臧 華

(安徽省池州市第八中學(xué) 247000)

提高課堂教學(xué)效果，充分發(fā)揮例題的作用，是減輕學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)、把學(xué)生從題海戰(zhàn)中解放出來(lái)的有效手段，已成不爭(zhēng)的共識(shí)．筆者將通過一個(gè)例題的講解，闡發(fā)自己的思考．

例已知函數(shù)f(x)=x3-ax2(a∈R)．若f(x)的切線過點(diǎn)(0,1) ，且它過點(diǎn)(0,1)的切線有2條，求實(shí)數(shù)a的值．

1 仔細(xì)審題是前提

讀懂題目的條件和要求是正確解答的前提.本題給出了函數(shù)解析式(但含有參數(shù)a)、切線經(jīng)過的點(diǎn)(0,1)、過點(diǎn)(0,1)的切線的條數(shù)，求參數(shù)a．

需要提醒學(xué)生注意的是對(duì)“f(x) 的切線過點(diǎn)(0,1)”的分析．將x=0,y=1 代入f(x)=x3-ax2，得1=0，不成立，可見，點(diǎn)(0,1)不在f(x)上．

對(duì)題目稍做變化，將函數(shù)改成f(x)=x3-x2+a(a∈R)，則不能斷定點(diǎn)(0,1)是否在f(x)上．實(shí)際操作中，可能有的學(xué)生不假思索就把(0,1)當(dāng)成f(x)上的點(diǎn)，將x=0,y=1代入f(x)=x3-x2+a，得a=1，從而使問題簡(jiǎn)單化，當(dāng)然是錯(cuò)誤的．想一想，這樣就能得出結(jié)果，題目給出的條件“過點(diǎn)(0,1)的切線有2條”有什么用呢？

2 厘清思路好揚(yáng)帆

由于是與切線相關(guān)的問題，而且是一元三次函數(shù)，學(xué)生立即想到用導(dǎo)數(shù)方法求切線斜率、進(jìn)而求切線方程，再通過切線方程尋找求a的思路，是非常自然的．下面筆者順著這一思路且講且解．

因?yàn)辄c(diǎn)(0,1)在切線上，所以有

①

因?yàn)辄c(diǎn)(x0,y0)在f(x)=x3-ax2上，所以有

②

③

到此，可能有的學(xué)生不知道怎么進(jìn)行下去了．可能有人會(huì)想，如果能直接求出x0就好了．事實(shí)上這是不容易的，因?yàn)榉匠讨杏袃蓚€(gè)未知量．不要因方程而迷失方向，我們要求的是a，至于x0是多少并非目標(biāo)．怎么辦？莫慌！還有一個(gè)條件未用．

由于過點(diǎn)(0,1)的切線的有2條，所以關(guān)于x0的方程③應(yīng)有兩個(gè)不同的實(shí)根．換句話說，若設(shè)g(x)=2x3-ax2+1，就是函數(shù)g(x) 的圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．本來(lái)，如果g(x) 中不含參數(shù)a，則g(x)圖像與x軸交點(diǎn)數(shù)是確定的，正因?yàn)橛辛撕瑓?shù)a，才導(dǎo)致g(x)圖像與x軸交點(diǎn)數(shù)的不確定性．那么什么情況下圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)呢？這就要求我們研究g(x)圖像的特征，特別是單調(diào)性和極值點(diǎn)．

設(shè)g(x)=2x3-ax2+1，

(1)當(dāng)a>0時(shí)，

當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí)，g′(x)>0，g(x) 單調(diào)遞增；

(2)當(dāng)a=0 時(shí)，

曲線g(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，顯然不合題意．

(3)當(dāng)a<0 時(shí)，

當(dāng)x∈(0,+∞) 時(shí)，g′(x)>0，g(x) 單調(diào)遞增.

綜上可知，a=3．

圖1

圖2

圖3

3 一題多解思路活

設(shè)方程③左邊多項(xiàng)式分解式為

2(x0-b)(x0-c)2，

展開整理得

比較方程③左邊和上式得

a=4c+2b,c2+2bc=0 ，-2bc2=1 ，

聯(lián)立上三個(gè)方程解得a=3．

這說明，解一道題可以靈活使用多種工具，不一定要一種方法走到底．

4 反思質(zhì)疑求嚴(yán)密

則g(-1)=-2-a+1=-1-a≤0；

則g(a)=2a3-a3+1=a3+1<0．

5 延伸拓展收獲多

(1) 將“過點(diǎn)(0,1)的切線有2條”改為“過點(diǎn)(0,1)的切線有3條”．

當(dāng)a=0 時(shí)，曲線g(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意．

當(dāng)a<0 時(shí)，曲線g(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意．

綜上可得a>3．

(2)將“過點(diǎn)(0,1)的切線有2條”改為“過點(diǎn)(0,1)的切線有1條”，結(jié)論又會(huì)怎樣呢？

當(dāng)a=0 時(shí)，曲線g(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)．

當(dāng)a<0 時(shí)，曲線g(x)與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)．

綜上可得，a<3 ．

對(duì)于這一問，也可以直接分析得出.

曲線g(x)與x軸交點(diǎn)有四種可能：0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)、3個(gè).有2個(gè)、3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，a的值已求出，分別為a=3、a>3．由于曲線g(x)與x軸至少有1個(gè)交點(diǎn)，即0個(gè)交點(diǎn)的情形不存在，所以曲線g(x)與x軸有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)，a<3，即過點(diǎn)(0,1)的切線有1條時(shí)，a<3．

尊敬的讀者，一題就講了這么多，你是覺得啰嗦還是值得呢？筆者認(rèn)為是值得的．如果我們貪多貪快，不把問題講清講透，“言及于數(shù)”，“不顧其安”，必然會(huì)使學(xué)生“隱其學(xué)而疾其師，苦其難而不知其益也”，“雖終其業(yè)，其去之必速”．作為學(xué)生，在老師講過之后，還要經(jīng)常復(fù)習(xí)、反復(fù)揣摩，溫故而知新．倘若如此，例題的作用就會(huì)更大．