歐陽敏華

（華南師范大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，廣州 510006）

0 引言

STAR模型因其能夠較好地?cái)M合和預(yù)測時(shí)間序列動(dòng)態(tài)中的機(jī)制轉(zhuǎn)換非線性特征，而被廣泛應(yīng)用于諸如經(jīng)濟(jì)周期、購買力平價(jià)等經(jīng)濟(jì)理論的實(shí)證研究中。早期的STAR模型的建模一般都假定時(shí)間序列是平穩(wěn)的，或根據(jù)DF等傳統(tǒng)單位根檢驗(yàn)方法對時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性進(jìn)行檢驗(yàn)。然而，越來越多的研究表明傳統(tǒng)的DF等單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在非線性模型下的檢驗(yàn)勢下降得比較厲害，這激發(fā)了大量的在非線性模型框架下的單位根檢驗(yàn)方法的研究。Kapetantios等（2003）[6]首次在STAR模型框架下建立的單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（以下簡稱KSS統(tǒng)計(jì)量）顯著地提高了檢驗(yàn)勢，有效地拓展了傳統(tǒng)的DF單位根檢驗(yàn)方法，在時(shí)間序列的單位根檢驗(yàn)實(shí)踐中得到廣泛應(yīng)用。

考慮到實(shí)際宏觀經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列中常常包含確定性趨勢成分，Kapetanios和Shin（2008）[4]將Elliot等（1996）[5]在線性模型中的GLS退勢方法拓展到了STAR模型下，建立了KSS統(tǒng)計(jì)量的GLS退勢版本，Monte Carlo模擬研究的結(jié)果表明，GLS退勢的KSS統(tǒng)計(jì)量比OLS退勢KSS統(tǒng)計(jì)量有更高的檢驗(yàn)勢。在線性模型框架下，除OLS和GLS退勢之外，遞歸退勢也是常用的退勢方式之一。張曉峒和白仲林（2005）[6]在對線性模型下退勢單位根檢驗(yàn)的小樣本性質(zhì)的比較研究中，通過Monte Carlo模擬研究發(fā)現(xiàn)遞歸退勢與一些單位根檢驗(yàn)方法相結(jié)合的方式有更為理想的小樣本性質(zhì)。STAR模型框架下遞歸退勢單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)勢如何，是否有高于GLS和OLS退勢單位根檢驗(yàn)的有限樣本表現(xiàn)，這一問題目前尚無文獻(xiàn)涉及，還有待于進(jìn)一步的研究。為此，本文嘗試將遞歸退勢的方法拓展到STAR模型框架下的單位根檢驗(yàn)中，比較研究不同退勢方式下單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的有限樣本表現(xiàn)，特別是考慮了初始條件對不同退勢單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)勢的影響。

1 STAR模型下的退勢單位根檢驗(yàn)

考慮如下包含確定性線性趨勢成分的STAR模型：

其中，εt～iid（0，σ2）。 a 為常數(shù)項(xiàng)，b 為時(shí)間趨勢項(xiàng)的系數(shù)，a+bt表示確定性線性趨勢成分。F（θ，c;yt-d）為平滑轉(zhuǎn)換函數(shù)，θ為平滑參數(shù)，c為門限參數(shù)，d為時(shí)滯參數(shù)。遵循Kapetantios等（2003）[3]中平滑轉(zhuǎn)換函數(shù)的設(shè)定方式，取當(dāng) θ→0 時(shí)，F(xiàn)（θ，c;yt-d）→0 時(shí)，式（1）退化為一個(gè)包含確定性線性趨勢成分的單位根過程：Δyt=a+bt+εt。顯然，當(dāng)-2＜?＜0，且G（θ，c;yt-k）≠0時(shí)，式（1）為一個(gè)局部存在單位根但整體平穩(wěn)的平滑函數(shù)為指數(shù)函數(shù)的STAR過程（ESTAR過程）。這一過程蘊(yùn)含著，當(dāng) yt-1在均衡點(diǎn)附近時(shí)，可以是隨機(jī)游動(dòng)的，而一旦yt-1遠(yuǎn)離均衡點(diǎn)時(shí)，將存在內(nèi)生機(jī)制使得其向均衡點(diǎn)回復(fù)，回復(fù)速度取決于平滑參數(shù)以及偏離均衡點(diǎn)的距離。

判斷時(shí)間序列yt是一個(gè)單位根過程還是一個(gè)全局平穩(wěn)的ESTAR過程，可建立檢驗(yàn)原假設(shè)H0∶θ=0，備擇假設(shè)為H1∶θ＞0。由于在原假設(shè)下時(shí)間序列yt為一個(gè)單位根過程，式（1）中的參數(shù)?不可識別，面臨假設(shè)檢驗(yàn)中著名的Davies問題，不可直接在原假設(shè)下建立檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。為此，Kapetantios等（2003）[3]建議在θ=0處，將平滑轉(zhuǎn)換函數(shù)F（θ，c;yt-d）一階Taylor展開為多項(xiàng)式函數(shù)，建立如式（2）所示的輔助回歸模型：

