周林

摘 要 數(shù)和形是數(shù)學(xué)教學(xué)研究客觀物體中的兩個(gè)方面，其中：數(shù)（代數(shù)）旨在對客觀物體的數(shù)量、計(jì)量單位等進(jìn)行觀察和研究，其研究結(jié)果準(zhǔn)確度較高，可信度較強(qiáng)；而形（幾何形狀）旨在對某一客觀物體的形狀、形態(tài)、幾何狀況等進(jìn)行分析和探討，其研究結(jié)果突出體現(xiàn)了客觀性和完整性。數(shù)和形之間既有區(qū)別，又有聯(lián)系，因此應(yīng)將兩者相結(jié)合進(jìn)行數(shù)學(xué)問題的思考、研究和討論，充分發(fā)揮二者的優(yōu)勢，揚(yáng)長避短，數(shù)形結(jié)合、數(shù)形互化，從而達(dá)到對數(shù)學(xué)問題的有效解決，因而數(shù)形結(jié)合是一種較為科學(xué)、有效的思維方法，值得進(jìn)行研究。

關(guān)鍵詞 數(shù)形結(jié)合思想思想 初中 數(shù)學(xué)教學(xué) 應(yīng)用研究

中圖分類號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2017.01.062

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)教學(xué)中一種較為合理且形象的思維方法，對于初中數(shù)學(xué)教學(xué)有極大的幫助，起到了明顯的推動(dòng)作用，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)和解題中扮演著十分重要的角色。本次研究就筆者自身的數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和體會(huì)，探討如何將數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中合理運(yùn)用，發(fā)揮其作用，以解決日常教學(xué)中的數(shù)學(xué)題目，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)技巧，提高學(xué)習(xí)效率。本文主要就三個(gè)方面進(jìn)行討論：數(shù)轉(zhuǎn)化形，形轉(zhuǎn)化數(shù)，數(shù)形結(jié)合。通過結(jié)合一些常見題目類型，使學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的意義和實(shí)用性有所了解，從而找到解題技巧，將復(fù)雜問題簡單化，逐漸培養(yǎng)學(xué)生解題過程中“數(shù)形結(jié)合”的思維方式，并熟練掌握和運(yùn)用解題方法。

1 數(shù)形結(jié)合在初中代數(shù)內(nèi)容中的運(yùn)用

（1）數(shù)形結(jié)合在“有理數(shù)”內(nèi)容中的體現(xiàn)。有理數(shù)內(nèi)容的教學(xué)中，引入了數(shù)軸的概念，便是數(shù)形結(jié)合思想的具體體現(xiàn)。每一個(gè)有理數(shù)，都能在數(shù)軸上找到相對應(yīng)的位置，即相應(yīng)的點(diǎn)，每一個(gè)有理數(shù)對應(yīng)數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)，能夠直觀地將某幾個(gè)有理數(shù)的大小關(guān)系展示出來，方便進(jìn)行有理數(shù)之間的比較。類比之下，某一個(gè)有理數(shù)的相反數(shù)、絕對值等也可以用數(shù)軸表示，并進(jìn)行大小比較。因此，在學(xué)習(xí)有理數(shù)的相關(guān)內(nèi)容時(shí)，不應(yīng)只局限于某一個(gè)或某幾個(gè)數(shù)字，而應(yīng)同時(shí)了解其在數(shù)軸上的位置關(guān)系，通過數(shù)軸與有理數(shù)的結(jié)合，準(zhǔn)確掌握有理數(shù)的相關(guān)內(nèi)容。

（2）數(shù)形結(jié)合思想在“列方程解應(yīng)用題”中的體現(xiàn)。應(yīng)用題的特點(diǎn)往往在于列舉一連串的數(shù)字以及數(shù)量關(guān)系，依據(jù)這些數(shù)量關(guān)系列出方程式，而這又恰好是解題的難點(diǎn)。因此，為了理清題干思路，在教學(xué)過程中，應(yīng)滲透數(shù)形結(jié)合思想，對題干進(jìn)行詳細(xì)的分析，列出要點(diǎn)，畫出相對應(yīng)的示意圖，從而宏觀、形象地找到題干中的等量關(guān)系，列出相對應(yīng)的方程式，從而順利突破難點(diǎn)，解開題目。

（3）數(shù)形結(jié)合思想在“不等式”內(nèi)容中的體現(xiàn)。在“不等式”一課的常見內(nèi)容是“一元一次不等式和一元一次不等式組”，為了加深學(xué)生的印象，在講解不等式解集時(shí)，應(yīng)畫出數(shù)軸，將不等式解集在數(shù)軸上得以體現(xiàn)，使學(xué)生對其有更為具體的了解，這里便蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合的思維方法。

不等式解集在數(shù)軸上的體現(xiàn)，較之單純的數(shù)的體現(xiàn)，更進(jìn)一步地詮釋了數(shù)形結(jié)合思想，提高了解題的效率，并提升了學(xué)生學(xué)習(xí)的成效。

