)的真正的組成部分是問(wèn)題和解，掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題”.解題是使學(xué)生牢固掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的必要途徑，也是檢驗(yàn)知識(shí)、運(yùn)用知識(shí)的基本形式.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的好與壞，集中表現(xiàn)在解題能力上.有效地培養(yǎng)數(shù)學(xué)解題能力，有助于學(xué)生獨(dú)立的有創(chuàng)造性的認(rèn)識(shí)活動(dòng)，也可以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展.那么，如何在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生的解題能力呢？筆者結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)剮c(diǎn)看法，以期起到拋磚引玉的效果.

一、重視基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，拓寬解題思路

知識(shí)是能力的載體，離開(kāi)知識(shí)載體的能力是不存在的.在日常教學(xué)中，教師應(yīng)重視學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的梳理和把握，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò).數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)，重點(diǎn)是數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的細(xì)胞，數(shù)學(xué)中的一切分析、判斷、推理都是要依據(jù)概念、公式、定理，才能掌握解題的技能和技巧，才會(huì)有正確、合理的邏輯論證和空間想象能力.可見(jiàn)，數(shù)學(xué)概念是解題的理論基礎(chǔ)和有力武器，是解題的關(guān)鍵所在.因此，在基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)中，要重視數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，挖掘概念的內(nèi)涵和外延，了解各知識(shí)間的聯(lián)系，深化數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用.做到這些，在教學(xué)中我們就要采用課堂檢測(cè)、課堂精講、課后練習(xí)、基礎(chǔ)反思的形式來(lái)提高學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)的能力.同時(shí)，每章、每節(jié)進(jìn)行“一步一回頭”，歸納其重點(diǎn)、難點(diǎn)，使學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)和解題的基本技能，把感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí).

解題過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生充分利用所掌握的基礎(chǔ)知識(shí)，分析題設(shè)條件，達(dá)到一題多解、多解歸一的功效，進(jìn)一步拓寬解題思路.一題多解，有利于溝通各種知識(shí)的內(nèi)涵和外延，深化知識(shí)的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維；多解歸一，有利于提煉分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的通性、通法，從中擇優(yōu)，培養(yǎng)學(xué)生的聚合思維.

二、養(yǎng)成仔細(xì)、認(rèn)真地審查題意的習(xí)慣

審題是對(duì)條件和問(wèn)題進(jìn)行全面認(rèn)識(shí)、對(duì)與條件和問(wèn)題有關(guān)的全部情況進(jìn)行分析研究的過(guò)程，它是如何分析和解決問(wèn)題的前提.審題能力主要是指充分理解題意、把握住題目本質(zhì)的能力；也是分析、發(fā)現(xiàn)隱含條件以及化簡(jiǎn)、轉(zhuǎn)化已知和所求的能力.審題為探索解題途徑提供了方向，因此，教學(xué)中要求學(xué)生養(yǎng)成仔細(xì)、認(rèn)真的審題習(xí)慣，就是要對(duì)問(wèn)題的條件、目標(biāo)及有關(guān)的全部情況進(jìn)行整體認(rèn)識(shí)，充分理解題意，把握本質(zhì)與聯(lián)系，不斷提高審題能力.具體地說(shuō)，就要做到以下四項(xiàng)要求：

1.全面了解題目的文字?jǐn)⑹?，清楚地理解全部條件和目標(biāo)，并能準(zhǔn)確地復(fù)述問(wèn)題、畫(huà)出必要的準(zhǔn)確圖形或示意圖；

2.整體考慮題目，挖掘題設(shè)條件的內(nèi)涵，溝通聯(lián)系，審清問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征.必要時(shí)，要會(huì)對(duì)條件或目標(biāo)進(jìn)行化簡(jiǎn)或轉(zhuǎn)換，以利于解法的探索；

3.發(fā)現(xiàn)比較隱蔽的條件；

4.判明題型，預(yù)見(jiàn)解題的策略原則.

三、探索解題途徑，發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律、掌握解題方法

（一）幫助學(xué)生掌握解題的科學(xué)程序

解答數(shù)學(xué)試題有一定的規(guī)律可循，解題操作要有明確的思路和目標(biāo)，要做到思維模式化.所謂模式化也就是解題步驟固定化，其一般程序是：

（1）審題.準(zhǔn)確地認(rèn)清題目條件和目標(biāo)及其“環(huán)境”狀態(tài).

（2）探求解題方案.認(rèn)真分析題目中的條件及各種量之間的關(guān)系，探求正確的解題方案.

（3）解題.從已知條件出發(fā)，采用恰當(dāng)?shù)姆椒?，?shí)施解題方案，落實(shí)解題過(guò)程，求得結(jié)果達(dá)到目標(biāo).

（4）檢驗(yàn)與深化.對(duì)結(jié)果進(jìn)行判別，對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行回顧與探討，對(duì)條件或目標(biāo)或解題方法進(jìn)行拓寬推廣加以深化.

（二）挖掘教材，重視例題等的典范作用

解題教學(xué)的本質(zhì)是“思維過(guò)程”，受年齡等因素的限制，學(xué)生思維發(fā)展有其特定的規(guī)律，這需要解題教學(xué)遵循學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)，進(jìn)行有針對(duì)性的訓(xùn)練.教科書(shū)上的內(nèi)容，尤其是定理的推論和相關(guān)的例題，不可能面面俱到，留給了教師和學(xué)生一定的教與學(xué)的再思考、再探究的余地，為教師引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的延伸及再創(chuàng)造留下了很好的思維空間和提高鍛煉思維能力的教學(xué)機(jī)會(huì).在師生共同深入研究課本定理、定義、例題的過(guò)程中，我們時(shí)常會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維的火花，學(xué)生創(chuàng)造性思維能力得以體現(xiàn)，智力水平得到升華.