其中，εt為隨機(jī)誤差項(xiàng)。由式（2），三次項(xiàng)作為指數(shù)平滑函數(shù)的近似。在輔助回歸模型中，對時(shí)間序列yt是否為單位根過程的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)比較容易實(shí)施，可類似線性模型下的DF單位根檢驗(yàn)，直接建立一個(gè)t統(tǒng)計(jì)量便可對原假設(shè) H0∶δ=0和備擇假設(shè) H1∶δ＜0進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。

由于式（2）中包含確定性線性趨勢成分，為提高單位根檢驗(yàn)的檢驗(yàn)勢，在單位根檢驗(yàn)實(shí)踐中一般應(yīng)先將確定性線性趨勢成分剔除掉，然后再對殘差序列進(jìn)行單位根檢驗(yàn)。這種對含有確定性線性趨勢成分時(shí)間序列的單位根檢驗(yàn)的策略，稱為退勢單位根檢驗(yàn)。針對式（2）的退勢單位根檢驗(yàn)策略為：先將時(shí)間序列 yt對（1，t）進(jìn)行回歸得到參數(shù) a，b 的估計(jì)值退勢后的序列然后再對進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑椋?/p>

根據(jù)式（3），建立對原假設(shè) H0∶δ=0 和備擇假設(shè)H1∶δ＜0進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的t統(tǒng)計(jì)量為：

在對時(shí)間序列yt退勢時(shí)，不同退勢方式之間的主要差異在于對確定性趨勢項(xiàng)中參數(shù)估計(jì)方法的不同。OLS或GLS退勢方式為將時(shí)間序列yt對線性趨勢項(xiàng)進(jìn)行OLS或GLS回歸，得到a，b的OLS或GLS估計(jì)值，進(jìn)而可以得到退勢序列Kapetantios等（2003）[3]、Kapetanios和Shin（2008）[4]探討了STAR模型下的OLS和GLS退勢單位根檢驗(yàn)方法。本文將探討Chang（2002）[1]和Taylor（2002）[2]提出的遞歸退勢方法在STAR模型下單位根檢驗(yàn)中的應(yīng)用，并將其與OLS和GLS退勢單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在有限樣本表現(xiàn)方面進(jìn)行比較。Chang（2002）[1]遞歸退勢方式可由式（5）和式（6）表示為：

Taylor（2002）[2]的遞歸退勢方式可由式（7）和式（8）表示為：

由式（6）和式（8），Chang（2002）和 Taylor（2002）在對yt-1的退勢方式上，兩者是相同的；而在對 yt退勢上，Chang（2002）考慮了 Δyt項(xiàng)。OLS和GLS退勢在對參數(shù)a，b的估計(jì)上采用的是全樣本數(shù)據(jù)，即采用的是所有樣本數(shù)據(jù)，而遞歸退勢方式在對序列yt退勢時(shí)，只采用截至?xí)r間t的樣本數(shù)據(jù)，然后采用遞歸的方式逐次估計(jì)參數(shù)a，b，進(jìn)而得到時(shí)間t的退勢序列。時(shí)間序列 yt按式（5）和式（6）或式（7）和式（8）退勢后的序列代入式（3）中，便可以按式（4）計(jì)算遞歸退勢單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值。本文采用Monte Carlo數(shù)值模擬的方式可以得到在STAR模型下采用Chang （2002）和Taylor（2002）遞歸退勢方法的KSS單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的漸近臨界值表，結(jié)果列于表1。在表1中，列出了顯著性水平分別為1%、5%和10%，樣本量分別為100、200、500和1000的臨界值；各種情形下Monte Carlo模擬次數(shù)均為50000次。

表1 采用Chang（2002）和Taylor（2002）遞歸退勢KSS統(tǒng)計(jì)量的臨界值

2 各種退勢KSS統(tǒng)計(jì)量的有限樣本表現(xiàn)

為比較各種退勢方式下KSS單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的有限樣本表現(xiàn)，建立如下數(shù)據(jù)生成過程（DGP）：

其中 εt～N（0，1）?？紤]初始條件對檢驗(yàn)水平（size）和檢驗(yàn)勢（power）的影響，設(shè)定初始值 y0=ζσ0，其中 ζ={0，±1，±2，±3，±4，±5，±6}，σ0為時(shí)間序列 yt的樣本標(biāo)準(zhǔn)差，可采用Monte Carlo模擬yt序列的方式計(jì)算得到，具體模擬過程可概括為：根據(jù)yt的數(shù)據(jù)生成過程，Monte Carlo模擬初始值為零，樣本量為T的序列yt10000次，然后計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差的平均值。

