趙春艷，南士敬

（西安交通大學(xué) 經(jīng)濟與金融學(xué)院，西安 710061）

0 引言

指數(shù)平滑轉(zhuǎn)換自回歸模型（ESTAR）是STAR系列模型中的一種，它的一階形式如式（1）所示：

其中，γ稱為斜率參數(shù)，代表兩種機制的轉(zhuǎn)換速度；st是轉(zhuǎn)換變量，它是導(dǎo)致yt由一種機制轉(zhuǎn)換為另一種機制的變量，單變量分析中，st可以選擇 yt-d（d為滯后期），也可以選擇時間項t；c稱為位置參數(shù)，是導(dǎo)致yt機制轉(zhuǎn)換的具體位置。進一步研究發(fā)現(xiàn)，ESTAR模型的最大特點體現(xiàn)在其轉(zhuǎn)換函數(shù) G(·)上，參數(shù) γ、c 決定了 G(·)的變化情況。γ越大，yt變化的速度越快。當(dāng) st→+∞和st→-∞ 時，均有G(·)=1，ESTAR模型變成普通線性AR模型，在轉(zhuǎn)折點 c處，G(·)=0，因此，ESTAR模型中存在一個外制度和一個內(nèi)制度,st→±∞，對應(yīng)的是外制度，st→c時，對應(yīng)內(nèi)制度。

ESTAR模型常用來描述匯率偏離其購買力平價的行為，也稱為均值回復(fù)。由于交易成本的存在，匯率會在不同機制間轉(zhuǎn)換。當(dāng)匯率從均衡匯率有一個小的偏離時，商品套利的利潤不能彌補交易中必要的成本，這意味著在均衡匯率水平附近有較小的偏離時，匯率沒有回到其均值水平的傾向[1]。過了這個偏離區(qū)間，商品套利能獲利，這使得匯率水平能回到其均值水平。這里的均值水平就是位置參數(shù)c，因此，在c附近以及遠(yuǎn)離c的區(qū)間，匯率波動的行為是有差異的。

同STAR模型的其它形式一樣，ESTAR模型建模前要識別序列的平穩(wěn)性，本文旨在提出對ESTAR模型進行單位根檢驗的統(tǒng)計量，并對其功效進行檢驗和比較。

1 文獻綜述

ESTAR模型作為一種非線性模型，數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性問題是與其線性檢驗相聯(lián)系的，數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性決定了線性檢驗統(tǒng)計量的分布，其平穩(wěn)性的檢驗尚在爭論中。一類平穩(wěn)性檢驗是利用傳統(tǒng)的ADF檢驗，在線性AR模型中進行[2]。這些文獻都是先對序列建立AR模型，并在其中進行單位根檢驗，若單位根存在，則再用所提到的非標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)計量進行線性檢驗[3]。這類研究利用ADF統(tǒng)計量檢驗ESTAR模型數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性，由此可以推測，它們對于ESTAR模型數(shù)據(jù)平穩(wěn)性的含義同線性模型數(shù)據(jù)平穩(wěn)性的含義是相同的。

與上述研究不同，另一種平穩(wěn)性檢驗是在非線性模型中進行的，而且提出了不同于線性模型平穩(wěn)性的概念。Kapetanios等（2003）以一階ESTAR模型為例，提出關(guān)于ESTAR模型的平穩(wěn)性概念，即整體平穩(wěn)、中間單位根的概念[4]。設(shè){yt}是均值為零的隨機過程，適合ESTAR模型，如式（3）所示。

檢驗的統(tǒng)計量如式（8）所示，在單位根條件下，tNL統(tǒng)計量的分布是非標(biāo)準(zhǔn)的。接受H0，序列是線性單位根過程；接受H1，序列是有單位根的ESTAR模型。

Kapetanios等（2003）在研究時，假設(shè)ESTAR模型自然地在序列的中間區(qū)域存在單位根，這樣其應(yīng)用會受到限制，并且所謂的單位根檢驗其實是單位根條件下的線性檢驗而并非非線性單位根檢驗。

Kilic（2011）同樣研究了ESTAR模型的單位根檢驗問題，檢驗的模型形式同式（6）。只是與Kapetanios等（2003）不同的是，由于γ未知，參數(shù)δ無法估計，為解決這個問題，Kilic（2011）建議在參數(shù)γ的空間中取可能的t值的最小值，提出檢驗統(tǒng)計量為：

其中，Sst是st的樣本標(biāo)準(zhǔn)差，γ在st的樣本標(biāo)準(zhǔn)差構(gòu)成的區(qū)間中搜索，γ的每個值對應(yīng)有相應(yīng)的δ^及t值，最小的t值即為ESTAR單位根檢驗的統(tǒng)計量值。[5]

現(xiàn)在我們分析前文的兩條研究線索。第一條研究線索中的單位根檢驗是在線性AR模型中用ADF統(tǒng)計量進行檢驗的，這意味著他們認(rèn)為，STAR模型的平穩(wěn)性同線性模型的平穩(wěn)性是一樣的。我們認(rèn)為非線性模型的平穩(wěn)性同線性模型是不一樣的，此時存在的問題是，序列本身適合的是非線性模型，而建立線性模型對其進行單位根檢驗，這有可能降低檢驗的功效[6]。

第二條研究線索是Kapetanios等（2003）、Kilic（2011）等的研究，他們的單位根檢驗在非線性ESTAR模型中進行，而且提出了不同于線性模型的平穩(wěn)性概念，只是在檢驗中，直接假定單位根存在，并沒有進行檢驗。