記得在解析幾何的一節(jié)復(fù)習(xí)課中，我講了一道例題：

已知：圓的方程是x2+y2=r2，求圓上一點(diǎn)M（x0，y0）的切線(xiàn)方程.其結(jié)論為x0x+y0y=r2（解略）.

可引導(dǎo)學(xué)生探究引申，由本題結(jié)論可得到以下結(jié)論：

推論（1） 過(guò)橢圓 x2 a2 + y2 b2 =1上一點(diǎn)M（x0，y0）的橢圓的切線(xiàn)方程為 x0x a2 + y0y b2 =1.

推論（2） 過(guò)雙曲線(xiàn) x2 a2 - y2 b2 =1上一點(diǎn)M（x0，y0）的雙曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程為 x0x a2 - y0y b2 =1.

（三）要重視“數(shù)學(xué)思想方法”的滲透

實(shí)際上數(shù)學(xué)思想方法較之?dāng)?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，有更高的層次和地位.它蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中，是一種數(shù)學(xué)意識(shí)，屬于思維的范疇，用以對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)、處理和解決.數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體體現(xiàn)，具有模式化與可操作性的特征，可以作為解題的具體手段.只有對(duì)數(shù)學(xué)思想與方法概括了，才能在分析和解決問(wèn)題時(shí)得心應(yīng)手；只有領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)思想與方法，書(shū)本的、別人的知識(shí)技巧才會(huì)變成自己的能力.在講題過(guò)程中，我也堅(jiān)持不懈地對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)，并注意思路點(diǎn)撥，收到了較好的效果.

比如，解方程3x=2-x.

分析：由方程兩邊的表達(dá)式我們可以聯(lián)想起函數(shù)y=3x與y=2-x，畫(huà)出這兩個(gè)函數(shù)的圖像（如圖），這兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為方程的近似解，可以看出方程的近似解為x≈0.4.

數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀(guān)化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì).另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問(wèn)題便迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷.

由此，把數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想方法穿插于課堂中，潛移默化，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生思維的廣度，不僅達(dá)到事半功倍的效果，還可激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.教師要在解題過(guò)程中足夠重視，學(xué)生才能在潛移默化中提高解題的能力.

（四）要重視錯(cuò)題的再利用

對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科，做題是必需的.教師要指導(dǎo)學(xué)生做一定數(shù)量的數(shù)學(xué)習(xí)題，積累解題經(jīng)驗(yàn)、總結(jié)解題思路、形成解題規(guī)律、催生解題靈感、掌握學(xué)習(xí)方法.

平時(shí)教學(xué)中我要求學(xué)生對(duì)錯(cuò)題進(jìn)行詳解.不管填空、選擇還是解答題，對(duì)于錯(cuò)題我會(huì)在課堂上留出一定的時(shí)間要求學(xué)生用紅筆寫(xiě)出解題過(guò)程.一個(gè)單元以后抽出時(shí)間來(lái)進(jìn)行錯(cuò)題回顧.考試前對(duì)章節(jié)錯(cuò)題進(jìn)行討論、反思.

數(shù)學(xué)教學(xué)中題目之多可謂層出不窮，題型之多可謂千變?nèi)f化，在這種背景下，解題的目的不應(yīng)該僅僅在于滿(mǎn)足解題的數(shù)量、過(guò)程和結(jié)果，教師更應(yīng)該加強(qiáng)解題后指導(dǎo)學(xué)生對(duì)錯(cuò)題的精心分析與反思，重視錯(cuò)題的輻射作用，發(fā)揮潛藏于錯(cuò)題本身的其他功能.

四、回顧與探討解題過(guò)程，養(yǎng)成解題后反思習(xí)慣

孔子云：“學(xué)而不思則罔.”“罔”即迷惑而沒(méi)有所得，目前上下都要求教師要有教學(xué)反思.那么對(duì)于學(xué)生呢？實(shí)際上我認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)更需要總結(jié)、更需要反思，尤其是解題后的反思.解題后的回顧與探討、分析與研究就是對(duì)解題的結(jié)果和解題的方法進(jìn)行反省，對(duì)解題中的主要思想觀(guān)點(diǎn)、關(guān)鍵因素及類(lèi)同問(wèn)題的解法進(jìn)行概括、推廣，從而幫助學(xué)生從中提煉出數(shù)學(xué)基本思想和基本方法加以掌握，成為以后解新的問(wèn)題時(shí)的有力工具.因此，使學(xué)生養(yǎng)成解題后的反思習(xí)慣，是解題教學(xué)非常重要的一環(huán)，必須十分重視.

在解題實(shí)踐過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)自主探究，不斷反思，勇于批判，豐富和完善自己的思維內(nèi)涵和品質(zhì)，為創(chuàng)新思維打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

上面的案例是通過(guò)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法解題后，我們反思有關(guān)自然數(shù)命題的證明方法的結(jié)果.數(shù)學(xué)歸納法常常用于證明與自然數(shù)有關(guān)命題，但它不是證明與自然數(shù)有關(guān)命題的唯一方法，也不一定是最佳選擇.解題時(shí)要根據(jù)題目條件靈活取舍，比如，應(yīng)用組合數(shù)理論，對(duì)有關(guān)自然數(shù)命題的證明可達(dá)到意想不到的效果.