由式（9）表示的數(shù)據(jù)生成過程，在考查各種退勢方式下KSS單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)水平時(shí)，設(shè)定平滑參數(shù)γ=0 ；考查檢驗(yàn)勢時(shí)，設(shè)定 γ={0.01，0.05}，ρ={-0.1，-0.5，-1}。參數(shù) ρ，γ取值的不同組合下，按上述DGP設(shè)定的模型的特征比較豐富；有些模型比較接近單位根過程，有些模型中平滑轉(zhuǎn)換的非線性特征更為突出，因此，數(shù)據(jù)生成過程的設(shè)定方式可以很好地滿足對各退勢KSS單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量有限樣本表現(xiàn)進(jìn)行全面比較分析的需要。在對各退勢KSS單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量有限樣本表現(xiàn)的Monte Carlo模擬分析時(shí)，名義顯著性水平設(shè)定為0.05，樣本量T=100，200，300，模擬次數(shù)為10000次。

首先，考查不考慮初始條件影響情形下，即ζ=0，各退勢KSS單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量有限樣本表現(xiàn)，相關(guān)結(jié)果列于下頁表 2。表 2 中，“遞歸退勢I”為Chang （2002）遞歸退勢方式，“遞歸退勢II”為Taylor（2002）遞歸退勢方式。由表2，各退勢KSS單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)水平都不存在扭曲，實(shí)際顯著性水平與設(shè)定的名義顯著性0.05非常接近。設(shè)定模型中平滑轉(zhuǎn)換的非線性特征越突出（γ或ρ越大），各退勢KSS單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)勢越高。隨著樣本量的增大，各退勢KSS單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)勢會(huì)顯著提高。采用GLS和遞歸退勢方式的KSS單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)勢要顯著高于OLS退勢的KSS單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并且，Taylor（2002）遞歸退勢方式下KSS單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)勢要好于Chang（2002）遞歸退勢方式。例如，樣本量T=200，γ=0.01，ρ=-0.1情形下，Taylor（2002）遞歸退勢方式下KSS單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)勢為0.220，Chang （2002）遞歸退勢下為0.116，GLS退勢為0.125，都要高于OLS退勢的0.098。

表2 不考慮初始條件影響，各退勢KSS單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量有限樣本表現(xiàn) （α=0.05）

考慮初始條件的影響，即ζ≠0，根據(jù)式（9）所表示的數(shù)據(jù)生成過程，采用Monte Carlo數(shù)值模擬研究的方式考查各退勢KSS單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量有限樣本表現(xiàn)。在數(shù)據(jù)生成過程中設(shè)定 γ={0.01，0.05}，ρ={-0.1，-0.5，-1}，相應(yīng)組合下的平滑轉(zhuǎn)換模型共有6種，由于各種模型下各退勢KSS單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量有限表現(xiàn)的結(jié)果是一致的，因此，在表3中只列出了 γ=0.01，ρ={-0.1，-0.5，-1}組合情形下的有關(guān)結(jié)果。初始條件為負(fù)值（ζ＜0）情形下的各種退勢KSS單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)勢的特征與初始條件為正值（ζ＞0）情形是一致的，因此，在表3中只列出了初始條件為正情形下的結(jié)果。由表3,Taylor（2002）和Chang（2002）遞歸退勢方式下的KSS單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)勢不受初始條件的影響，而GLS和OLS退勢方式下的KSS單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)勢卻受初始條件的影響。GLS退勢下的檢驗(yàn)勢隨初始條件的增大下降得比較厲害，并且，增大樣本量并不能改善這種影響。這一結(jié)果與通常不考慮初始條件下GLS退勢單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量具有很好的檢驗(yàn)勢的結(jié)論并不一致。圖1更直觀地展示了各種退勢方式下KSS單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)勢的變化特征。Taylor（2002）和Chang （2002）遞歸退勢方式下KSS單位根統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)勢比較穩(wěn)定，且前者的檢驗(yàn)勢要明顯高于后者。OLS退勢方式的KSS單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)勢隨初始條件的增大而迅速上升，而GLS退勢方式卻恰恰相反。

表3 考慮初始條件影響，各退勢KSS單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量有限樣本表現(xiàn) （γ=0.05，α=0.05）

圖1 不同退勢方式下KSS單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)勢

3 結(jié)論

本文將Taylor（2002）和Chang （2002）提出的遞歸退勢方式應(yīng)用到KSS單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的退勢單位根檢驗(yàn)中，并將其與OLS和GLS退勢KSS單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的有限樣本表現(xiàn)進(jìn)行了細(xì)致的比較。無論是否考慮初始條件的影響，Taylor（2002）和Chang （2002）遞歸退勢方式的KSS單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量都有較好的有限樣本表現(xiàn)。不考慮初始條件的影響，GLS退勢KSS單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)勢要顯著高于OLS退勢；而考慮初始條件的影響，結(jié)論卻恰恰相反。由于在對時(shí)間序列進(jìn)行退勢單位根檢驗(yàn)實(shí)踐中，對于初始條件的大小通常是未知的，因此，采用遞歸退勢的方式可以在一定程度上避免檢驗(yàn)勢由于初始條件的存在而下降的影響。

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