（4）數(shù)形結(jié)合思想在“函數(shù)及其圖形”內(nèi)容中的體現(xiàn)。函數(shù)的教學(xué)過程，往往與直角坐標(biāo)相結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。直角坐標(biāo)中橫軸（x軸）和縱軸（y軸）上的點(diǎn)與函數(shù)上的點(diǎn)P能夠一一對應(yīng)，表明了數(shù)形結(jié)合的必然性。而該函數(shù)是以無數(shù)個(gè)點(diǎn)P連接而成的一個(gè)圖形，通過數(shù)字與圖形的結(jié)合，凸顯了數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)和性質(zhì)。此外，初中教材中有關(guān)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等也都是通過直角坐標(biāo)系實(shí)現(xiàn)數(shù)和形的完美結(jié)合，其應(yīng)用在二次函數(shù)中有較為突出的體現(xiàn)，比如二次函數(shù)在直角坐標(biāo)系中的圖像的開口方向、對稱軸及頂點(diǎn)的位置、圖像與坐標(biāo)系的交點(diǎn)等與系數(shù)a、b、c有較為密切的聯(lián)系，因此充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。如若能夠?qū)?shù)形結(jié)合在教學(xué)過程中充分滲透，教學(xué)將收獲事半功倍的效果。

2數(shù)形結(jié)合在初中幾何教學(xué)中的運(yùn)用

以上通過對有理數(shù)、列方程應(yīng)用題、不等式及不等式組、函數(shù)與圖形等內(nèi)容進(jìn)行實(shí)際說明，均可看作初中有關(guān)代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容，這些內(nèi)容充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，主要是將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，是對數(shù)形結(jié)合思想的具體說明。而接下來的這部分，通過兩個(gè)線段長短（或兩個(gè)角大?。┑谋容^、勾股定理的應(yīng)用兩個(gè)教學(xué)內(nèi)容的列舉，主要是將形轉(zhuǎn)化為數(shù)，是數(shù)形結(jié)合在初中幾何教學(xué)中的應(yīng)用，也是對數(shù)形結(jié)合思想的具體介紹。具體介紹如下：

2.1 數(shù)形結(jié)合在線段（角度）比較中的體現(xiàn)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，針對兩個(gè)線段長短的比較或者兩個(gè)角大小的比較，主要有兩種方法。第一種是重疊比較，即將兩個(gè)線段或兩個(gè)角重疊放在一起進(jìn)行比較，較為直觀，是一種幾何比較方法，但在考試和測驗(yàn)中不具有實(shí)用性，在生活中的應(yīng)用較多；而第二種方法是度量比較，即借助專門的測量工具，比如刻度尺、量角器等對兩條線段（或兩個(gè)角）進(jìn)行測量和大小的比較，操作性較強(qiáng)，且不受時(shí)間、空間的限制，具有較強(qiáng)的實(shí)用性。以上有關(guān)線段（角度）的大小比較充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。

2.2 數(shù)形結(jié)合在勾股定理中的體現(xiàn)

勾股定理是初中幾何教學(xué)中一個(gè)較為重要的內(nèi)容和知識(shí)點(diǎn)，在教學(xué)過程中，應(yīng)用較為頻繁，可在反復(fù)的教學(xué)過程中向?qū)W生講解勾股定理中數(shù)形結(jié)合的巧妙運(yùn)用，展示數(shù)與形的巧妙結(jié)合，從而使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，并找到一種可長期使用的“捷徑”，了解到數(shù)形結(jié)合思想的魅力所在，將數(shù)形結(jié)合思想充分融入到學(xué)生的學(xué)習(xí)和生活中。勾股定理涉及的知識(shí)面較廣，包括代數(shù)、直角坐標(biāo)系等。而教材上就勾股定理進(jìn)行了無文字解釋，而在教學(xué)過程中應(yīng)與學(xué)生一起將勾股定理的形用數(shù)表示出來，以便掌握其中的內(nèi)在意義，對勾股定理有更深刻的認(rèn)識(shí)。例如在直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)圖像表示為一條直線，分為正比例函數(shù)和反比例函數(shù)兩種，二者在直角坐標(biāo)系中的位置恰好相反；而二次函數(shù)表示為一條拋物線，根據(jù)其相對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，確定其開口的方向、大小以及拋物線所在的區(qū)間等。其中二次函數(shù)屬于教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)所在，并且是數(shù)形結(jié)合在初中教學(xué)中最為重要和突出的一個(gè)體現(xiàn)，只有掌握了數(shù)形結(jié)合思想，和二次函數(shù)系數(shù)與拋物線之間的關(guān)系，才能學(xué)好該部分知識(shí)。

3數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透過程

3.1 在初中數(shù)學(xué)相關(guān)概念的教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思維方法

