翟全禮

摘 要：在線性代數(shù)課程中，矩形的秩是一個(gè)重點(diǎn)概念。該文主要提出了在矩陣的秩的教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意的3個(gè)問(wèn)題，即：概念引入要介紹背景，合理利用軟件計(jì)算，重視矩陣的秩在線性代數(shù)課程總結(jié)復(fù)習(xí)階段的作用。希望能為矩形的秩在教學(xué)中的應(yīng)用提供借鑒。

關(guān)鍵詞：矩陣的秩 教學(xué)難點(diǎn) 教學(xué)設(shè)計(jì)

中圖分類(lèi)號(hào)：O151. 21 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2016）10（b）-0118-02

矩陣的秩是線性代數(shù)課程中的重點(diǎn)概念，并且是教學(xué)上的難點(diǎn)。在當(dāng)前課程學(xué)時(shí)不斷減少，學(xué)生入學(xué)基礎(chǔ)相對(duì)弱化的形勢(shì)下，改良傳統(tǒng)教學(xué)方式，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，切實(shí)化解教學(xué)難點(diǎn)顯得十分必要。

矩陣的秩的概念引入，傳統(tǒng)上有典型的幾個(gè)方式：一是通過(guò)用矩陣的子式來(lái)刻畫(huà)；二是通過(guò)矩陣的行或列向量組的秩（行秩或列秩）來(lái)定義；三是通過(guò)與矩陣等價(jià)的行階梯形矩陣的非零行個(gè)數(shù)來(lái)定義。經(jīng)典教材文獻(xiàn)[1]采用的是第一種方式。

對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中的概念，特別是難點(diǎn)概念的引入方式不宜采用直接給定義的方法。而應(yīng)當(dāng)認(rèn)真規(guī)劃引入其概念的教學(xué)設(shè)計(jì)。對(duì)于矩陣的秩這一概念，多數(shù)教材（包括使用廣泛的同濟(jì)版）在引入時(shí)不夠重視定義概念前的準(zhǔn)備工作，有的更是直接定義概念。這樣的方式對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)顯得突兀，不利于對(duì)概念的理解和把握。實(shí)際上這種引入概念的方式也是造成學(xué)生學(xué)習(xí)困難的一個(gè)原因。在教學(xué)實(shí)踐中教師通過(guò)具體問(wèn)題引入矩陣秩的概念，注重說(shuō)明其概念來(lái)源的具體背景和產(chǎn)生此概念的動(dòng)機(jī)，并借助Mathematica軟件強(qiáng)化對(duì)概念的認(rèn)識(shí)與理解，取得了較好的效果。

1 矩陣秩概念的引入

考慮問(wèn)題：求解線性方程組，其矩陣形式為。

用高斯消元法對(duì)線性方程組進(jìn)行一系列等價(jià)（同解）變換，相當(dāng)于對(duì)增廣矩陣進(jìn)行對(duì)應(yīng)的初等行變換，將增廣矩陣化為行階梯形矩陣，即

由此得到與原方程組等價(jià)的保留方程組為，該保留方程組中所含線性方程的的個(gè)數(shù)是3，其中各方程間彼此獨(dú)立，注意一個(gè)方程組的保留方程組不唯一，但不同的保留方程組所含方程的個(gè)數(shù)不變，這個(gè)數(shù)叫作方程組的秩。相應(yīng)地，將這個(gè)數(shù)也叫作（增廣）矩陣的秩。線性方程組的秩實(shí)際上就是方程組中所含獨(dú)立方程的個(gè)數(shù)。

實(shí)際上，一般方程組（包括有非線性方程）也有所謂“秩”的概念，其意義就是一般方程組所含獨(dú)立條件（即保留方程組所含方程）的個(gè)數(shù)。

這樣就可以定義矩陣的秩這個(gè)概念了?？梢杂镁仃嚨某醯茸儞Q來(lái)定義矩陣的秩。也可以利用矩陣的子式來(lái)定義矩陣的秩——即矩陣中不等于0的子式的最高階數(shù)。經(jīng)過(guò)了前面引入矩陣的秩背景的介紹，我們給出矩陣秩的定義就顯得比較自然，易于接受。

