【摘 要】“生長數(shù)學”倡導要讓學生學到具有生長力的數(shù)學。讓數(shù)學學習活動為學生生命成長助力，讓數(shù)學教學活動在促進學生生命成長的進程中發(fā)揮正能量?！霸偬絻绲倪\算”課例以生長數(shù)學教學主張為核心，以“再探冪的運算”為教學載體，自然引入控制變量法來探究冪的六種運算。教學活動始終堅持建數(shù)學結構、展思維過程、教探究方法，讓學生體驗數(shù)學生長的過程，感悟生命成長的真諦。

【關鍵詞】冪的運算；教學設計；控制變量；生長數(shù)學

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2017）11-0029-04

【作者簡介】卜以樓，南京市寧海中學分校（南京，210036）教師，正高級教師，江蘇省特級教師。

在2016年江蘇省“教海探航”征文競賽頒獎活動中，筆者執(zhí)教了一節(jié)“再探冪的運算”的展示課，以下是對這一教學內(nèi)容的價值判斷、行為改進及活動設計的探索和思考。

一、基于教學內(nèi)容的價值分析

冪的運算性質(zhì)包括：同底數(shù)冪的乘法、同底數(shù)冪的除法、積的乘方、冪的乘方等學習內(nèi)容。它通常被安排在整式乘法的前面，但不同版本的教材會依據(jù)其教材的編寫體系被安排在不同的章節(jié)之中。例如，人教版教材，將之安排在八年級上冊“第十四章整式的乘法與因式分解”這一章中；北師大版教材，將它安排在七年級下冊“第一章整式的乘除”這一章中；浙教版教材，將它安排在七年級下冊“第三章整式的乘除”這一章中；上科版教材，將之安排在七年級下冊“第三章整式的乘法與因式分解”一章中；而蘇科版教材，則將這一教學內(nèi)容單獨成章，安排在七年級下冊“第八章冪的運算”中。將它與整式的乘除以及因式分解混排，是想突出其內(nèi)容的基礎性和工具性；將之單獨成章，則是體現(xiàn)其在運算中的重要性和自洽性。這種各具特色的編排價值已被教師開發(fā)得淋漓盡致。那么，“冪的運算”這一教學內(nèi)容，它還具有怎樣的教學價值呢？

1.讓冪的運算性質(zhì)在運算結構中必然生長。

各個教材中只安排了am·an=am+n、am÷an=am-n、（ab）n=anbn、（am）n=amn這四種冪的運算性質(zhì)，而這四種運算性質(zhì)還不足以說明對“冪”這種特殊的對象作了運算，至少說還沒有對冪作全面的運算。至于為什么只研究這四種運算，學生更是霧里看花，懵懵懂懂，知其然而不知其所以然。這個問題的形成，是由冪的運算在整個運算體系中的地位和作用所決定的。因為有了這四種冪的運算性質(zhì)，在“數(shù)與式的運算”這個大結構中就夠用了，不需要再研究冪的其他運算了。

如果我們不囿于上述實用性的限制，從“冪的運算”這個角度上去看待問題、研究問題、解決問題，那么在七年級下學期時，就要研究冪的加法、減法、乘法、除法和乘方這五種運算，在八年級上學期時，如果學過開方運算，除了要研究上述五種運算外，還要研究冪的第六種運算——開方運算。至于到九年級，就更有必要研究冪的加、減、乘、除、乘方、開方運算了。為此，在這次展示活動，筆者選擇了“再探冪的運算”這一教學內(nèi)容，就是基于“運算”這個大系統(tǒng)對冪的運算作一個全面的研究，讓冪的運算在數(shù)與式的運算結構下自然地生長并和數(shù)與式的運算自洽。