數(shù)學(xué)概念是在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)較為基礎(chǔ)且關(guān)鍵的內(nèi)容，是掌握某一數(shù)學(xué)定理、原理和名詞的前提，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最小的一個(gè)單元結(jié)構(gòu)，是教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，能夠?qū)δ骋粩?shù)學(xué)內(nèi)容的性質(zhì)等進(jìn)行明確、嚴(yán)密的分析和表達(dá)。因此，在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，向?qū)W生逐步滲透數(shù)學(xué)思維方法，通過數(shù)形合對某一概念進(jìn)行詳細(xì)的分析和表述，能夠加深學(xué)生的印象。另外，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)不是一次性完成的，需要在反復(fù)地教學(xué)、應(yīng)用、實(shí)踐、犯錯(cuò)中得到鞏固和掌握的，是一個(gè)較為漫長的過程，因此具備一定的數(shù)學(xué)思維方式是極為必要的，能夠培養(yǎng)學(xué)生思考問題的能力和理解問題的能力。

3.2 在初中數(shù)學(xué)例題的分析與講解中滲透數(shù)學(xué)思維方法

初中數(shù)學(xué)教材中新知識(shí)點(diǎn)所對應(yīng)的例題是對所學(xué)內(nèi)容的初步認(rèn)識(shí)和運(yùn)用，在此過程中向?qū)W生灌輸數(shù)學(xué)思維方式具有較為突出的作用，通過例題的教學(xué)、分析和探討，能夠幫助學(xué)生快速掌握數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)，了解教學(xué)方法和思維方式，是提高學(xué)習(xí)效率、檢驗(yàn)新知識(shí)的學(xué)習(xí)成果的較為關(guān)鍵的途徑。通過對例題的學(xué)習(xí)，能夠幫助學(xué)生很好地學(xué)習(xí)、體會(huì)并領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)教學(xué)思維的內(nèi)容。通過對學(xué)生學(xué)習(xí)例題的情況和對例題的認(rèn)知度，能夠直觀地反映出教師教學(xué)的成果好壞。因此，為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方式，教師在教學(xué)過程中應(yīng)加強(qiáng)對例題的重視，認(rèn)真挖掘例題中的知識(shí)點(diǎn)和精髓，保證教學(xué)成果。

3.3 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中展現(xiàn)數(shù)學(xué)思維方法

數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的是為了實(shí)踐和運(yùn)用，因此應(yīng)在反復(fù)的教學(xué)實(shí)踐過程中，向?qū)W生展示數(shù)學(xué)思維方式，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的意義。為了充分證明數(shù)學(xué)思維方式的重要性，應(yīng)經(jīng)常性地安排學(xué)生親自參與數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，以加深其認(rèn)識(shí)和理解度。數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的歸納、類比等都需要學(xué)生去親自實(shí)踐，數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、有理數(shù)、幾何、概率等數(shù)學(xué)知識(shí)，也需要學(xué)生在實(shí)踐中理解和體會(huì)，通過多次的實(shí)踐，找到數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，找到其中的規(guī)律，并在實(shí)踐的過程中，鍛煉自己的數(shù)學(xué)思維方式，以及應(yīng)對各種疑難問題的獨(dú)有的解決能力，使學(xué)生在潛移默化的過程中形成自己的認(rèn)識(shí)事物的方式，提高認(rèn)識(shí)事物的水平。

4總結(jié)

結(jié)合實(shí)際教學(xué)過程中出現(xiàn)的一些較為典型的例子，研究數(shù)和形之間的依存關(guān)系，并通過兩者之間的關(guān)系對數(shù)學(xué)解題進(jìn)行具體的闡釋，得出了較好的效果。本次研究充分印證了“數(shù)無形不直觀，形無數(shù)難入微”的觀點(diǎn)，有效說明了數(shù)與形的特點(diǎn)及缺陷，即數(shù)缺乏直觀性，而形缺乏準(zhǔn)確性和嚴(yán)謹(jǐn)性，二者結(jié)合才能揚(yáng)長避短，發(fā)揮長處，使學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想有了較為深刻、全面的認(rèn)識(shí)，即分析題干時(shí)，要考慮該題干是以數(shù)量為主還是以幾何為主，并就兩者的關(guān)系對題干進(jìn)行轉(zhuǎn)化，見到數(shù)量關(guān)系就要考慮其幾何意義，見到幾何圖形就要考慮其數(shù)量關(guān)系，采用數(shù)形結(jié)合的思想對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解答。

因此，綜上所述，數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用具有極為重要的意義，能夠逐漸培養(yǎng)學(xué)生的解題思路和思維方式，對今后的課程學(xué)習(xí)有較大的幫助，值得進(jìn)行教學(xué)推廣和實(shí)施。

參考文獻(xiàn)

[1] 陳明華，林益生，俞平秋，等.初中數(shù)學(xué)思維方法教學(xué)的基本途徑[J].遼寧師專學(xué)報(bào)，2014.18（24）：145-146.

[2] 周強(qiáng)，李琦，王巍巍，等.初高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的推廣與應(yīng)用[J].廣西師范大學(xué)出版社，2014.19（6）：16-1.

[3] 吳燕，李恬，鐘旭天，等.初中數(shù)學(xué)教學(xué)案例專題研究[J].北京：北京師范大學(xué)出版社，2016.2（14）：53-56.

[4] 林文偉，伊紅，陳世軍，等.數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)施中的運(yùn)用效果及價(jià)值評定[J].武漢：華中師范大學(xué)出版社，2015.19（8）：45-47.