圖1 φ1=1，θ1=-1.5，γ=0.01

圖2 φ1=0.8，θ1=-0.3，γ=0.05

因此，我們認(rèn)為ESTAR模型中，式（1）中φ1是否等于1需要檢驗。

鑒于此，本文以一階ESTAR模型為例，說明在其中進行單位根檢驗的問題，尋找適合非線性模型單位根檢驗的統(tǒng)計量及其分布。

2 ESTAR模型的單位根檢驗統(tǒng)計量

由于ESTAR模型中有非線性函數(shù)，不易進行參數(shù)估計，人們提出用泰勒展式替代原模型。在數(shù)學(xué)上，二階泰勒展式能近似逼近ESTAR模型，這要比Kapetanios等（2003）的一階泰勒展式更接近ESTAR模型。Dijk（2000）也提到用ESTAR模型的二階泰勒展式進行線性檢驗[9]。因此，本文用ESTAR模型的二階泰勒展式進行單位根檢驗，假定轉(zhuǎn)換變量st為 yt-1，以一階ESTAR模型為例進行。ESTAR模型的二階泰勒展式為式（13）：

接下來，運用蒙特卡洛試驗（20000次）得到t統(tǒng)計量的臨界值如表1所示，由于小樣本時，參數(shù)估計往往會存在奇異矩陣，為了保證結(jié)果的穩(wěn)定性，本文只給出了大樣本的臨界值。從表1可以發(fā)現(xiàn)，樣本容量對于t統(tǒng)計量臨界值的影響并不大。在給定的顯著性水平下，當(dāng)t統(tǒng)計量值小于tα?xí)r，拒絕H0，說明序列是平穩(wěn)的；當(dāng)t統(tǒng)計量值大于tα?xí)r，接受H0，即序列存在單位根。與傳統(tǒng)單位根檢驗的DF統(tǒng)計量的臨界值相比，我們發(fā)現(xiàn)，非線性檢驗中的t統(tǒng)計量在相同概率下的臨界值比DF統(tǒng)計量大，只有當(dāng)樣本量趨于無窮時，兩個統(tǒng)計量的臨界值才趨于相等。

表1 t統(tǒng)計量的臨界值

3 TAR模型單位根檢驗統(tǒng)計量的功效比較

為了驗證本文提到的t統(tǒng)計量檢驗ESTAR模型中單位根的功效，我們用蒙特卡洛試驗進行檢驗，并且與DF單位根檢驗統(tǒng)計量和Kapetanios等（2003）提出的tNL統(tǒng)計量進行比較。本試驗的目的是：數(shù)據(jù)本身是按照有單位根的模型（1）生成的，現(xiàn)在考察本文提出的t統(tǒng)計量，傳統(tǒng)單位根檢驗的DF統(tǒng)計量以及Kapetanios等（2003）提出的tNL統(tǒng)計量能否真正檢驗出序列的平穩(wěn)性及其各自的功效。

具體進行蒙特卡洛試驗時，要求模型（1）中：

各參數(shù)所賦的值同Kapetanios等（2003）的完全相同[4]，這樣可以相互比較。模擬產(chǎn)生數(shù)據(jù)后，分別對其擬合模型（13）、模型（6）和AR（1），并分別計算相應(yīng)模型的t統(tǒng)計量、tNL統(tǒng)計量及DF統(tǒng)計量，試驗次數(shù)為20000次。t統(tǒng)計量和DF統(tǒng)計量的檢驗功效用它們的零假設(shè)接受概率來表示，也就是20000個t值當(dāng)中，大于臨界值（存在單位根）的個數(shù)所占的比重，因為就序列的生成過程來看，序列是按模型（1）生成的有非線性特征、存在單位根的序列，如果接受單位根的原假設(shè)，則表明該統(tǒng)計量能檢驗出單位根，檢驗的功效高，因此，接受概率越高，則檢驗功效越高。Kapetanios等（2003）的tNL統(tǒng)計量功效用零假設(shè)的拒絕概率表示[4]，因為式（5）中的H0表示線性單位根過程，而H1表示有單位根的ESTAR模型。為便于比較，我們將Kapetanios等（2003）的試驗結(jié)果放在DF統(tǒng)計量及tNL統(tǒng)計量概率值下面的括號內(nèi)，只是DF統(tǒng)計量的概率值做了處理，沒有用拒絕H0的概率而是用接受H0的概率表示功效，因為接受H0才表示其能檢測出單位根。試驗的結(jié)果如表2所示：

表2 非平穩(wěn)的ESTAR序列的單位根檢驗功效比較

從表2中可以看出：

圖3 φ1=1，θ1=-0.1，γ=0.01

4 結(jié)論

（1）ESTAR模型的單位根檢驗在其二階泰勒展式中進行，本文提出用參數(shù)的t統(tǒng)計量進行檢驗，并給出其極限分布和臨界值。

（2）通過給參數(shù)賦值產(chǎn)生模擬數(shù)據(jù)，用t統(tǒng)計量、tNL統(tǒng)計量及DF統(tǒng)計量同時對數(shù)據(jù)進行單位根檢驗。結(jié)果顯示，DF統(tǒng)計量檢驗功效最低，t統(tǒng)計量與tNL統(tǒng)計量檢驗功效接近，但前者的穩(wěn)定性高于后者。

[1]張衛(wèi)平.購買力平價非線性檢驗方法的進展回顧及其對人民幣實際匯率的應(yīng)用[J].經(jīng)濟學(xué)（季刊）,2003，(4).

[2]Kilic.R Linearity Tests and Stationarity[J].Econometrics Journal,2004，(7).

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[6]趙春艷.平滑轉(zhuǎn)換自回歸模型中線性檢驗與單位根檢驗問題研究[J].數(shù)量經(jīng)濟技術(shù)經(jīng)濟研究,2010，(7).

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