評(píng)點(diǎn)：聯(lián)系了以前學(xué)過(guò)的解方程組知識(shí)，容易切入問(wèn)題。不但介紹了矩陣的秩，還給出了方程組的秩的概念。通過(guò)例子還可以說(shuō)明利用系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩的關(guān)系解決線性方程組解存在的判別定理。這樣引入矩陣秩概念時(shí)有背景，引入秩概念后，還知道該概念有重要應(yīng)用前景。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，易于為學(xué)生接受，既擴(kuò)展了教學(xué)內(nèi)容，又能幫助學(xué)生將課程前后內(nèi)容聯(lián)系起來(lái)，強(qiáng)化對(duì)秩這一概念的理解。

2 利用Mathematica軟件計(jì)算矩陣秩以增強(qiáng)教學(xué)效果

利用矩陣的子式求矩陣的秩的缺點(diǎn)就是計(jì)算量大、比較繁瑣。傳統(tǒng)的紙筆手工運(yùn)算，只能求行數(shù)、列數(shù)不大的矩陣的秩。若是對(duì)行數(shù)、列數(shù)較大的矩陣在課堂上就難于具體計(jì)算了。但對(duì)例子不具體計(jì)算，只是泛泛提及，就難于讓學(xué)生印象深刻。借助Mathematica（也可采用其它軟件），就能解決這個(gè)問(wèn)題。例如，在教學(xué)中可以考慮計(jì)算下列矩陣的秩：

；

計(jì)算方法一，利用矩陣秩的子式定義方法求解。

（1）顯然B有不等于0的二階子式，因此rank（B）2，再計(jì)算3階子式（是B的最高階子式，共有4個(gè)），利用Mathematica進(jìn)行計(jì)算，在軟件環(huán)境下，輸入程序行：

Clear[b]

b={{1，7，5，1}，{2，3，1，2}，{3，5，8，3}}

Minors[b，3]

得到結(jié)果是：{{67，0，0，67}}，即4個(gè)3階子式的值，可見(jiàn)有3階子式不等于0，因此rank（B）=3.

（2）矩陣C的最高階子式是4階的，若有一個(gè)不等于0，則可知rank（C）=4，若4階子式全為0，則rank（C）<4.利用Mathematica計(jì)算，輸入程序行：

Clear[c]

c={{1，1，2，2，1}，{0，2，1，5，-1}，{2，0，3，-1，3}，{1，1，0，4，-1}}

Minors[c，4]

得到結(jié)果是：{{0，0，0，0，0}}，即說(shuō)明所有的4階子式（共有5個(gè)）都等于0。

再輸入：Minors[c，3]，計(jì)算3階子式（共有40個(gè)），結(jié)果是：

{{0，0，0，0，0，0，0，0，0，0}，{-4，4，-4，12，-4，-8，-4，0，4，4}，{4，-4，4，-12，4，8，4，0，-4，-4}，{8，-8，8，-24，8，16，8，0，-8，-8}}，有不等于0的3階子式，所以rank（C）=3.

方法二，利用初等行變換求秩。

輸入：RowReduce[C]//MatrixForm

輸出：，非零行的個(gè)數(shù)是3，所以可知rank（C）=3。

方法三，直接使用命令：MatrixRank[C].輸出結(jié)果是：3.即得rank（C）=3.

若矩陣行數(shù)、列數(shù)越大，則越能顯示利用軟件計(jì)算的便捷性。

評(píng)點(diǎn)：3種方法，第三種方法是軟件直接給出結(jié)論。第二種方法化矩陣為行階梯形，與我們手工計(jì)算的方法一致，不過(guò)軟件實(shí)際給出的結(jié)果是行最簡(jiǎn)形，手工計(jì)算時(shí)變換到行階梯形就可以了。第一種方法，可以幫助我們熟悉矩陣秩的定義。Mathematica充當(dāng)了課堂上教師、學(xué)生之外的第3個(gè)教學(xué)角色，這樣既可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣又教給了他們可以在實(shí)際工作中使用的計(jì)算方法。在同樣的課時(shí)內(nèi)提高了教與學(xué)的效率。

3 用矩陣的秩將線性代數(shù)課程不同部分內(nèi)容串聯(lián)起來(lái)

尤其在復(fù)習(xí)總結(jié)階段，可以用矩陣的秩作為一條線索將矩陣、行列式、線性方程組、向量組的線性相關(guān)性等知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)，這樣可以在有限課時(shí)內(nèi)顯著提高線性代數(shù)課程的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)

[1] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編.線性代數(shù)[M].6版.北京：高等教育出版社，2014.