2.讓學生的真實思維在探究活動中自然發(fā)展。

數(shù)學教學的價值在于發(fā)展學生的思維。學生的思維是指學生的真實思維，不是教師強加給學生的思維。學生的真實思維在探究活動中發(fā)展了，學生的學習才算是真正發(fā)生，否則訓練與發(fā)展學生的思維能力將成為一句空話。當然，學生的思維需要教師的引領和激發(fā)，這種引領和激發(fā)，不是教師告訴學生應該做什么、怎樣做，而是教師要營造一種“思維場”，讓學生在這種“思維場”中，自主地、自發(fā)地形成“思維流”。這種“思維流”不是盲目的、漫無邊際的，而是明確的、有具體指向的，能夠直面問題、自發(fā)地產(chǎn)生解決問題策略或方法。這種策略方法是基于過去學習過程中的經(jīng)驗，又不完全是以往經(jīng)驗的簡單提取，而是在傳承中有那么一些創(chuàng)新和發(fā)展，學生在這種探究活動中，有那么一點沖動產(chǎn)生的愉悅與快感。在這種“思維場”中產(chǎn)生“思維流”，學生的思維才算是自然地發(fā)展、真正地生長，這就是數(shù)學教學給予學生生命成長的正能量，也是數(shù)學教育人應該追求的教育情懷。

回歸到冪的運算這一教學內(nèi)容，筆者選擇了九年級學生作為探究活動的主體，一是讓冪這個特殊對象能夠在實數(shù)系中全面實施加、減、乘、除、乘方、開方這六種運算；二是此時的九年級學生具備了探究冪的六種運算的基礎知識與基本的活動經(jīng)驗；三是此時讓冪的開方運算與其他已研究過的五種運算同時登臺，不僅可以開闊學生的運算視野，而且可以使教學效率最大化，因為它符合最近發(fā)展區(qū)原理，學生還能在此探究過程中體會前后一致、邏輯連貫、一以貫之的生長方略。正因為此，筆者把本節(jié)課的教學內(nèi)容定位為“再探冪的運算”，以表示與以往學習的冪的運算的區(qū)別。“再探”的含義，就是讓學生用結構的觀點，讓課本中的四個運算性質(zhì)，上通冪的加減法，下達開方運算，讓學生在一個適宜的結構中生長、在一個完整的體系中成長。

所要注意的是，冪的開方運算，《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》沒作要求，所以對于學生來說，這是一個全新的認知過程。因此，探究活動要放慢節(jié)奏，靜待花開。

3.讓控制變量法在策略把握中應然產(chǎn)生。

通過上述的價值判斷，我們基本上確定了冪的運算的生長空間。生長空間確定以后，選擇什么樣的方法來探究冪的運算就成了關鍵的要素。由于任何一個冪am，要受底數(shù)a與指數(shù)m這兩個變量的影響，所以，冪的運算勢必也要受到這兩個因素的影響。如何研究受多因素影響的問題，控制變量法就自然成了本探究活動的應然選擇。

控制變量法，學生在初二物理、生物及初三物理、化學中都有過接觸，但那僅限于這三門學科。把這種方法運用到數(shù)學探究中，《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》沒有要求，各種版本的教材中也沒有體現(xiàn)，各種資料及網(wǎng)絡資源也不多見?？梢哉J為，把它運用在數(shù)學上解決問題，對于大部分學生還是第一次。筆者在這里將之用來探究冪的運算主要是基于下面三個方面的思考。

一是控制變量法既是一種方法，也是一種方法論。它是研究受多因素影響問題的通性通法，并在其他學科中顯示出強大的生命力，已成為研究該類問題的一般科學素養(yǎng)。從這個意義上說，數(shù)學學科也沒必要受課程標準、教材的約束，而要從學生終身素養(yǎng)的角度上去提高認識，以發(fā)揮控制變量法的正能量。

二是將控制變量遷移到數(shù)學學習中，可提高學生學習科學方法的興趣，也能提高學生學習數(shù)學的興趣。當學生認識到這種方法在學習數(shù)學上會產(chǎn)生與其他學科一樣的特效時，體會到數(shù)學在某種程度上與物理、化學、生物等學科是“一伙的”時，頓失對數(shù)學的畏懼，轉(zhuǎn)之會對數(shù)學產(chǎn)生一種親近感。

