陳世明

(廣州市第七中學(xué) 510080)

1 問題提出

眾所周知，sinθ=sinθ，sin2θ=2sinθcosθ，sin3θ=3sinθ-4sin3θ，sin4θ=4sinθcos3θ-4sin3θcosθ,…，在這些公式中，左邊一小變，則右邊一大變，完全可以用“失之毫厘，差之千里”來描述.那么我們不禁要問：這些公式的右邊有沒有統(tǒng)一的形式？

2 思考探究

sinθ=-sin(θ+π)，

sin3θ=3sinθ-4sin3θ

sin4θ=4sinθcosθcos2θ

… … …

3 歸納猜想

4 證明猜想

易見數(shù)學(xué)歸納法是無能為力的，另辟蹊徑，由歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ，得

①

(1)當(dāng)n=1時，①式顯然成立；

②

由n次單位根的定義，

③

致謝：感謝中國科技大學(xué)王建偉教授的幫助！