三是將控制變量法運用進來，又不僅僅局限于這一個探究活動中，還有很多的數(shù)學探究活動會用到。這樣，這種方法就會在數(shù)學學科中播下種子，扎下根，發(fā)生芽，長成樹，結出果，并將形成一種素養(yǎng)，伴隨學生終生。

二、基于價值分析的行為改進

基于上述的價值分析，結合筆者生長數(shù)學的教學主張，教師的教學行為要作以下三個方面的改進。

1.在結構上做文章，以實施整體地教。

價值分析告訴我們，這是個高水平下的結構教學。本節(jié)課的教學要促進學生從整體上把握數(shù)學知識、方法和觀念，增強學生學習數(shù)學的整體意識和結構意識。只有這樣，才能使學生把已掌握的知識和經(jīng)驗提高到簡潔的原理性結構上去，從而有效抵制碎片化知識的不良傾向。為此，教師要在問題的方向性上多做文章，教學中要先提大問題，再提小問題，讓學生從運算的結構上把握探究的方法。

2.在探究上下功夫，以實施有序地教。

價值分析還告訴我們，這是個高立意下的探究教學。探究性教學就是要讓學生對教學內(nèi)容進行自主學習、深入探究，并進行小組合作交流，從而激發(fā)學生探究欲望，培養(yǎng)學生的探究素養(yǎng)。探究貴在讓學生自主，輔之以必要的幫與扶。為此，教師要理解學生思維的方向與層次，把握學生思維的困難與疑惑。在探究過程中，真正做到既不錯位，也不失位，讓幫扶有序、有度、有效。

3.在生長上花氣力，以實施本真地教。

價值分析又告訴我們，這是個高觀點下的過程教學。“再探冪的運算”過程是一個建立在逐級運算基礎上自然生長的過程，它與學生成長的過程相似，是一個由內(nèi)向外生命迸發(fā)數(shù)學力量的過程。它也是學生逐步領悟數(shù)學思想方法、體驗控制變量魅力、感受數(shù)學思維的美妙、養(yǎng)成良好學習習慣、培養(yǎng)創(chuàng)新實踐能力的過程。在這一過程中，教師要有靜氣，要讓本真的氣息自然地潤澤到探究過程之中、思維過程之中、感悟過程之中，以此讓學生體悟數(shù)學生長的意義，感悟生命成長的境界。

三、基于行為改進的教學活動

基于上述教學價值的分析和教學行為的定位，結合教學內(nèi)容內(nèi)在意蘊的特質(zhì)，可建構如下教學活動來再探冪的運算。

活動1：同學們，我們在八年級上冊學習了“冪的運算”（教師板書：冪的運算），從“冪的運算”這個課題上看，要研究什么問題？研究的對象是什么？研究的內(nèi)容又是什么？

【設計意圖】從人教版八年級學過的“冪的運算”這個熟悉的內(nèi)容引入課題，并通過問題追問的形式，引發(fā)學生從運算結構上作新的思考，而不僅是重復以前學習過的幾個冪的運算性質(zhì)。

【生成效果】學生通過審題都能明白，冪的運算就是要研究冪的加法、減法、乘法、除法、乘方、開方這六種運算。

活動2：怎樣進行冪的加法運算？

【設計意圖】一是讓學生將冪的加法形式化為am+bn=？便于研究；二是如何研究am+bn=？，這需要一定的研究智慧。由于任何一個冪都受底數(shù)與指數(shù)這兩個變量影響，所以它是一個多變量問題，因此可用控制變量的方法來研究。

【生成效果】學生此時都可以認識到：可以控制am與bn這兩個冪的底數(shù)一樣，那么am+bn=？就變成了am+an=？的問題，這個問題還是不能直接計算；再控制am與bn這兩個冪的指數(shù)一樣，那么am+bn=？就變成了am+bm=？的問題，這個問題也不能直接計算；最后控制am與bn這兩個冪的底數(shù)、指數(shù)都一樣，那么am+bn=？就變成了am+am=？的問題，這個問題也就是一個合并同類項的問題，至此結束冪的加法研究。

活動3：怎樣進行冪的減法運算？

【設計意圖】讓學生根據(jù)減法是加法的逆運算來研究冪的減法。

【生成效果】在實際教學中，上述設計意圖學生不能領會。他們還是用控制變量的方法將減法重新研究一遍。此時，可追問學生：用這種方法研究冪的減法還有創(chuàng)新的成分嗎？如果沒有，你還有其他的方法來研究它嗎？引導學生用逆運算來解決問題。

活動4：怎樣進行冪的乘法運算？

【設計意圖】讓學生仍用控制變量的方法來研究。

【生成效果】如果控制am與bn這兩個冪的底數(shù)一樣，那么am·bn=？就變成了am·an=？的問題，這個問題就是過去研究過的同底數(shù)冪相乘的性質(zhì)，即am·am=am+m。

如果控制am與bn這兩個冪的指數(shù)一樣，那么可得“an·bn=（ab）n”，即得（ab）n=anbn，這就是積的乘方的性質(zhì)。

如果控制am與bn這兩個冪的底數(shù)、指數(shù)都一樣，那么am·bn=？就變成了am·am=am+m=a2m，或變成了am·am=（am）2=a2m的問題，這就是冪的乘方的特殊情況了。

讓學生在此與am·an=am+n、（ab）n=anbn相逢，學生的思維體驗必有另一番滋味！

活動5：怎樣進行冪的除法運算？

【設計意圖】同問題3的設計意圖，主要從逆運算中去研究問題。

【生成效果】由于在問題3中矯正了研究減法的思路，所以，這時學生都能用逆運算來研究冪的除法了。

當控制底數(shù)相同時，即am÷an=？，就是要使得（？）·an=am，顯然am÷an=am-n，這就可得同底數(shù)除法的性質(zhì)。

當控制指數(shù)相同時，am÷bm=

m，這與積的乘方性質(zhì)一脈相承。

至于控制底數(shù)、指數(shù)都相同時，就是一個最簡單的除法運算，在這里就沒有什么特別研究的價值了。

活動6：怎樣進行冪的乘方運算？

【設計意圖】主要解決（am）n=？的問題，即研究（am）n=amn。

【生成效果】上課時這個問題對學生已毫無障礙了。

活動7：怎樣進行冪的開方運算？

【設計意圖】傳承用逆運算研究的經(jīng)驗來解決一個全新的問題，發(fā)展遷移能力。主要解決=？的問題。

【生成效果】解決=？的問題，就是要解決（？）2·=am，則有=a；同理=a；……=a。

活動8：今天我們用什么方法進行了“再探冪的運算”之旅的？（板書：在“冪的運算”前面加上“再探”二字，以揭示本課的“再探索冪的運算”這個核心課題）你有什么收獲？

【設計意圖】回顧探究之旅，體會控制變量之妙。

【生成效果】學生都能感悟到控制變量在數(shù)學上的絕妙之筆，既為控制變量法打開了另一條通道，也為研究一個課題提供了范式。

活動9：例題選講。

例1.如果a3a-1=1，求a的值。

例2.如果2m=n2（m、n為正整數(shù)）。

（1）請找出一對滿足條件的m、n的值；

（2）滿足條件的m、n的值有多少對？為什么？

例3.如果2m=8m-6，求m的值。

【設計意圖】將控制變量法遷移到具體數(shù)學題的解題上來，讓學生有較強的獲得感。

【生成效果】學生已能大膽嘗試控制變量的方法，為解數(shù)學題又打開了一條通道。

注：本課例設計得到南京市雨花區(qū)教師進修學校劉春書老師的幫助，特表鳴謝。

【參考文獻】

卜以樓.讓復習課留下一串串生長節(jié)——“冪的運算”的小結與思考教學實錄與反思[J].中學數(shù)學月刊，2011（11）.